Exercice 1

1. Dans le triangle $EFG$, $[EG]$ est le plus grand côté.
   D’une part $EG^2=900$.
   D’autre part $FG^2+FE^2=576+324=900$.
   Ainsi $EF^2=FG^2+FE^2$.
   D’après la réciproque du théorème de Pythagore le triangle $EFG$ est rectangle en $F$.
   $\quad$
2. Dans le triangle $EFG$ rectangle en $G$ :
   $\begin{align*}\cos \widehat{EGF}&=\dfrac{FG}{EG} \\
   &=\dfrac{24}{30}\\
   &=0,8\end{align*}$
   Par conséquent $\widehat{EGF} \approx 37$°.
   Remarque : On pouvait obtenir le même résultat en calculant le sinus ou la tangente de l’angle.
   $\quad$
3. Les deux triangles sont rectangles et $\widehat{EGF}=\widehat{LGH}$. Ils ont donc deux angles de même mesure. Par conséquent $\widehat{FEG}=\widehat{GLH}$.
   Les triangles $EFG$ et $LHG$ sont donc semblables.
   $\quad$
4. $\dfrac{GH}{FG}=\dfrac{38,4}{24}=1,6$.
   Le coefficient d’agrandissement permettant de passer du triangle $EFG$ au triangle $LHG$ est égal à $1,6$.
   $\quad$
5. Le périmètre, en centimètres, du triangle $EFG$ est égal à :
   $\begin{align*} P&=EF+FG+GE \\
   &=18+24+30 \\
   &=72\end{align*}$
   Par conséquent le périmètre du triangle $GHL$ est égal à $72\times 1,6=115,2$ cm.
   $\quad$

 

Exercice 2

Première partie

1. Le triangle $AEF$ est rectangle et isocèle en $A$. Son aire est donc égale à :
   $\begin{align*} A_{AEF}&=\dfrac{AE\times AF}{2} \\
   &=\dfrac{3\times 3}{2} \\
   &=4,5 \text{ cm}^2\end{align*}$
   $\quad$
2. Les quatre triangles $AEF$, $LDK$, $BGH$ et $IFC$ ont la même aire.
   L’aire du rectangle $ABCD$ est égale à $8\times 10=80$ cm$^2$.
   L’aire du polygone $FELKJIHG$ est donc égale :
   $\begin{align*} \mathscr{A}&=80-4\times 4,5\\
   &=80-18 \\
   &=62\text{ cm}^2\end{align*}$
   $\quad$

Deuxième partie

3. a. Le triangle $AEF$ est rectangle et isocèle en $A$. Son aire est donc égale à :
   $\begin{align*} A_{AEF}&=\dfrac{AE\times AF}{2} \\
   &=\dfrac{x\times x}{2} \\
   &=\dfrac{x^2}{2}\end{align*}$
   $\quad$
   b. L’aire du polygone $FELKJIHG$ est donc égale à :
   $\begin{align*} A(x)&=80-4\times \dfrac{x^2}{2} \\
   &=80-2x^2\end{align*}$
   $\quad$
4. On a pu écrire : $\text{=80-2*B1^2}$
   $\quad$
5. a. La courbe représentative de la fonction $f$ n’est pas une droite. La fonction $f$ n’est pas affine.
   $\quad$
   b. Le point de la courbe dont l’ordonnée est $60$ a une abscisse environ égale à $3,2$.
   Ainsi $AE\approx 3,2$.
   $\quad$
   c. On veut résoudre l’équation $80-2x^2=60$
   soit $-2x^2=-20$
   d’où $x^2=10$.
   Cette équation possède deux solutions $-\sqrt{10}$ et $\sqrt{10}$. Cependant $AE>0$.
   Ainsi $AE=\sqrt{10}$.
   $\quad$

Exercice 3

1. $\dfrac{4}{4}=1$ et $\dfrac{3,30}{3}=1,1$.
   Or $1\neq 1,1$.
   L’affirmation 1 est fausse.
   $\quad$
2. L’abscisse du point $A=2+2\times \dfrac{1}{8}=2,25$. Elle est bien décimale.
   L’affirmation 2 est vraie.
   $\quad$
3. La roue A possède $8$ dents et la roue B en possède $12$.
   $8\times 6=48$ et $12\times 4 =48$.
   Cet engrenage sera dans la même position au bout de $6$ tours pour la roue A et de $4$ tours pour la roue B.
   L’affirmation 3 est vraie.
   $\quad$
4. On considère un nombre $x$.
   $\begin{align*}(x+8)(2x-1)&=2x^2-x+16x-8\\
   &=2x^2+15x-8\\
   &=2x^2-(8-15x)\end{align*}$
   L’affirmation 4 est vraie.
   $\quad$

