Exercice 1

1. Dans le triangle $AEF$, le plus grand côté est $[AF]$.
   D’une part $AF^2=10^2=100$,
   D’autre part $AE^2+EF^2=8^2+6^2=64+36=100$.
   Donc $EF^2=AE^2+EF^2$.
   D’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle $AEF$ est rectangle en $E$.
   $\quad$
2. Dans le triangle $AEF$ rectangle en $E$ on a :
   $\sin \widehat{EAF}=\dfrac{EF}{AF}=\dfrac{6}{10}=0,6$.
   À l’aide de la touche $\sin^{-1}$ ou $\text{Asn}$ de la calculatrice, on obtient que $\widehat{EAF}\approx 37°$.
   Remarque : on pouvait également utiliser le cosinus ou la tangente.
   $\quad$
3. Dans les triangles $ART$ et $AEF$ :
   – le point $F$ appartient au segment $[AT]$,
   – le point $E$ appartient au segment $[AR]$,
   – $\dfrac{AF}{AT}=\dfrac{10}{14}=\dfrac{5}{7}$ et $\dfrac{AE}{AR}=\dfrac{8}{12}=\dfrac{2}{3}$.
   Par conséquent $\dfrac{5}{7}\neq \dfrac{2}{3}$ (les produits en croix ne sont pas égaux ou les valeurs approchées au centième sont différentes par exemple).
   D’après la contraposée du théorème de Thalès, les droites $(ER)$ et $(RT)$ ne sont pas parallèles.
   $\quad$

Exercice 2

1. D’une part $\dfrac{3}{5}+\dfrac{1}{2}=\dfrac{6}{10}+\dfrac{5}{10}=\dfrac{11}{10}>1$
   D’autre part $\dfrac{3+1}{5+2}=\dfrac{4}{7}<1$
   Par conséquent $\dfrac{3}{5}+\dfrac{1}{2}\neq \dfrac{3+1}{5+2}$
   Affirmation 1 fausse
   $\quad$
2. $f(-1)=5-3\times (-1)=5+3=8\neq -2$
   Affirmation 2 fausse
   $\quad$
3. Les nombres premiers compris entre $1$ et $11$ sont $2$, $3$, $5$, $7$ et $11$.
   La probabilité de choisir un nombre premier dans l’expérience 1 est donc $p_1=\dfrac{5}{11}$
   $\quad$
   Les nombres pairs compris entre $1$ et $6$ sont $2$, $4$ et $6$.
   La probabilité d’obtenir un nombre pair dans l’expérience 2 est donc $p_2=\dfrac{3}{6}=\dfrac{1}{2}$.
   Or $\dfrac{5}{11}<\dfrac{1}{2}$
   Affirmation 3 fausse
   $\quad$
4. Pour tout nombre $x$ on a :
   $\begin{align*}(2x+1)^2-4&=(2x+1)^2-2^2 \\
   &=\left[(2x+1)-2\right]\times \left[(2x+1)+2\right] \\
   &=(2x+1-2)(2x+1+2)\\
   &=(2x-1)(2x+3)\end{align*}$
   Affirmation 4 vraie
   $\quad$

Exercice 3

1. Environ $140$ kg de nourriture par habitant du pays D ont été gaspillés en 2010.
   $\quad$
2. Environ $545$ kg de nourriture par habitant du pays A  et environ $110$ kg de nourriture par habitant du pays F ont été gaspillés en 2010.
   $\dfrac{545}{5}=109 \approx 110$.
   Le gaspillage de nourriture d’un habitant du pays F représente bien environ un cinquième du gaspillage de nourriture d’un habitant du pays A.
   $\quad$
3. a. $3~760~500$ tonnes de nourriture ont été gaspillée par les habitant du pays X en 2010.
   $\quad$
   b. Il faut saisir $=B2/1~000*C2*1~000~000$ pour convertir les kilogrammes en tonnes et les millions en unités.
   On doit saisir $=B2*C2*1~000$ (Proposition 3).
   $\quad$

 

Exercice 4

1. On obtient le programme suivant :
   $\quad$
2. Le lutin doit au minimum avancer de $27$ points. Deux points consécutifs sont séparés de $30$ pixels.
   Le lutin devra donc parcourir au minimum $27\times 30=810$ pixels.
   $\quad$
3. En appuyant sur la touche « flèche haut » le lutin se déplace de $30$ pixels vers le haut. En appuyant sur la touche « flèche droite » le lutin se déplace de $30$ pixels vers la droite. La couleur touchée est alors noire. Le lutin revient donc à sa position initiale $(-180;-120)$.
   $\quad$

