DNB – Amérique du Nord – Juin 2018

Amérique du Nord – Juin 2018

DNB – Mathématiques – Correction

L’énoncé de ce sujet de brevet est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

  1. D’après le tableau, on peut dire qu’il y avait $5,446$ millions d’abonnements Internet à très haut débit en 2016.
    $\quad$
  2. La différence d’abonnements Internet entre 2016 et 2015 est $27,684-26,867=0,817$ millions soit $817~000$ abonnements.
    $\quad$
  3. On pu saisir en $B4$ la formule $=B2+B3$.
    $\quad$
  4. $\dfrac{5,6}{100}\times 4,237=0,237~272$ millions soit $237~272$.
    $237~272$ abonnements Internet utilisaient la fibre optique en 2015.
    $\quad$

Ex 2

Exercice 2

  1. $\quad$

    $\quad$
  2. Dans le triangle $ADE$, le plus grand côté est $[AD]$.
    D’une part $AD^2=49$
    D’autre part $AE^2+DE^2=5,6^2+4,2^2=31,36+17,64=49$
    Donc $AD^2=AE^2+DE^2$.
    D’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle $ADE$ est rectangle en $E$.
    $\quad$
  3. Dans les triangles $AFG$ et $ADE$ on a :
    – $F$ appartient au segment $[AD]$;
    – $G$ appartient au segment $[AE]$;
    – les droites $(FG)$ et $(DE)$ sont parallèles.
    D’après le théorème de Thalès on a :
    $\dfrac{AF}{AD}=\dfrac{AG}{AE}=\dfrac{FG}{DE}$
    soit $\dfrac{2,5}{7}=\dfrac{FG}{5,6}$
    Donc $FG=\dfrac{5,6\times 2,5}{7}=2$
    $\quad$

Ex 3

Exercice 3

  1. Il y a $2$ boules sur $4$ portant un numéro pair et $2$ boules portant un numéro impair dans l’urne U des chiffres des unités.
    On a donc autant de chance de former un nombre pair que de former un nombre impair.
    $\quad$
  2. a. Les nombres pairs et les nombres dont le chiffre des unités est $5$ ne peuvent pas être des nombres premiers : ils sont divisibles par $2$ pour les premiers et par $5$ pour les autres.
    Il ne reste donc que les nombres $13$, $23$ et $33$.
    Or $33=3\times 11$.
    Les seuls nombres premiers qu’on peut former sont donc $13$ et $23$.
    $\quad$
    b. On peut formet $3\times 4=12$ nombres parmi lesquels $2$ sont premiers.
    La probabilité de former un nombre premier est donc égale à $\dfrac{2}{12}=\dfrac{1}{6}$.
    $\quad$
  3. On peut former quatre multiples de $3$ : $12$, $15$, $33$ et $36$.
    La probabilité de former un multiple de $3$ est donc $\dfrac{4}{12}=\dfrac{1}{3}$.
    $\quad$

 

Ex 4

Exercice 4

  1. a. On initialise la variable côté à $40$ et on trace ensuite le premier carré.
    La longueur du côté du plus petit carré dessiné est donc $40$.
    $\quad$
    b. On augmente de $20$ la longueur de la variable côté et on trace trois nouveaux carrés.
    Le côté du dernier carré a donc une longueur de $40+3\times 20=100$.
    $\quad$
  2. On peut insérer l’instruction après l’instruction avancer de côté.
    $\quad$
  3. Le dessin 1 ne peut pas être obtenu puisqu’on ne modifie pas l’ordonnée du point à partir duquel on commence à tracer le carré.
    Le dessin 2 ne peut pas être obtenu puisqu’on relève le stylo dans le bloc carré.
    On obtient donc le dessin 3.
    $\quad$

Ex 5

Exercice 5

  1. On peut utiliser la symétrie d’axe $(AB)$ pour compléter le motif 1 pour obtenir le motif 2.
    $\quad$
  2. Gaspar a utilisé la translation qui transforme $A$ en $D$ (qui est également celle qui transforme $C$ en $B$).
    $\quad$

 

