Devoir commun – 1S Février 2019 – 3h

Devoir Commun Février 2018

1S – Mathématiques

Énoncé

Exercice 1     8 points

L’objectif de l’exercice est de comparer deux séries statistiques. Les deux séries indiquent les températures en °C dans deux villes A et B chaque jour d’une même année comportant $365$ jours. Pour la ville B, la moyenne
est $\conj{x_B} = 14, 4$ °C, l’écart-type $\sigma_B \approx 8, 771~5$ et le diagramme en boîte est en-dessous.
Pour la ville A, on a les relevés suivants :

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\text{Température en °C}&0&3&6&9&12&15&18&21&24&27\\
\hline
\text{Effectif}&20&10&40&57&8&1&189&10&20&10\\
\hline
\end{array}$$

  1. À l’aide de la calculatrice, calculer la moyenne $\conj{x_A}$ e l’écart-type $\sigma_A$ pour la ville A. Donner les résultats arrondis à $10^{-4}$ près.
    $\quad$
  2. Avec les données de la villa A, déterminer le premier quartile, la médiane, le troisième quartile que l’on notera respectivement $Q_{1A}$, $M_A$ et $Q_{3A}$. Justifier les réponses.
    $\quad$
  3. Construire le diagramme en boîte de la série A sur le diagramme ci-dessous.

    $\quad$
  4. Comparer et commenter les résultats des deux séries de données (ville A et ville B) en utilisant :
    – le couple moyenne – écart-type;
    – le couple médiane – écart-interquartile.
    $\quad$

Exercice 2     4 points

Dans cet exercice, toute trace de recherche, même incomplète, sera prise en compte dans l’évaluation.

On coupe une ficelle d’une longueur de 17 mètres pour entourer deux surfaces :

  • un carré;
  • un domino (rectangle deux fois plus long que large).

Où doit-on couper la ficelle pour que la somme des deux aires soit minimale ?

$\quad$

Exercice 3     7 points

$ABC$ est un triangle. Les points $K, L$ et $M$ sont tels que $\vect{AK}=-\dfrac{3}{2}\vect{AC}$, $\vect{AL}=\dfrac{3}{4}\vect{AB}$ et $5\vect{MB}+\vect{MC}=\vec{0}$.

  1. Placer, sur la figure ci-dessous, les points $K$, $L$ et $M$. Pour construire le point $M$, on exprimera $\vect{BM}$ en fonction de $\vect{BC}$.$\quad$
  2. Exprimer le vecteur $\vect{KL}$ en fonction des vecteurs $\vect{AB}$ et $\vect{AC}$.
    $\quad$
  3. Démontrer que $\vect{KM}=\dfrac{5}{6}\vect{AB}+\dfrac{5}{3}\vect{AC}$.
    $\quad$
  4. Montrer que les points $K, L$ et $M$ sont alignés.
    $\quad$

Exercice 4     12 points

Dans un repère orthonormé, on considère les points $A(1;3)$, $B(5;1)$ et $C(4;5)$.

On utilisera le repère qui suit pour la figure de cet exercice.

  1. On considère la droite $(d)$ d’équation $-x+2y-9=0$.
    a. Représenter la droite $(d)$.
    $\quad$
    b. Déterminer une équation cartésienne de la droite $(AC)$.
    $\quad$
    c. Les droites $(d)$ et $(AC)$ sont-elles parallèles? Justifier.
    $\quad$
  2. a. Calculer les coordonnées du point $E$, milieu de $[AB]$.
    $\quad$
    b. Déterminer une équation cartésienne de la médiane issue de $C$ dans le triangle $ABC$.
    $\quad$
    c. On admet qu’une équation cartésienne de la médiane issue de $B$ dans le triangle $ABC$ est $6x+5y-35=0$. Montrer que le point $D(0;7)$ est sur cette droite, puis tracer la droite sur le graphique.
    $\quad$
    d. Calculer les coordonnées de $G$, centre de gravité du triangle $ABC$.
    $\quad$

Exercice 5     17 points

La suite $\left(u_n\right)$ est définie pour tout $n\pg 0$ par $u_n=\dfrac{6n-5}{n+1}$.