 

Exercice 5

1. Dans une symétrie centrale, l’image d’un segment est un segment de même mesure.
   Par la symétrie de centre $O$, le point $C$ a pour image $F$, le point $D$ a pour image $A$ et le point $E$ a pour image $B$. Le point $O$ est invariant par cette symétrie.
   Ainsi, l’image du quadrilatère $CDEO$ par la symétrie de centre $O$ est le quadrilatère $FABO$.
   Proposition 1
   $\quad$
2. Dans une symétrie axiale, l’image d’un segment est un segment de même mesure.
   Le point $O$ appartient à l’axe $(CF)$. Il est donc sa propre image par la symétrie d’axe $(CF)$.
   L’image du point $A$ par cette symétrie est $E$.
   L’image du segment $[AO]$ par la symétrie d’axe $(CF)$ est donc le segment $[EO]$.
   $\quad$
3. Il s’agit de la rotation de centre $O$ et d’angle $2\times 60=120°$ dans le sens des aiguilles d’une montre.
   Par cette transformation, l’image du triangle $BOC$ est le triangle $DOE$.
   $\quad$
4. Par la translation qui transforme l’hexagone 2 en l’hexagone 12, l’hexagone 14 est transformé en l’hexagone 19.
   $\quad$

 

Exercice 6

Partie A

1. Trente minutes (soit $0,5$ heure) après la prise de ce médicament, il y a $10$ mg/L de principe actif dans le sang.
   $\quad$
2. La quantité de principe actif est la plus élevée environ $2$ heures après la prise de ce médicament.
   $\quad$

Partie B

Masse d’alcool contenue dans la boisson ① est $m_1=33\times 0,05\times 7,9=13,035$ g.

Masse d’alcool contenue dans la boisson ② est $m_2=12,5\times 0,12\times 7,9=11,85$ g.

La boisson ① contient donc une masse d’alcool supérieure à celle de la boisson ②.

$\quad$

Exercice 7

1. Il y a $5$ boulets dans l’empilement à $2$ niveaux.
   $\quad$
2. Dans l’empilement à $3$ niveaux, il y a $9+4+1=14$ boulets.
   $\quad$
3. Dans l’empilement à $4$ niveaux, il y a $16+14=30$ boulets.
   Dans l’empilement à $5$ niveaux, il y a $25+30=55$ boulets.
   L’empilement obtenu possède donc $5$ niveaux.
   $\quad$
4. Volume d’un boulet de rayon $6$ cm $=0,06$ m :
   $V=\dfrac{4}{3}\times \pi\times 0,06^3=0,000~288\pi$.
   Masse d’un boulet :
   $m=7~300\times 0,000~288\pi=2,102~4\pi$ kg.
   Masse de l’empilement :
   $\begin{align*} M&=2,102~4\pi \times 14\\
   &=29,433~6\pi\\
   &\approx 92,47 \text{ kg}\end{align*}$
   L’empilement à $3$ niveaux de ces boulets pèse donc bien environ $92$ kg.
   $\quad$

Exercice 8

1. La plus basse note est au plus $6$. Puisque l’étendue de cette série est égale à $9$, cela signifie que la plus haute note est inférieure ou égal à $6+9=15<16$.
   Aucune des notes manquantes ne peut donc être $16$.
   $\quad$
2. Supposons que les deux notes manquantes soient $12,5$ et $13,5$.
   La moyenne de cette série de notes est donc :
   $\begin{align*} m&=\dfrac{10+13+15+14,5+6+7,5+12,5+13,5}{8} \\
   &=\dfrac{92}{8}\\
   &=11,5\end{align*}$
   $\quad$
   On range dans l’ordre croissant cette série de note :
   $6;\quad 7,5;\quad 10;\quad 12,5;\quad 13; \quad 13,5;\quad 14,5;\quad 15$
   $\dfrac{8}{2}=4$ la médiane est donc la moyenne de la $4^{\text{ème}}$ et  $5^{\text{ème}}$ note, c’est-à-dire $\dfrac{12,5+13}{2}=12,75 \neq 12$.
   $\quad$
   Les deux notes manquantes ne peuvent donc pas être $12,5$ et $13,5$.
   $\quad$.

