Exercice 1

1. Dans le triangle $ABC$ rectangle en $A$ on a :
   $\sin \widehat{ABC}=\dfrac{AC}{BC}=\dfrac{3,5}{7}=\dfrac{1}{2}$
   Donc $\widehat{ABC}=30$°. Réponse A
2. Les deux triangles sont symétriques par rapport à $O$.

    

   on a donc $\widehat{DEF}=\widehat{CBA}=35$° Réponse A

3. La transformation qui permet d’obtenir la figure 2 à partir de la figure 1 est une homothétie. Réponse B

    

   $\quad$

Exercice 2

Hugo a déposé $\dfrac{15}{100}\times 300=45$ BD à la déchèterie.
Il lui reste donc $300-45=255$ BD.

Il vend $\dfrac{3}{5}\times 255=153$ BD à la braderie.

Il lui reste donc $255-153=102$ BD à la fin de la braderie.

Exercice 3

1. a. Voici les différents étapes de calcul : $$3\to -2\to -8$$ 
   On obtient donc le nombre $-8$.
   $\quad$
   b. Voici les différentes étapes de calcul : $$3\to 18\to -2 \to -8$$
   On obtient donc le nombre $-8$.
   $\quad$
2. Avec le programme 1 :
   Soustraire $5$ : $-2-5=-7$
   Multiplier par $4$ : $-7\times 4=-28$
   $\quad$
   Avec le programme 2 :
   Multiplier par $6$ : $-2\times 6=-12$
   Soustraire $20$ : $-12-20=-32$
   Soustraire le double du nombre de départ : $-32-2\times (-2)=-32+4=28$
   $\quad$
   On obtient bien deux fois le même résultat.
   $\quad$
3. On a pu saisir dans la cellule $B2$ la formule $=A2*5-4$.
   $\quad$
4. On appelle $x$ le nombre choisi.
   Avec le programme 1 on obtient : $(x-5)\times 4=4x-20$.
   Avec le programme 2 on obtient : $6x-20-2x=4x-20$.
   Lucie a donc raison.
   $\quad$

Exercice 4

Calculons la largeur de l’écran : $\dfrac{16}{9}\times 60=\dfrac{320}{3}$ cm.
Calculons la diagonale de l’écran : On applique pour cela le théorème de Pythagore.
$d^2=60^2+\left(\dfrac{320}{3}\right)^2=\dfrac{134~800}{9}$
Donc $d\approx 122,4$ cm.

D’après le graphique, pour cette diagonale d’écran, la distance écran-téléspectateur doit être comprise entre $205$ cm et $420$ cm.

Or $3,05$ m $=305$ cm. Cette distance est bien comprise entre les distances minimales et maximales.

Valentin a fait un choix adapté.
$\quad$

Exercice 5

1. Le temps du vainqueur de la finale en 2016 est $9,81$ s.
   $\quad$
2. La moyenne des temps de la finale de 2016 est :
   $m=\dfrac{10,04+9,96+\ldots+9,94}{8} \approx 9,94 < 10,01$.
   La moyenne des temps pour effectuer $100$ m est la plus petite en 2016.
   $\quad$
3. En 2012, le meilleur temps est $11,99-2,36=9,63<9,81$.
   C’est donc lors de la finale de $2012$ que le meilleur temps a été réalisé.
   $\quad$
4. La médiane des temps en 2012 est de $9,84$.
   Cela signifie donc que $4$ athlètes ont mis au plus $9,84$ s pour parcourir le $100$ m de la finale de 2012.
   Affirmation fausse
   $\quad$
5. En 2016, $6$ athlètes ont réalisé un temps inférieur à $10$ s.
   C’est en 2012, qu’il y a eu le plus d’athlètes ayant réussi à parcourir le $100$ m de la finale en moins de $10$ s. Ils étaient donc au moins $7$ à avoir obtenu un tel temps.
   Un athlète parmi ces $8$ a mis $11,99$ s.
   Cela signifie donc que $7$ athlètes ont parcouru le $100$ m en moins de $10$ s en 2012.
   $\quad$

Exercice 6

1. a. Si on prend la valeur $40$ il n’y a alors plus d’espace entre les carrés.
   La valeur effacée est donc $60$.
   $\quad$
   b. On obtient la figure suivante :
   