 

Exercice 4

1. a. Le volume d’une bougie est égal à :
   $\begin{align*} V_{\text{bougie}}&=\pi \times 3^2\times 12 \\
   &=9\times 12\pi \\
   &=108\pi \\
   &\approx 339 \text{ cm}^3\end{align*}$.
   b. Le volume de cire nécessaire pour une bougie est $V_{\text{cire}}=108\pi\times \dfrac{9}{10}=97,2 \pi$ cm$^3$.
   La masse de cire nécessaire pour une bougie est environ égale à $97,2 \pi\times 0,7\approx 214$ g.
   $\quad$
2. $\dfrac{90}{360}=0,25$. $25\%$ des bougies fabriquées en novembre sont à la vanille
   $100-22-25=53$ et $\dfrac{53}{2}=26,5$
   Ainsi $26,5\%$ des bougies fabriquées au mois de novembre sont à la lavande.
   $\quad$
3. L’entreprise doit fabriquer $3\times 7~900=23~700$ bougies au premier trimestre de l’année.
   Elle doit donc fabriquer $23~700-6~500-8~000=9~200$ bougies en mars pour atteindre l’objectif.
   $\quad$

 

Exercice 5

1. Les issues possibles sont : $$12;13;14;22;23;24;32;33;34;42;43;44$$
   $\quad$
2. $4$ issues forment un nombre impair.
   La probabilité d’obtenir un nombre impair est donc égale à $\dfrac{3}{12}=\dfrac{1}{3}$.
   $\quad$
3. a. Parmi les issues possibles, les nombres premiers inférieurs à $30$ sont $13$ et $23$.
   Ainsi
   $\begin{align*}p(A)&=\dfrac{2}{12}\\&=\dfrac{1}{6}\end{align*}$.
   $\quad$
   b. La probabilité de son événement contraire est égale à $1-\dfrac{1}{6}=\dfrac{5}{6}$.
   $\quad$
4. Parmi les issues les multiples de $11$ sont $22$, $33$ et $44$.
   La probabilité d’obtenir un multiple de $11$ est égale à $\dfrac{3}{12}=0,25$.
   $\quad$
5. a. À la ligne 5 on peut écrire “nombre aléatoire entre $2$ et $4$”.
   $\quad$
   b. À la ligne $6$ on peut écrire “Si Chiffre des dizaines = Chiffre des unités alors”
   $\quad$
   c. Le résultat est différent de celui obtenu dans la question 4 car cette probabilité ($0,25$) est obtenue en faisant un très grand nombre de tirages.
   $\quad$

 

Exercice 1     (20 points)

On considère la figure ci-contre dans laquelle :

• Les points $F$, $G$ et $H$ sont alignés ;
• $(LH)$ est perpendiculaire à $(FH)$ ;
• $EF = 18$ cm; $FG = 24$ cm; $EG = 30$ cm;
• $GH = 38,4$ cm ;
• $\widehat{EGF}=\widehat{LGH}$.

La figure n’est pas en vraie grandeur.

1. Montrer que le triangle $EFG$ est rectangle en $F$.
   $\quad$
2. Calculer la mesure de l’angle $\widehat{EGF}$.
   Donner l’arrondi au degré près.
   $\quad$
3. Montrer que les triangles $EGF$ et $LGH$ sont semblables.
   $\quad$
4. Parmi les propositions suivantes, quel est le coefficient d’agrandissement qui permet de passer du triangle $EFG$ au triangle $LHG$ ?
   Expliquer.
   $$\begin{array}{|c|c|c|c|}
   \hline
   ~~0,625~~&~~~~1,28~~~&~~~~1,6~~~~&~~~~2,6~~~~\\
   \hline
   \end{array}$$
5. Quel est le périmètre du triangle $LGH$ ?
   $\quad$

$\quad$

Exercice 2     (21 points)

À partir d’une feuille rectangulaire de dimension $10$ cm sur $8$ cm, on coupe les quatre coins de manière identique.
On obtient ainsi un polygone $FELKJIHG$ et quatre triangles rectangles isocèles égaux comme représenté ci-dessous.
$AD = 10$ cm; $AB = 8$ cm.

Les deux parties sont indépendantes.

Première partie : on suppose que $\boldsymbol{AE = 3}$ cm.