Exercice 1     14 points

On considère la figure ci‐dessous, réalisée à main levée et qui n’est pas à l’échelle.

On donne les informations suivantes :

• les droites $(ER)$ et $(FT)$ sont sécantes en $A$;
• $AE=8$ cm, $AF=10$ cm, $EF=6$ cm;
• $AR=12$ cm$, $AT=14$ cm.

1. Démontrer que le triangle $AEF$ est rectangle en $E$.
   $\quad$
2. En déduire une mesure de l’angle $\widehat{EAF}$ au degré près.
   $\quad$
3. Les droites $(EF)$ et $(RT)$ sont‐elles parallèles ?
   $\quad$

$\quad$

Exercice 2     17 points

Voici quatre affirmations. Pour chacune d’entre elles, dire si elle est vraie ou fausse. On  rappelle que la réponse doit être justifiée.

1. Affirmation 1 : $\dfrac{3}{5}+\dfrac{1}{2}=\dfrac{3+1}{5+2}$
   $\quad$
2. On considère la fonction ݂: $f:x\mapsto 5-3x$
   Affirmation 2 : l’image de $-1$ par $f$ est $-2$.
   $\quad$
3. On considère deux expériences aléatoires :
   $\bullet$ expérience n°1 : choisir au hasard un nombre entier compris entre $1$ et $11$ ($1$ et $11$ inclus).
   $\bullet$ expérience n°2 : lancer un dé équilibré à six faces numérotées de $1$ à $6$ et annoncer le nombre qui apparaît sur la face du dessus.
   Affirmation 3 : il est plus probable de choisir un nombre premier dans l’expérience n°1  que d’obtenir un nombre pair dans l’expérience n°2.
   $\quad$
4. Affirmation 4 : pour tout nombre $x$, $\qquad$ $(2x+1)^2-4=(2x+3)(2x-1)$.
   $\quad$

$\quad$

Exercice 3     12 points

Le diagramme ci‐dessous représente, pour six pays, la quantité de nourriture gaspillée (en kg)  par habitant en 2010.

1. Donner approximativement la quantité de nourriture gaspillée par un habitant du pays D  en 2010.
   $\quad$
2. Peut‐on affirmer que le gaspillage de nourriture d’un habitant du pays F représente environ un cinquième du gaspillage de nourriture d’un habitant du pays A ?
   $\quad$
3. On veut rendre compte de la quantité de nourriture gaspillée pour d’autres pays. On réalise alors le tableau ci‐dessous à l’aide d’un tableur.
   Rappel : $1$ tonne $= 1~000$ kg.
   
   a. Quelle est la quantité totale de nourriture gaspillée par les habitants du pays X en 2010 ?
   $\quad$
   b. Voici trois propositions de formule, recopier sur votre copie celle qu’on a saisie dans la cellule $D2$ avant de l’étirer jusqu’en $D4$.
   Proposition 1: $=B2*C2*1~000~000$
   Proposition 2: $=B2*C2$
   Proposition 3: =$B2*C2*1~000$
   $\quad$

$\quad$

Exercice 4     10 points

On a programmé un jeu.
Le but du jeu est de sortir du labyrinthe.
Au début du jeu, le lutin se place au point de départ.
Lorsque le lutin touche un mur, représenté par un trait noir épais, il revient au point de départ.

L’arrière‐plan est constitué d’un repère d’origine $O$ avec des points espacés de $30$ unités verticalement et horizontalement.
Dans cet exercice, on considèrera que seuls les murs du labyrinthe sont noirs.
Voici le programme :

Le bloc correspond à un sous‐programme qui fait dire « Gagné ! » au lutin lorsqu’il est situé au point de sortie ; le jeu s’arrête alors.

1. Recopier et compléter l’instruction du programme pour ramener le lutin au point de départ si la couleur noire est touchée.
   $\quad$
2. Quelle est la distance minimale parcourue par le lutin entre le point de départ et le point de sortie ?
   $\quad$
3. On lance le programme en cliquant sur le drapeau. Le lutin est au point de départ.
   On appuie brièvement sur la touche ↑ (« flèche haut ») puis sur la touche → (« flèche droite »). Quelles sont toutes les actions effectuées par le lutin ?
   $\quad$

$\quad$

Exercice 5     10 points

Dans cet exercice aucune justification n’est attendue.