   $\quad$

2. On peut utiliser : $a=3$, $b=40$ et $c=120$.
   $\quad$

Exercice 7

$20$ min $=\dfrac{1}{3}$ h.
La vitesse moyenne de Noémie est $v=\dfrac{7}{\dfrac{1}{3}}=21$ km/h.
Affirmation 1 fausse

$\quad$

Marie-Amélie Le Fur a parcouru les $400$ m en $\dfrac{0,4}{24,3} \times 60 \approx 0,988$ min
Affirmation 2 vraie

$\quad$

Indication portant sur l’ensemble du sujet.
Toutes les réponses doivent être justifiées, sauf si une indication contraire est donnée. Pour
chaque question, si le travail n’est pas terminé, laisser tout de même une trace de la recherche;
elle sera prise en compte dans la notation.

Exercice 1     12 points

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chaque question, une seule réponse est correcte.
Pour chacune des questions, écrire sur la copie, le numéro de la question et la lettre de la bonne réponse.
Aucune justification n’est attendue.

1. $ABC$ est un triangle rectangle en $A$.
   $AC=3,5$ cm et $BC=7$ cm. La mesure de l’angle $\widehat{ABC}$ est :
   Réponse A : $30$°
   Réponse B : $45$°
   Réponse C : $60$°
   $\quad$
2. $\quad$
   
   Le triangle $DEF$ est le symétrique du triangle $ABC$ par rapport au point $O$. La mesure de l’angle $DEF$ est :
   Réponse A : $35$°
   Réponse B : $55$°
   Réponse C : $65$°
   $\quad$
3. $\quad$
   
   La transformation utilisée pour obtenir la figure 2 à partir de la figure 1 est une :
   Réponse A : translation
   Réponse B : homothétie
   Réponse C : rotation
   $\quad$

Exercice 2     12 points

Avant son déménagement, Hugo décide de se séparer de sa collection de $300$ BD (bandes dessinées).
$15 \%$ de ces BD sont trop abîmées pour être vendues. Il les dépose à la déchetterie.

À la braderie du village, il vend ensuite trois cinquièmes de ce qu’il lui reste.
Combien rapporte-t-il de BD chez lui à la fin de la braderie ?
$\quad$

Exercice 3     17 points

Voici deux programmes de calcul :

$$\begin{array}{l|l}
\hspace{2cm} \text{Programme de calcul ➀} \hspace{2cm}&\hspace{2cm} \text{Programme de calcul ➁ }\\
\bullet\text{ Soustraire }5&\bullet\text{ Multiplier par }6\\
\bullet\text{ Multiplier par }4&\bullet\text{ Soustraire  }20\\
&\bullet\text{ Soustraire le double du nombre de départ}\\
\end{array}$$

1. a. Quel résultat obtient-on quand on applique le programme de calcul ➀ au nombre $3$ ?
   $\quad$
   b. Quel résultat obtient-on quand on applique le programme de calcul ➁ au nombre $3$ ?
   $\quad$
2. Démontrer qu’en choisissant le nombre $-2$, les deux programmes donnent le même résultat.
   $\quad$
3. On décide de réaliser davantage d’essais. Pour cela, on utilise un tableur et on obtient la copie d’écran suivante :
   
   Quelle formule a-t-on pu saisir dans la cellule $B2$ avant de la recopier vers le bas, jusqu’à la cellule $B5$ ?
   $\quad$
4. Les résultats affichés dans les colonnes B et C sont égaux. Lucie pense alors que, pour n’importe quel nombre choisi au départ, les deux programmes donnent toujours le même résultat.
   Démontrer que Lucie a raison.
   $\quad$

Exercice 4     18 points

Valentin souhaite acheter un écran de télévision ultra HD (haute définition).
Pour un confort optimal, la taille de l’écran doit être adaptée aux dimensions de son salon.
Voici les caractéristiques du téléviseur que Valentin pense acheter : $$\begin{array}{|lcc|}
\hline
\text{Hauteur de l’écran}&\hspace{1cm}&60\text{ cm}\\
\text{Format de l’écran}&\hspace{1cm}&16/9\\
\text{Ultra HD}&\hspace{1cm}&\text{oui}\\
\hline
\end{array}$$

Question : Valentin a-t-il fait un choix adapté ?