  1. Pour tout $n\pg 0$, exprimer $u_{n+1}$ en fonction de $n$.
    $\quad$
  2. a. Calculer les cinq premiers termes de cette suite.
    $\quad$
    b. En déduire le sens de variation présumé de $\left(u_n\right)$.
    $\quad$
    Étude du sens de variation
  3. Première méthode
    a. Soit $n\in \N$. Exprimer $u_{n+1}-u_n$ en fonction de $n$.
    $\quad$
    b. En déduire le sens de variation de la suite.
    $\quad$
  4. Deuxième méthode
    a. Donner l’expression de la fonction $f$ définie sur $[0;+\infty[$, telle que pour tout $n\pg 0$, on a $u_n=f(n)$.
    $\quad$
    b. Déterminer les réels $a$ et $b$ tels que $f(x)=a+\dfrac{b}{x+1}$ sur $[0;+\infty[$.
    $\quad$
    c. Déterminer le sens de variation de $f$ sur $[0;+\infty[$, puis en déduire celui de $\left(u_n\right)$.
    $\quad$
    Étude du comportement à l’infini
  5. a. Montrer que pour tout $n\pg 0$, on a $u_n<6$.
    $\quad$
    b. Déterminer à l’aide de la calculatrice le plus petit entier $n$ à partir duquel on a $u_n>5,95$.
    $\quad$
    c. Quelle semble être la limite de la suite $\left(u_n\right)$? Argumenter.
    $\quad$

Exercice 6     12 points

Soit $p$ le trinôme défini par $p(x)=-\dfrac{1}{16}x^2+\dfrac{3}{8}x-\dfrac{5}{16}$ sur $[-1;7]$.

  1. Déterminer la forme canonique de $p$.
    $\quad$
  2. En déduire le tableau de variation de $p$ sur $[-1;7]$ en justifiant.
    $\quad$
  3. a. En regardant le tableau de variation précédent, pourquoi peut-on être sûr, sans le calculer, que le discriminant de ce polynôme est strictement positif ?
    $\quad$
    b. Calculer ce discriminant et dresser le tableau de signe de $p$.
    $\quad$
  4. Exprimer $\left|p(x)\right|$ sans valeur absolue, puis donner l’allure de la représentation graphique de la fonction $x\to \left|p(x)\right|$ dans le repère ci-dessous.$\quad$
  5. Notons maintenant $q(x)=\sqrt{-\dfrac{1}{16}x^2+\dfrac{3}{8}x-\dfrac{5}{16}}$.
    a. Déterminer l’ensemble de définition de la fonction $q$.
    $\quad$
    b. Dresser son tableau de variation en justifiant.
    $\quad$
    c. Démontrer que pour tout $x\in [1;5]$, on a $p(x) \pp q(x) \pp \sqrt{q(x)}$.
    $\quad$
    Rappel : Soit $X$ un nombre réel.
    – si $0 \pp X \pp 1$ alors $X^2 \pp X \pp \sqrt{X}$.
    – si $1 \pp X$ alors $\sqrt{X} \pp X \pp X^2$.
    $\quad$