On considère l’hexagone $ABCDEF$ de centre $O$ représenté ci‐dessous.

1. Parmi les propositions suivantes, recopier celle qui correspond à l’image du quadrilatère $CDEO$ par la symétrie de centre $O$.
   Proposition 1: $FABO$
   Proposition 2: $ABCO$
   Proposition 3: $FODE$
   $\quad$
2. Quelle est l’image du segment $[AO]$ par la symétrie d’axe $(CF)$ ?
   $\quad$
3. On considère la rotation de centre $O$ qui transforme le triangle $OAB$ en le triangle $OCD$.
   Quelle est l’image du triangle $BOC$ par cette rotation ?
   $\quad$

La figure ci‐dessous représente un pavage dont le motif de base a la même forme que l’hexagone ci‐dessus.
On a numéroté certains de ces hexagones.

4. Quelle est l’image de l’hexagone $14$ par la translation qui transforme l’hexagone $2$ en l’hexagone $12$ ?
   $\quad$

$\quad$

Exercice 6     12 points

Les deux parties A et B sont indépendantes.

Partie A : absorption du principe actif d’un médicament
Lorsqu’on absorbe un médicament, que ce soit par voie orale ou non, la quantité de principe actif de ce médicament dans le sang évolue en fonction du temps. Cette quantité se mesure en milligrammes par litre de sang.
Le graphique ci‐dessous représente la quantité de principe actif d’un médicament dans le sang, en fonction du temps écoulé, depuis la prise de ce médicament.

a. Quelle est la quantité de principe actif dans le sang, trente minutes après la prise de ce médicament ?
$\quad$
b. Combien de temps après la prise de ce médicament, la quantité de principe actif est‐elle la plus élevée ?
$\quad$

Partie B : comparaison de masses d’alcool dans deux boissons
On fournit les données suivantes :

Question : la boisson ① contient‐elle une masse d’alcool supérieure à celle de la boisson ② ?
$\quad$

$\quad$

Exercice 7     15 points

Pour ranger les boulets de canon, les soldats du XVIe siècle utilisaient souvent un type d’empilement pyramidal à base carrée, comme le montrent les dessins suivants :

1. Combien de boulets contient l’empilement à $2$ niveaux ?
   $\quad$
2. Expliquer pourquoi l’empilement à $3$ niveaux contient $14$ boulets.
   $\quad$
3. On range $55$ boulets de canon selon cette méthode. Combien de niveaux comporte alors l’empilement obtenu ?
   $\quad$
4. Ces boulets sont en fonte ; la masse volumique de cette fonte est de $7~300$ kg/m$^3$.
   On modélise un boulet de canon par une boule de rayon $6$ cm.
   Montrer que l’empilement à $3$ niveaux de ces boulets pèse $92$ kg, au kg près.
   Rappels :
   $\blacktriangleright$ volume d’une boule $= \dfrac{4}{3}\times \pi \times $ rayon $\times$ rayon $\times$ rayon
   $\blacktriangleright$ une masse volumique de $7~300$ kg/m$^3$ signifie que $1$ m$^3$ pèse $7~300$ kg
   $\quad$

$\quad$

Exercice 8     10 points

Dans une classe de Terminale, huit élèves passent un concours d’entrée dans une école d’enseignement supérieur.
Pour être admis, il faut obtenir une note supérieure ou égale à $10$.
Une note est attribuée avec une précision d’un demi‐point (par exemple : $10$ ; $10,5$ ; $11$ ; $\ldots$)
On dispose des informations suivantes :
$\quad$

Information 1
Notes attribuées aux $8$ élèves de la classe qui ont passé le concours : $10$ ; $13$ ; $15$ ; $14,5$ ; $6$ ; $7,5$ ; $\blacklozenge$ ; $\bullet$
$\quad$

Information 2
La série constituée des huit notes :
‐ a pour étendue $9$
‐ a pour moyenne $11,5$
‐ a pour médiane $12$.
$75 \%$ des élèves de la classe qui ont passé le concours ont été reçus.

1. Expliquer pourquoi il est impossible que l’une des deux notes désignées par $\blacklozenge$ ou $\bullet$ soit $16$.
   $\quad$
2. Est‐il possible que les deux notes désignées par $\blacklozenge$ et $\bullet$ soient $12,5$ et $13,5$ ?
   $\quad$