Exercice 1

Affirmation 1 : Vraie

$72 = 6\times 12$ et $72=4\times 18$
Donc $72$ est un multiple commun à $12$ et $18$.

$\quad$

Affirmation 2 : Faux

Si $n=1$ alors $(1-5)^2=(-4)^2=16$
Mais $1^2-5^2=-24$
$16\neq -24$ donc l’égalité annoncée n’est pas vraie pour tout nombre $n$.

$\quad$

Affirmation 3 : Vraie

$2x+5=6$ revient à $2x=1$ soit $x=\dfrac{1}{6}$.
L’antécédent de $6$ par la fonction $f$ est égal à $\dfrac{1}{2}$.

$\quad$

Affirmation 4 : Faux

$\dfrac{5+7+11+8+5+6}{6}=\dfrac{42}{6}=7\neq 6,5$.
La moyenne de ces six températures est égale à $7$°C.

$\quad$

Affirmation 5 : Vraie

Dans le triangle $ABC$ rectangle en $B$ on applique le théorème de Pythagore:
$\begin{align*} AC^2&=BC^2+AB^2 \\
&=9^2+12^2 \\
&=81+144 \\
&=225\end{align*}$
Donc $AC=15$.

$\quad$

Affirmation 6 : Vraie

Dans les triangles $BAC$ et $BDE$ :
– $E$ appartient à $[BC]$ et $D$ appartient à $[AB]$;
– $\dfrac{BD}{BA}=\dfrac{8}{12}=\dfrac{2}{3}$ et $\dfrac{BE}{BC}=\dfrac{6}{9}=\dfrac{2}{3}$.
Par conséquent $\dfrac{BD}{BA}=\dfrac{BE}{BC}$.
D’après la réciproque du théorème de Thalès, les droites $(AC)$ et $(DE)$ sont parallèles.

$\quad$

Exercice 2

1. a. Le point de coordonnées $(2;10)$ appartient à la courbe représentant le parcours de la mère. Elle a donc mis $2$ heures pour rentre chez elle.
   $\quad$
   b. $\dfrac{10}{2}=5$. Sur l’ensemble du parcours, la vitesse moyenne de la mère est de $5$ km/h.
   $\quad$
   c. La courbe représentant le parcours de la mère semble être une droite passant par l’origine du repère. La distance parcourue par la mère est donc proportionnelle au temps.
   $\quad$
2. a. D’après le graphique, la fille a fait une pause de $30$ minutes.
   $\quad$
   b. Avant la pause, la vitesse moyenne de la fille est égale à $\dfrac{3}{~\dfrac{1}{4}~}=12$ km/h.
   Après la pause,  elle parcourt les $7$ kilomètres restants en environ $1$ heure et $5$ minutes. Sa vitesse moyenne est donc inférieure à $7$ km/h.
   Elle a donc couru le plus vite avant sa pause.
   $\quad$
3. Les deux courbes se croisent trois fois : au départ, au  bout d’environ $35$ minutes et au bout de $1$h $15$min.
   La mère et la fille se sont retrouvées deux fois au même endroit et au même moment si on exclut le départ.
   $\quad$
4. La distance parcourue par la mère est proportionnelle au temps et sa vitesse moyenne est égale à $5$ km/h.
   Donc  $f(x)=5x$.
   $\quad$

Exercice 3

1. $12\times 350=4~200$.
   Sur le site A, la commande coûterait $4~200$ €.
   $\quad$
2. a. Avec le site B, $330$ maillots coûtent $3~900$ € et $380$ maillots coûtent $4~550$ €.
   L’affirmation est donc vraie.
   $\quad$
   b. On a pu écrire $=B1+B2$.
   $\quad$
   c. $\dfrac{650}{50}=13$ et $\dfrac{5~200}{440}\approx 11,82\neq 13$.
   Le coût total n’est donc pas proportionnel au nombre de maillots reçus.
   $\quad$
3. Avec le site B, $330$ maillots coûtent $3~900$ €. Il faut donc encore acheter $20$ maillots.
   $3~900+20\times 13=4~160<4~200$.
   Le club doit donc passer sa commande sur le site B.
   $\quad$
4. Sur $7$ maillots il faut donc $5$ noirs et $2$ rouges.
   Sur $350 (=50\times 7)$ maillots, il faut donc $250$ maillots noirs et $100$ rouges.
   $\quad$
5. La probabilité qu’il contienne des gourdes bleues égale à $\dfrac{3}{3+4}$ soit $\dfrac{3}{7}$.
   $\quad$

 

Exercice 4

1. On obtient la figure suivante :$\quad$
2. Le script A permet d’obtenir la figure 2 et le script B permet d’obtenir la figure 1.
   $\quad$
3. On peut écrire le script suivant :
   