Ex 1

Exercice 1

  1. À l’aide de la calculatrice on obtient $\conj{x_A}\approx 14,4$ et $\sigma_A\approx 6,681~3$.
    $\quad$
  2. Voici le tableau des effectifs cumulés croissants (ECC) de la série.
    $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
    \hline
    \text{Température en °C}&0&3&6&9&12&15&18&21&24&27\\
    \hline
    \text{Effectif}&20&10&40&57&8&1&189&10&20&10\\
    \hline
    \text{ECC}&20&30&70&127&135&136&325&335&355&365\\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$
    $\dfrac{365}{2}=182,5$. La médiane est donc la $183\ieme$ valeur, c’est-à-dire $18$.
    $\dfrac{365}{4}=91,25$. $Q_1$ est donc la $92\ieme$ valeur. Donc $Q_1=9$.
    $\dfrac{365\times 3}{4}=273,75$. $Q_3$ est donc la $274\ieme$ valeur. Donc $Q_3=18$.
    $\quad$
  3. On obtient le diagramme en boîte suivant :
    $\quad$
  4. Si l’on utilise les couples moyenne-écart type, on peut constater que les séries des deux villes ont la même moyenne ce qui signifie que les températures sont similaires en moyenne mais l’écart type de la série A est plus petit que celui de la série B, ce qui signifie que les températures relevées dans la ville A sont plus homogènes autour de la moyenne qui est $14$.
    $\quad$
    Si l’on utilise le couple médiane-écart interquartile, on peut constater que les séries des deux villes ont la même médiane mais l’écart interquartile de la série de la ville A est plus petit ce qui signifie que les température de la villes A sont plus homogènes autour de la médiane qui est $18$.
    $\quad$

Ex 2

Exercice 2

On appelle $x$ la longueur de la ficelle permettant de réaliser le carré.
L’aire du carré est donc $\mathscr{A}_1(x)=\left(\dfrac{x}{4}\right)^2=\dfrac{x^2}{16}$.

On appelle $\ell$ la largeur du rectangle. Sa longueur est donc $2\ell$ et son périmètre est $2(\ell+2\ell)=6\ell$.
Or son périmètre est également égal à $17-x$.
Par conséquent $6\ell=17-x \ssi \ell=\dfrac{17-x}{6}$.
Ainsi l’aire du rectangle est $\mathscr{A}_2(x)=\dfrac{17-x}{6}\times 2\times \dfrac{17-x}{6}=\dfrac{(17-x)^2}{18}$.

La somme des deux aires est :
$\begin{align*} \mathscr{A}(x)&=\mathscr{A}_1(x)+\mathscr{A}_2(x) \\
&=\dfrac{x^2}{16}+\dfrac{(17-x)^2}{18} \\
&=\dfrac{18x^2+16(17-x)^2}{288} \\
&=\dfrac{18x^2+16\left(289-34x+x^2\right)}{288} \\
&=\dfrac{34x^2-544x+4~624}{288}\end{align*}$

On considère la fonction du second degré $P(x)=34x^2-544x+4~624$.
On a $a=34>0$.
La fonction admet donc un minimum dont l’abscisse est :
$\alpha =-\dfrac{b}{2a}=\dfrac{544}{68}=8$

La somme des deux aires est donc minimale si $x=8$.
$\quad$

Ex 3

Exercice 3

  1. On a :
    $\begin{align*} 5\vect{MB}+\vect{MC}=\vec{0} &\ssi 5\vect{MB}+\vect{MB}+\vect{BC}=\vec{0} \\
    &\ssi 6\vect{MB}=-\vect{BC} \\
    &\ssi \vect{BM}=\dfrac{1}{6}\vect{BC}\end{align*}$
    $\quad$
  2. On a :
    $\begin{align*} \vect{KL}&=\vect{KA}+\vect{AL} \\
    &=-\vect{AK}+\dfrac{3}{4}\vect{AB} \\
    &=\dfrac{3}{4}\vect{AB}+\dfrac{3}{2}\vect{AC}\end{align*}$
    $\quad$
  3. On a :
    $\begin{align*} \vect{KM}&=\vect{KA}+\vect{AB}+\vect{BM} \\
    &=\dfrac{3}{2}\vect{AC}+\vect{AB}+\dfrac{1}{6}\vect{BC} \\
    &=\dfrac{3}{2}\vect{AC}+\vect{AB}+\dfrac{1}{6}\left(\vect{BA}+\vect{AC}\right) \\
    &=\dfrac{3}{2}\vect{AC}+\vect{AB}-\dfrac{1}{6}\vect{AB}+\dfrac{1}{6}\vect{AC}\\
    &=\dfrac{5}{6}\vect{AB}+\dfrac{5}{3}\vect{AC} \end{align*}$
    $\quad$
  4. On obtient donc $\vect{KM}=\dfrac{10}{9}\vect{KL}$
    Les vecteurs $\vect{KM}$ et $\vect{KL}$ sont donc colinéaires.
    Par conséquent les points $K, L$ et $M$ sont alignés.
    $\quad$