Utiliser les informations ci-dessous et les caractéristiques du téléviseur pour répondre.
Toute trace de recherche, même incomplète, pourra être prise en compte dans la notation.
Information 1.
Distance écran-téléspectateur du salon de Valentin : $3,20$ m.

Information 2. Format $16/9$
Pour un écran au format $16/9$, on a : Largeur $=\dfrac{16}{9}\times$ Hauteur

Information 3. Graphique pour aider au choix de la taille de l’écran

$\quad$

Exercice 5     17 points

Dans tout l’exercice, on étudie les performances réalisées par les athlètes qui ont participé aux finales du 100 m masculin des Jeux Olympiques de 2016 et de 2012.
On donne ci-dessous des informations sur les temps mis par les athlètes pour parcourir 100 m.

Finale du 100 m aux Jeux Olympiques de 2016 :
Temps réalisés par tous les finalistes :$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
10,04\text{ s}&9,96\text{ s}&9,81\text{ s}&9,91\text{ s}&10,06\text{ s}&9,89\text{ s}&9,93\text{ s}&9,94\text{ s}\\
\hline
\end{array}$$

Finale du 100 m aux Jeux Olympiques de 2012 :

$$\begin{array}{|clcr|}
\hline
\bullet&\text{nombre de finalistes}&\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots&8\\
\bullet&\text{temps le plus long}&\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots&11,99 \text{ s}\\
\bullet&\text{étendue des temps}&\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots&2,36 \text{ s}\\
\bullet&\text{moyenne des temps}&\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots&10,01 \text{ s}\\
\bullet&\text{médiane des temps}&\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots&9,84 \text{ s}\\
\hline
\end{array}$$

1. Quel est le temps du vainqueur de la finale en 2016 ?
   $\quad$
2. Lors de quelle finale la moyenne des temps pour effectuer 100 m est-elle la plus petite ?
   $\quad$
3. Lors de quelle finale le meilleur temps a-t-il été réalisé ?
   $\quad$
4. L’affirmation suivante est-elle vraie ou fausse ?
   Affirmation : « Seulement trois athlètes ont mis moins de $10$ s à parcourir les 100 m de la finale de 2012 ».
   $\quad$
5. C’est lors de la finale de 2012 qu’il y a eu le plus d’athlètes ayant réussi à parcourir le 100 m en moins de $10$ s.
   Combien d’athlètes ont-ils réalisé un temps inférieur à $10$ s lors de cette finale de 2012 ?
   $\quad$

Exercice 6     12 points

Léna et Youri travaillent sur un programme. Ils ont obtenu le dessin suivant :

Ils ont ensuite effacé une donnée par erreur dans le script principal.
Voici les copies d’écran de leur travail :

Dans cet exercice, aucune justification n’est demandée.

1. a. La valeur effacée dans le script principal était-elle $40$ ou bien $60$ ?
   $\quad$
   b. Dessiner sur la copie ce qu’on aurait obtenu avec l’autre valeur.
   On représentera l’instruction « avancer de $20$ » par un segment de longueur $1$ cm.
   $\quad$
2. Léna et Youri souhaitent maintenant obtenir un triangle équilatéral comme motif.
   
   Afin d’obtenir un triangle équilatéral :
   $\bullet$ par quelle valeur peut-on remplacer $a$ ?
   $\bullet$ par quelle valeur peut-on remplacer $b$ ?
   $\bullet$ par quelle valeur peut-on remplacer $c$ ?
   $\quad$

Exercice 7     12 points

En 2016 Marie-Amélie Le Fur a remporté la médaille d’or du 400 m aux Jeux Paralympiques (*) de Rio.
Lors de la finale, elle a parcouru cette distance à la vitesse moyenne de $24,3$ km/h en battant ainsi son propre record du monde.
Noémie met $20$ minutes à vélo pour parcourir les $7$ km séparant le collège de sa maison.

Pour chacune des deux affirmations suivantes, dire en justifiant si elle est vraie ou fausse :

Affirmation 1 : « La vitesse moyenne de Noémie sur ces 7 km est supérieure à la vitesse moyenne de Marie-Amélie Le Fur lors de cette finale. »

Affirmation 2 : « Marie-Amélie Le Fur a couru le 400 m en moins d’une minute lors de cette finale. »

(*) Les Jeux Paralympiques sont les Jeux Olympiques pour athlètes en situation de handicap.

$\quad$