   $\quad$

Exercice 5

1. a. On peut placer $10$ cubes sur la largeur, $6$ dans la profondeur et $6$ en hauteur.
   Cela représente donc $6\times 6\times 10=360$ cubes de cire d’abeille.
   $\quad$
   b. Volume d’un cube de cire d’abeille : $V_c=6^3=216$ cm$^3$.
   Volume de tous les cubes : $V=360\times 216=77~760$ cm$^3$.
   La masse de cire d’abeille est donc égale à $0,95\times 77~760=73~872$ g soit environ $74$ kilogrammes.
   $\quad$
2. a. Le volume d’une bougie est :
   $\begin{align*} V_b&=\pi \times 3^2\times 6 \\
   &=54\pi \\
   &\approx 170\end{align*}$
   Le volume d’une bougie est donc bien environ égale à $170$ cm$^3$.
   $\quad$
   b. On récupère environ $216-170=46$g de cire d’abeille par cube.
   $\dfrac{216}{46}\approx 4,7$.
   Il faut donc découper $5$ cubes pour pouvoir reconstituer un cube de cire d’abeille d’arête $6$ cm avec la cire perdue.
   $\quad$
3. Soit $P$ le prix d’achat ‘une bougie.
   On a donc $P\times \left(1+\dfrac{20}{100}\right)=9,6$ soit $1,2P=9,6$ et donc $P=\dfrac{9,6}{1,8}=8$.
   Il paie donc $8$€ le cube de cire d’abeille à l’usine.
   $\quad$

Exercice 1     24 points

Pour chacune des six affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse.
On rappelle que toutes les réponses doivent être justifiées.

Affirmation 1 : $72$ est un multiple commun des nombres $12$ et $18$.

$\quad$

Affirmation 2 : pour tout nombre $n$, on a l’égalité suivante : $(n-5)^2 = n^2-5^2$.

$\quad$

On considère la fonction $f$ définie par $f(x) = 2x +5$.
Affirmation 3 : l’antécédent de $6$ par la fonction $f$ est égal à $\dfrac{1}{2}$.

$\quad$

Voici les températures relevées en degré Celsius (noté °C) pendant six jours dans une même ville :
$5$ °C, $7$ °C, $11$ °C, $8$ °C, $5$ °C et $6$ °C.
Affirmation 4 : la moyenne de ces six températures est égale à $6,5$ °C.

$\quad$

Les points $B$, $D$ et $A$ sont alignés.
Les points $B$, $E$ et $C$ sont alignés.
Le triangle $ABC$ est rectangle en $B$.
$BA = 12$ cm; $BC = 9$ cm;
$BD = 8$ cm et $BE = 6$ cm.
La figure ci-dessus n’est pas à l’échelle.

Affirmation 5 : la longueur $AC$ est égale à $15$ cm.

$\quad$

Affirmation 6 : les droites $(AC)$ et $(DE)$ sont parallèles.

$\quad$

$\quad$

Exercice 2     19 points

Une mère et sa fille rentrent chez elles à pied en empruntant le même trajet de $10$ kilomètres. La mère décide de s’y rendre en marchant et sa fille en courant.
Le graphique ci-dessous modélise les parcours de la mère et de la fille depuis leur départ.

 

1. a. Indiquer le temps mis par la mère pour rentrer chez elle, avec la précision que permet la lecture du graphique.
   $\quad$
   b. Déterminer la vitesse moyenne en km/h de la mère sur l’ensemble de son parcours.
   $\quad$
   c. La distance parcourue par la mère est-elle proportionnelle au temps ?
   $\quad$
2. La fille est partie à $16$ h et est arrivée chez elle à $17$ h $50$. Elle a fait une pause durant sa course.
   a. Indiquer la durée de la pause de la fille, avec la précision que permet la lecture graphique.
   $\quad$
   b. Quand a-t-elle couru le plus vite : avant ou après sa pause ?
   $\quad$
3. Combien de fois la mère et la fille se sont retrouvées au même endroit et au même moment, au cours de leur trajet ?
   $\quad$
4. Dans cette question, on note $f$ la fonction qui, au temps de parcours x (exprimé en heure) de la mère depuis le départ, associe la distance parcourue (exprimée en kilomètre) par la mère depuis le départ.
   Parmi les propositions suivantes, recopier sans justification l’expression de $f(x)$ :
   $$f(x)=\dfrac{1}{5}x \quad ; \quad f(x)=5x \quad ; \quad f(x)=x+5$$
   $\quad$

$\quad$

Exercice 3     23 points

Un club de handball souhaite commander des maillots avec le nom du club inscrit dessus. À l’issue de sa commande, le club veut recevoir exactement $350$ maillots.
Après quelques recherches, deux sites internet ont été sélectionnés :

• sur le site A : les maillots sont vendus à $12$ € l’unité;
• sur le site B : les maillots sont vendus à $13$ €  l’unité, avec la promotion :

« $10$ maillots offerts pour $100$ achetés ».