Ex 6

Exercice 6

  1. Dans le triangle $ABP$ rectangle en $P$ on a :
    $\tan \widehat{ABP}=\dfrac{AP}{PB}$
    soit $\tan \widehat{ABP}=\dfrac{0,27-0,15}{5}$
    Donc $\tan \widehat{ABP}=0,024$
    Ainsi $\widehat{ABP}\approx 1,37$°.
    Le projet de Madame Martin vérifie bien la condition sur l’angle $\widehat{ABP}$.
    $\quad$
  2. Aire du trapèze $ABCD$ $= \dfrac{(0,27+0,15)\times 5}{2}=1,05$ m$^2$.
    Volume de la terrasse $=1,05\times 8=8,4$ m$^3$.
    Prix du béton nécessaire $=95\times 8,4=798$ €.
    Il faut deux camions pour livrer cette quantité de béton.
    La distance parcourue est donc $2\times 2\times 23=92$ km.
    Les frais de livraison sélèvent donc à $5\times 92=460$ €.
    Le montant total de la facture est donc $460+798=1~258$ €.
    $\quad$

 

Ex 7

Exercice 7

  1. $\quad$
    $\begin{align*} A&=2x(x-1)-4(x-1) \\
    &=2x^2-2x-4x+4 \\
    &=2x^2-6x+4
    \end{align*}$
    $\quad$
  2. $(2\times (-5)+1)\times (-5-2)=(-10+1)\times (-7)=(-9)\times (-7)=63$.
    Donc $-5$ est bien solution de l’équation $(2x+1)\times (x-2)=63$.
    $\quad$
  3. L’ordonnée à l’origine de la fonction $f$ est $1,5$.
    La droite représentant la fonction $f$ passe donc par le point de coordonnées $(0;1,5)$.
    Par conséquent le graphique B représente la fonction $f$.
    $\quad$

 

Ex 8

Exercice 8

Il reste $115,2-9,7 = 105,5$ Mo à télécharger.
$\dfrac{105,5}{1,3} \approx 81,15$ secoondes.
Il reste donc, si la vitesse reste constante, $1$ minute et $21$ secondes pour que le téchargment se termine soit moins d’une minute et vingt-cinq secondes.
$\quad$

Énoncé

Exercice 1     14 points

Le tableau ci‐dessous a été réalisé à l’aide d’un tableur.
Il indique le nombre d’abonnements Internet à haut débit et à très haut débit entre 2014 et 2016, sur réseau fixe, en France. (Sources : Arcep et Statistica)

  1. Combien d’abonnements Internet à très haut débit, en millions, ont‐ils été comptabilisés pour l’année 2016 ?
    $\quad$
  2. Vérifier qu’en 2016, il y avait 817 000 abonnements Internet à haut débit et à très haut débit de plus qu’en 2015.
    $\quad$
  3. Quelle formule a‐t‐on pu saisir dans la cellule $B4$ avant de la recopier vers la droite, jusqu’à la cellule $D4$ ?
    $\quad$
  4. En 2015, seulement $5,3 \%$ des abonnements Internet très haut débit utilisaient la fibre optique.
    Quel nombre d’abonnements Internet à très haut débit cela représentait‐il ?
    $\quad$

Exercice 2     14 points

La figure ci‐dessous n’est pas en vraie grandeur.
On donne les informations suivantes :

 

  • Le triangle $ADE$ a pour dimensions :
    $AD = 7$ cm, $AE= 4,2$ cm et $DE= 5,6$ cm.
  • $F$ est le point de $[AD]$ tel que $AF= 2,5$ cm.
  • $B$ est le point de $[AD)$ et $C$ est le point de $[AE)$ tels que : $AB= AC= 9$ cm.
  • La droite $(FG)$ est parallèle à la droite $(DE)$.
  1. Réaliser une figure en vraie grandeur.
    $\quad$
  2. Prouver que $ADE$ est un triangle rectangle en $E$.
    $\quad$
  3. Calculer la longueur $FG$.
    $\quad$

Exercice 3     15 points

Deux urnes contiennent des boules numérotées indiscernables au toucher. Le schéma ci‐dessous représente le contenu de chacune des urnes.


On forme un nombre entier à deux chiffres en tirant au hasard une boule dans chaque urne :

  • le chiffre des dizaines est le numéro de la boule issue de l’urne D ;
  • le chiffre des unités est le numéro de la boule issue de l’urne U.

Exemple : en tirant la boule ① de l’urne D et ensuite la boule ⑤ de l’urne U, on forme le nombre $15$.