Ex 4

Exercice 4

  1. a. Si $x=-1$ alors $2y-8=0 \ssi y=5$. Le point de coordonnées $(-1;4)$ appartient à la droite $(d)$.
    Si $x=3$ alors $2y-12=0 \ssi y=6$. Le point de coordonnées $(3;6)$ appartient à la droite $(d)$.
    $\quad$
    b. On a $\vect{AC}(4-1;5-3)$ soit $\vect{AC}(3;2)$.
    Soit $M(x;y)$ un point du plan. On a ainsi $\vect{AM}(x-1;y-3)$.
    Le point $M$ appartient à la droite $(d)$
    $\ssi$ $\vect{AM}$ et $\vect{AC}$ sont colinéaires
    $\ssi 2(x-1)-3(y-3)=0$
    $\ssi 2x-2-3y+9=0$
    $\ssi 2x-3y+7=0$
    Une équation cartésienne de la droite $(AC)$ est donc $2x-3y+7=0$.
    $\quad$
    c. Un vecteur directeur de la droite $(d)$ est $\vec{u}(-2;-1)$ et un vecteur directeur de $(AC)$ est $\vect{AC}(3;2)$.
    $-2\times 2-(-1)\times 3=-4+3=-1\neq 0$
    $\vec{u}$ et $\vect{AC}$ ne sont donc pas colinéaires.
    Les droites $(d)$ et $(AC)$ ne sont, par conséquent, pas parallèles.
    $\quad$
  2. a. $E$ est le milieu de $[AB]$.
    Donc $x_E=\dfrac{1+5}{2}=3$ et $y_E=\dfrac{3+1}{2}=2$.
    Les coordonnées du point $E$ sont $(3;2)$.
    $\quad$
    b. La médiane issue de $C$ dans le triangle $ABC$ est la droite $(CE)$.
    On a $\vect{CE}(3-4;2-5)$ soit $\vect{CE}(-1;-3)$.
    Soit $M(x;y)$ un point du plan. On a $\vect{CM}(x-4;y-5)$.
    Le point $M$ appartient à la droite $(CE)$
    $\ssi$ $\vect{CM}$ et $\vect{CE}$ sont colinéaires
    $\ssi$ $-3(x-4)-(-1)(y-5)=0$
    $\ssi$ $-3x+12+y-5=0$
    $\ssi$ $-3x+y+7=0$
    Une équation cartésienne de la droite $(CE)$ est donc $-3x+y+7=0$.
    $\quad$
    c. $3\times 0+5\times 7-35=0+35-35=0$.
    Donc $D(0;7)$ appartient à la médiane issue de $B$ dans le triangle $ABC$. Elle passe donc par les points $D$ et $B$.
    $\quad$
    d. Le centre de gravité $G(x;y)$ du triangle $ABC$ est le point d’intersection des médianes de ce triangle.
    Ses coordonnées sont donc solution du système :
    $\begin{align*} \begin{cases} -3x+y+7=0\\6x+5y-35=0\end{cases} &\ssi \begin{cases} y=3x-7\\6x+5(3x-7)-35=0\end{cases} \\
    & \ssi \begin{cases} y=3x-7\\6x+15x-35-35=0\end{cases} \\
    & \ssi \begin{cases} y=3x-7\\21x=70 \end{cases} \\
    & \ssi \begin{cases} y=3x-7\\x=\dfrac{10}{3} \end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} x=\dfrac{10}{3}\\y=3\times \dfrac{10}{3}-7\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} x=\dfrac{10}{3}\\y=3\end{cases} \end{align*}$.
    Le point $G$ a pour coordonnées $\left(\dfrac{10}{3};3\right)$.
    $\quad$