1. Déterminer le montant, exprimé en euro, de la commande du club envisagée sur le site A.
   $\quad$
2. Un tableur ci-dessous présente des exemples de dépenses en fonction du nombre de maillots payés sur le site B. Voici une copie d’écran de ce tableur.a. À la lecture de ce tableur, le trésorier du club affirme que le montant de la commande sera compris entre $3~900$ € et $4~550$ €. Son affirmation est-elle vraie ?
   $\quad$
   b. Sachant que les lignes $1$ et $2$ du tableur ont été complétées auparavant, quelle formule a-t-on pu saisir ensuite dans la cellule $\text{B3}$ avant de l’étirer jusqu’à la cellule $\text{I3}$, pour remplir la ligne $3$ du tableur ?
   $\quad$
   c. Le coût total exprimé en euro est-il proportionnel au nombre de maillots reçus ?
   $\quad$
3. Sur quel site le club doit-il passer sa commande pour recevoir exactement $350 $maillots, tout en payant le moins cher ?
   $\quad$
4. Le club souhaite que ces $350$ maillots soient répartis entre des maillots noirs et des maillots rouges dans le ratio $5 : 2$.
   Combien faut-il commander de maillots noirs et de maillots rouges ?
   $\quad$
5. Le club a aussi commandé des gourdes. Les cartons reçus sont indiscernables tant par leurs dimensions que par leur forme.
   Il y a $4$ cartons de gourdes blanches et $3$ cartons de gourdes bleues.
   On ouvre un carton au hasard. Quelle est la probabilité qu’il contienne des gourdes bleues ?
   $\quad$

$\quad$

Exercice 4     14 points

Dans tout cet exercice, aucune justification n’est demandée.

On donne le programme suivant :

 

On rappelle que l’instruction  signifie que l’on s’oriente vers la droite.

1. On lance le programme.
   Construire la figure obtenue en prenant $1$ cm pour $25$ unités de longueur.
   On modifie le Script principal et on obtient deux scripts ci-dessous :

   
   $\quad$

2. Parmi les trois figures ci-dessous, associer sur votre copie chacun des deux scripts principaux A et B à la figure qu’il permet de réaliser :

   
   On souhaite réaliser la figure suivante :

   
   $\quad$
   Le point de départ se situe au centre de la figure.

3. Compléter le nouveau script principal ci-dessous en recopiant sur la copie uniquement les lignes 5 et 7. Pour mémoire, l’énoncé rappelle ci-dessous à droite le descriptif du bloc Carré.

 

$\quad$

Exercice 5     20 points

Une usine de fabrication de bougies reçoit des cubes de cire d’abeille d’arête $6$ cm.
Ils sont disposés dans des cartons remplis (sans espace vide).

 

 

1.  a. Montrer que chaque carton contient $360$ cubes de cire d’abeille.
   $\quad$
   b. Quelle est la masse de cire d’abeille contenue dans un carton rempli de cubes ? On donnera la réponse en kg, arrondie à l’unité près, en ne tenant pas compte de la masse du carton
   $\quad$
2.  À l’usine, on découpe les cubes de cire d’abeille afin d’obtenir des cylindres de hauteur $6$ cm et de diamètre $6$ cm avec lesquels on fera des bougies en installant une mèche.

   

   On ne tiendra pas compte de la masse, du volume et du prix de la mèche dans la suite de l’exercice.
   $\quad$
   a. Montrer que le volume d’une bougie est d’environ $170$ cm$^3$.
   $\quad$
   On rappelle que le volume d’un cylindre de rayon $r$ et de hauteur $h$ est donné par la formule : $$V = \pi\times r^2 \times h$$
   $\quad$
   b. En découpant les cubes de cire d’abeille d’arête $6$ cm pour former des bougies  cylindriques, la cire perdue est réutilisée pour former à nouveau d’autres cubes de cire d’abeille d’arête $6$ cm.
   Combien de cubes au départ doit-on découper pour pouvoir reconstituer un cube de cire d’abeille d’arête $6$ cm, avec la cire perdue ?
   $\quad$

3. Un commerçant vend les bougies de cette usine au prix de $9,60$ € l’unité. Il les vend $20 \%$ plus chères qu’il ne les achète à l’usine.
   Combien paie-t-il à l’usine pour l’achat d’une bougie ?
   $\quad$

$\quad$