  1. A‐t‐on plus de chance de former un nombre pair que de former un nombre impair ?
    $\quad$
  2. a. Sans justifier, indiquer les nombres premiers qu’on peut former lors de cette expérience.
    $\quad$
    b. Montrer que la probabilité de former un nombre premier est égale à $\dfrac{1}{6}$.
    $\quad$
  3. Définir un événement dont la probabilité de réalisation est égale à $\dfrac{1}{3}$.
    $\quad$

Exercice 4     14 points

Dans cet exercice, aucune justification n’est attendue.

Simon travaille sur un programme. Voici des copies de son écran :

  1. Il obtient le dessin ci‐dessous.
    a. D’après le script principal, quelle est la longueur du côté du plus petit carré dessiné ?
    $\quad$
    b. D’après le script principal, quelle est la longueur du côté du plus grand carré dessiné ?$\quad$
  2. Dans le script principal, où peut‐on insérer l’instruction  de façon à obtenir le dessin ci‐dessous?

    $\quad$
  3. On modifie maintenant le script principal de la
    façon suivante :


    Parmi les dessins ci‐dessous, lequel obtient‐on ?

$\quad$

Exercice 5     6 points

Gaspard travaille avec un logiciel de géométrie dynamique pour construire une frise.
Il a construit un triangle $ABC$ isocèle en $C$ (motif ①) puis il a obtenu le losange $ACBD$ (motif ②).

Voici des captures d’écran de son travail.

  1. Préciser une transformation permettant de compléter le motif ① pour obtenir le motif ②.
    $\quad$
  2. Une fois le motif ② construit, Gaspard a appliqué à plusieurs reprises une translation.
    Il obtient ainsi la frise ci‐dessous.
    Préciser de quelle translation il s’agit.

$\quad$

Exercice 6     16 points

Madame Martin souhaite réaliser une terrasse en béton en face de sa baie vitrée.

Elle réalise le dessin ci‐dessous.

Pour faciliter l’écoulement des eaux de pluie, le sol de la terrasse doit être
incliné.

La terrasse a la forme d’un prisme droit dont la base est le quadrilatère $ABCD$ et la hauteur est le segment $[CG]$.

$P$ est le point du segment $[AD]$ tel que $BCDP$ est un rectangle.

  1. L’angle $\widehat{ABP}$ doit mesurer entre $1$° et $1,5$°.
    Le projet de Madame Martin vérifie‐t‐il cette condition ?
    $\quad$
  2. Madame Martin souhaite se faire livrer le béton nécessaire à la réalisation de sa terrasse.
    Elle fait appel à une entreprise spécialisée.À l’aide des informations contenues dans le tableau ci‐dessous, déterminer le montant de la facture établie par l’entreprise.

On rappelle que toute trace de recherche, même incomplète, pourra être prise en compte dans l’évaluation.

Information 1
Distance entre l’entreprise et la maison de Madame Martin : $23$ km
Information 2
Formule du volume d’un prisme droit
Volume d’un prisme droit $=$ Aire de la base du prisme $\times$ hauteur du prisme
Information 3
Conditions tarifaires de l’entreprise spécialisée

  •  Prix du m3 de béton : $95$ €.
  •  Capacité maximale du camion‐toupie : $6$ m3.
  • Frais de livraison : $5$ € par km parcouru par le camion‐toupie.
  • L’entreprise facture les distances aller et retour (entreprise/lieu de livraison) parcourues par le camion‐toupie.

$\quad$

Exercice 7     15 points

Les trois questions suivantes sont indépendantes.

  1. $A=2x(x-1)-4(x-1)$
    Développer et réduire l’expression $A$.
    $\quad$
  2. Montrer que le nombre$-5$ est une solution de l’équation$(2x+1)\times (x-2)=63$.
    $\quad$
  3. On considère la fonction $f$ définie par ݂$f(x)=-3x+1,5$.
    a. Parmi les deux graphiques ci‐dessous, quel est celui qui représente la fonction ݂ ?
    $\quad$
    b. Justifier votre choix.

$\quad$

Exercice 8     6 points

On considère la fenêtre de téléchargement ci‐dessous.

Si la vitesse de téléchargement reste constante, faudra‐t‐il plus d’une minute et vingt‐cinq secondes pour que le téléchargement se termine ?

$\quad$