$\quad$

Ex 5

Exercice 5

  1. Pour tout $n\pg 0$ on a :
    $\begin{align*} u_{n+1}&=\dfrac{6(n+1)-5}{n+1+1}\\
    &=\dfrac{6n+6-5}{n+2}\\
    &=\dfrac{6n+1}{n+2} \end{align*}$
    $\quad$
  2. a. $u_0=-5$, $u_1=\dfrac{1}{2}$, $u_2=\dfrac{7}{3}$, $u_3=\dfrac{13}{4}$ et $u_4=\dfrac{19}{5}$
    $\quad$
    b. Il semblerait que la suite $\left(u_n\right)$ soit croissante.
    $\quad$
  3. a. Pour tout entier naturel $n$ on a :
    $\begin{align*} u_{n+1}-u_n&=\dfrac{6n+1}{n+2}-\dfrac{6n-5}{n+1} \\
    &=\dfrac{(6n+1)(n+1)-(6n-5)(n+2)}{(n+1)(n+2)} \\
    &=\dfrac{6n^2+6n+n+1-\left(6n^2+12n-5n-10\right)}{(n+1)(n+2)} \\
    &=\dfrac{11}{(n+1)(n+2)}
    \end{align*}$
    $\quad$
    b. Pour tout entier naturel $n$ on a $n+1>0$ et $n+2>0$ donc $u_{n+1}-u_n>0$.
    La suite $\left(u_n\right)$ est donc croissante.
    $\quad$
  4. a. Pour tout réel $x\in[0;+\infty[$ on a $f(x)=\dfrac{6x-5}{x+1}$.
    Ainsi pour tout entier naturel $n$ on a $u_n=f(n)$.
    $\quad$
    b. $f(x)=\dfrac{6x+6-6-5}{x+1}=\dfrac{6(x+1)-11}{x+1}=6-\dfrac{11}{x+1}$.
    Donc $a=6$ et $b=-11$
    $\quad$
    c. On considère deux réels $u$ et $v$ tels que $0\pp u< v$
    $\begin{align*} 0\pp u<v &\ssi 1 \pp u+1<v+1 \\
    &\ssi \dfrac{1}{u+1}>\dfrac{1}{v+1} \\
    &\ssi -\dfrac{11}{u+1}<-\dfrac{11}{v+1} \\
    &\ssi 6-\dfrac{11}{u+1}<6-\dfrac{11}{v+1} \\
    &\ssi f(u)<f(v)\end{align*}$
    La fonction $u$ est donc croissante sur l’intervalle $[0;+\infty[$.
    $\quad$
    Pour tout entier naturel $n$ on a $0\pp n<n+1$.
    Puisque la fonction $f$ est croissante sur l’intervalle $[0;+\infty[$ on a $f(n)<f(n+1)$ soit $u_n<u_{n+1}$.
    La suite $\left(u_n\right)$ est donc croissante.
    $\quad$
  5. a. On a
    $\begin{align*} u_n-6&=f(n)-6\\
    &=6-\dfrac{11}{n+1}-6\\
    &=-\dfrac{11}{n+1} \end{align*}$
    $n$ est un entier naturel donc $n+1>0$.
    Par conséquent $u_n-6<0$ soit $u_n<6$ pour tout entier naturel $n$.
    $\quad$
    b. D’après la calculatrice on a $u_{219}=5,95$ et $u_{220}=\dfrac{1~315}{221}>5,95$.
    C’est donc à partir de $n=220$ que $u_n>5,95$.
    $\quad$
    c. La suite $\left(u_n\right)$ est croissante et majorée par $6$.
    Plus la valeur de $n$ augmente plus la valeur de $u_n$ se rapproche de $6$. Donc $\lim\limits_{n\to +\infty}=6$.
    $\quad$

