DNB – Amérique du Sud – Novembre 2021

Amérique du Sud – Novembre 2021

DNB maths – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

Affirmation 1 : Vraie

$72 = 6\times 12$ et $72=4\times 18$
Donc $72$ est un multiple commun à $12$ et $18$.

$\quad$

Affirmation 2 : Faux

Si $n=1$ alors $(1-5)^2=(-4)^2=16$
Mais $1^2-5^2=-24$
$16\neq -24$ donc l’égalité annoncée n’est pas vraie pour tout nombre $n$.

$\quad$

Affirmation 3 : Vraie

$2x+5=6$ revient à $2x=1$ soit $x=\dfrac{1}{6}$.
L’antécédent de $6$ par la fonction $f$ est égal à $\dfrac{1}{2}$.

$\quad$

Affirmation 4 : Faux

$\dfrac{5+7+11+8+5+6}{6}=\dfrac{42}{6}=7\neq 6,5$.
La moyenne de ces six températures est égale à $7$°C.

$\quad$

Affirmation 5 : Vraie

Dans le triangle $ABC$ rectangle en $B$ on applique le théorème de Pythagore:
$\begin{align*} AC^2&=BC^2+AB^2 \\
&=9^2+12^2 \\
&=81+144 \\
&=225\end{align*}$
Donc $AC=15$.

$\quad$

Affirmation 6 : Vraie

Dans les triangles $BAC$ et $BDE$ :
– $E$ appartient à $[BC]$ et $D$ appartient à $[AB]$;
– $\dfrac{BD}{BA}=\dfrac{8}{12}=\dfrac{2}{3}$ et $\dfrac{BE}{BC}=\dfrac{6}{9}=\dfrac{2}{3}$.
Par conséquent $\dfrac{BD}{BA}=\dfrac{BE}{BC}$.
D’après la réciproque du théorème de Thalès, les droites $(AC)$ et $(DE)$ sont parallèles.

$\quad$

Ex 2

Exercice 2

  1. a. Le point de coordonnées $(2;10)$ appartient à la courbe représentant le parcours de la mère. Elle a donc mis $2$ heures pour rentre chez elle.
    $\quad$
    b. $\dfrac{10}{2}=5$. Sur l’ensemble du parcours, la vitesse moyenne de la mère est de $5$ km/h.
    $\quad$
    c. La courbe représentant le parcours de la mère semble être une droite passant par l’origine du repère. La distance parcourue par la mère est donc proportionnelle au temps.
    $\quad$
  2. a. D’après le graphique, la fille a fait une pause de $30$ minutes.
    $\quad$
    b. Avant la pause, la vitesse moyenne de la fille est égale à $\dfrac{3}{~\dfrac{1}{4}~}=12$ km/h.
    Après la pause,  elle parcourt les $7$ kilomètres restants en environ $1$ heure et $5$ minutes. Sa vitesse moyenne est donc inférieure à $7$ km/h.
    Elle a donc couru le plus vite avant sa pause.
    $\quad$
  3. Les deux courbes se croisent trois fois : au départ, au  bout d’environ $35$ minutes et au bout de $1$h $15$min.
    La mère et la fille se sont retrouvées deux fois au même endroit et au même moment si on exclut le départ.
    $\quad$
  4. La distance parcourue par la mère est proportionnelle au temps et sa vitesse moyenne est égale à $5$ km/h.
    Donc  $f(x)=5x$.
    $\quad$

Ex 3

Exercice 3

  1. $12\times 350=4~200$.
    Sur le site A, la commande coûterait $4~200$ €.
    $\quad$
  2. a. Avec le site B, $330$ maillots coûtent $3~900$ € et $380$ maillots coûtent $4~550$ €.
    L’affirmation est donc vraie.
    $\quad$
    b. On a pu écrire $=B1+B2$.
    $\quad$
    c. $\dfrac{650}{50}=13$ et $\dfrac{5~200}{440}\approx 11,82\neq 13$.
    Le coût total n’est donc pas proportionnel au nombre de maillots reçus.
    $\quad$
  3. Avec le site B, $330$ maillots coûtent $3~900$ €. Il faut donc encore acheter $20$ maillots.
    $3~900+20\times 13=4~160<4~200$.
    Le club doit donc passer sa commande sur le site B.
    $\quad$
  4. Sur $7$ maillots il faut donc $5$ noirs et $2$ rouges.
    Sur $350 (=50\times 7)$ maillots, il faut donc $250$ maillots noirs et $100$ rouges.
    $\quad$
  5. La probabilité qu’il contienne des gourdes bleues égale à $\dfrac{3}{3+4}$ soit $\dfrac{3}{7}$.
    $\quad$

 

Ex 4

Exercice 4

  1. On obtient la figure suivante :$\quad$
  2. Le script A permet d’obtenir la figure 2 et le script B permet d’obtenir la figure 1.
    $\quad$
  3. On peut écrire le script suivant :

    $\quad$

Ex 5

Exercice 5

  1. a. On peut placer $10$ cubes sur la largeur, $6$ dans la profondeur et $6$ en hauteur.
    Cela représente donc $6\times 6\times 10=360$ cubes de cire d’abeille.
    $\quad$
    b. Volume d’un cube de cire d’abeille : $V_c=6^3=216$ cm$^3$.
    Volume de tous les cubes : $V=360\times 216=77~760$ cm$^3$.
    La masse de cire d’abeille est donc égale à $0,95\times 77~760=73~872$ g soit environ $74$ kilogrammes.
    $\quad$
  2. a. Le volume d’une bougie est :
    $\begin{align*} V_b&=\pi \times 3^2\times 6 \\
    &=54\pi \\
    &\approx 170\end{align*}$
    Le volume d’une bougie est donc bien environ égale à $170$ cm$^3$.
    $\quad$
    b. On récupère environ $216-170=46$g de cire d’abeille par cube.
    $\dfrac{216}{46}\approx 4,7$.
    Il faut donc découper $5$ cubes pour pouvoir reconstituer un cube de cire d’abeille d’arête $6$ cm avec la cire perdue.
    $\quad$
  3. Soit $P$ le prix d’achat ‘une bougie.
    On a donc $P\times \left(1+\dfrac{20}{100}\right)=9,6$ soit $1,2P=9,6$ et donc $P=\dfrac{9,6}{1,8}=8$.
    Il paie donc $8$€ le cube de cire d’abeille à l’usine.
    $\quad$

Énoncé

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