Ex 6

Exercice 6

  1. Pour tout réel $x$ appartenant à l’intervalle $[-1;7]$ on a :
    $\begin{align*} p(x)&=-\dfrac{1}{16}x^2+\dfrac{3}{8}x-\dfrac{5}{16} \\
    &=-\dfrac{1}{16}\left(x^2-6x+5\right) \\
    &=-\dfrac{1}{16}\left(x^2-6x+9-9+5\right) \\
    &=-\dfrac{1}{16}\left((x-3)^2-4\right) \\
    &=-\dfrac{1}{16}(x-3)^2+\dfrac{1}{4}\end{align*}$
    $\quad$
  2. On a $a=-\dfrac{1}{16}<0$. La fonction $p$ est donc croissante puis décroissante.
    Son maximum est atteint en $\alpha=3$ et vaut $\dfrac{1}{4}$.
    On obtient alors le tableau de variations suivant :
    $\quad$
  3. a. La fonction $p$ est croissante sur l’intervalle $[-1;3]$ et prend toutes les valeurs comprises entre $-\dfrac{3}{4}<0$ et $\dfrac{1}{4}>0$. L’équation $p(x)=0$ possède donc au moins une solution sur cette intervalle.
    De même la fonction $p$ est décroissante sur l’intervalle $[3;7]$ et prend toutes les valeurs comprises entre $-\dfrac{3}{4}<0$ et $\dfrac{1}{4}>0$. L’équation $p(x)=0$ possède donc au moins une solution sur cette intervalle.
    Le polynôme du second degré $p(x)$ change donc de signe. Son discriminant est donc strictement positif.
    $\quad$
    b. $\Delta = \left(\dfrac{3}{8}\right)^2-4\times \left(-\dfrac{1}{16}\right)\times \left(-\dfrac{5}{16}\right)=\dfrac{1}{16}>0$
    Les deux solutions sont :
    $x_1=\dfrac{-\dfrac{3}{8}-\sqrt{\dfrac{1}{16}}}{-\dfrac{1}{8}}=5$ et $x_2=\dfrac{-\dfrac{3}{8}+\sqrt{\dfrac{1}{16}}}{-\dfrac{1}{8}}=1$
    On sait que $a=-\dfrac{1}{16}<0$. Le tableau de signes de $p(x)$ est donc :
  4. Sur $]-1;1[\cup]5;7[$ on a $p(x)<0$ donc $\left|p(x)\right|=-p(x)=\dfrac{1}{16}x^2-\dfrac{3}{8}x+\dfrac{5}{16}$.
    Sur $]1;5[$ on a $p(x)>0$ donc  $\left|p(x)\right|=p(x)=-\dfrac{1}{16}x^2+\dfrac{3}{8}x-\dfrac{5}{16}$.
    $\quad$
    On obtient donc la représentation graphique suivante :
    $\quad$
  5. a. L’ensemble de définition de la fonction $q$ est $D_q=[1;5]$.
    $\quad$
    b. Pour tout réel $x$ de l’intervalle $[1;5]$ on a $p(x)\pg 0$.
    Les fonction $p$ et $\sqrt{p}$ ont donc le même sens de variation.
    On obtient par conséquent le tableau de variations suivant :
    $\quad$
    c. Pour tout réel $x$ appartenant à l’intervalle $[1;5]$ on a, d’après le tableau de variation $0\pp q(x) \pp \dfrac{1}{2}<1$.
    Donc $\left(q(x)\right)^2 \pp q(x) \pp \sqrt{q(x)}$
    Soit $p(x) \pp q(x) \pp \sqrt{q(x)}$
    $\quad$