1. Quelle est l’aire du triangle $AEF$ ?
   $\quad$
2. En déduire l’aire du polygone $FELKJIHG$.
   $\quad$

Deuxième partie :
On souhaite que l’aire du polygone FELKJIHG soit de $60$ cm$^2$.
Pour cela, on fait varier la longueur $AE$ et on observe l’effet sur l’aire du polygone $FELKJIHG$.
On note $x$ la longueur $AE$ exprimée en cm.

3. a. Exprimer l’aire du triangle $AEF$ en fonction de $x$.
   $\quad$
   b. Montrer que l’aire du polygone $FELKJIHG$, en cm$^2$, est donnée par l’expression $80-2x^2$.
   $\quad$
4. On considère la fonction $f :~ x \mapsto 80-2x^2$.
   À l’aide d’un tableur, on a produit le tableau de valeurs ci-dessous :
   $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
   \hline
   &\textbf{A}&\textbf{B}&\textbf{C}&\textbf{D}&\textbf{E}&\textbf{F}&\textbf{G}&\textbf{H}&\textbf{I}&\textbf{J}\\
   \hline
   \boldsymbol{1}& x& 0& 0,5& 1& 1,5& 2& 2,5& 3& 3,5& 4\\
   \hline
   \boldsymbol{2}& f (x)& 80& 79,5& 78& 45,5& 72& 67,5& 62& 55,5& 48 \\
   \hline
   \end{array}$$
   Proposer une formule qui a pu être saisie en B2 avant d’être étirée vers la droite.
   Ne pas justifier.
   $\quad$
5. Voici la courbe représentative de la fonction $f$ :
   $\quad$
   
   $\quad$
   La fonction $f$ est-elle affine ?
   $\quad$
   b. Par lecture graphique, déterminer une valeur approchée de la longueur $AE$ permettant d’obtenir un polygone $FELKJIHG$ d’aire égale à $60$ cm$^2$.
   $\quad$
   c. Trouver par le calcul la valeur exacte de cette longueur.
   $\quad$

$\quad$

Exercice 3     (20 points)

Pour chacune des affirmations, indiquer si elle est vraie ou fausse en justifiant la réponse.

1. On considère le tableau ci-dessous :
   $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
   \hline
   \text{Nombre de baguettes}& 1& 2& 3& 4 \\
   \hline
   \text{Prix en €}& 1,10& 2,20& 3,30& 4 \\
   \hline
   \end{array}$$
   Affirmation 1 : « Le prix est proportionnel au nombre de baguettes. »
   $\quad$
2. On considère ci-dessous le point $A$ sur une droite graduée :
   $\quad$
   
   Affirmation 2 : « L’abscisse du point $A$ est un nombre décimal. »

On considère cet engrenage qui est composé d’une roue A à $8$ dents et d’une roue B à $12$ dents.

3. Affirmation 3 :
   « Cet engrenage sera dans la même position au bout de $6$ tours pour la roue A et de $4$ tours pour la roue B. »
   $\quad$
4. Affirmation 4 :
   « Pour tout nombre $x$, l’égalité suivante est vraie : $$(x+8)(2x-1)=2x^2-(8-15x) \text{.»}$$
   $\quad$

$\quad$

Exercice 4     (16 points)

Une usine fabrique des bougies parfumées en cire de forme cylindrique.
Les questions 1, 2 et 3 sont indépendantes

Document 1

Rayon du cylindre : $3$ cm
Hauteur du cylindre $12$ cm

Document 2
Aire d’un disque : rayon$^2\times \pi$
Volume d’un cylindre : Aire de la base $\times$ hauteur

Document 3

• Une bougie est composée de cire et de parfum.
• Le volume de cire nécessaire à la fabrication d’une bougie correspond au $\dfrac{9}{10}$ du volume de cette bougie.
• $1$ cm$^3$ de cire a une masse de $0,7$ g.

$\quad$

1. a. Montrer que le volume d’une bougie est d’environ $339$ cm$^2$.
   $\quad$
   b. Quelle est la masse de cire nécessaire pour une bougie ? On donnera une valeur approchée au gramme près.
   $\quad$
2. Au mois de novembre, l’usine a fabriqué des bougies de $4$ parfums différents : vanille, miel, lavande et jasmin.
   Le diagramme circulaire codé ci-dessous donne la répartition, pour le mois de novembre, du nombre de
   bougies fabriquées en fonction de leur parfum.
   $\quad$
   
   $\quad$
   Les bougies au miel représentent $22 \%$ de la production du mois de novembre.
   Quel est le pourcentage de bougies à la lavande fabriquées au mois de novembre ?
   $\quad$
3. Durant les trois premiers mois de l’année suivante, l’entreprise se donne pour objectif de produire en moyenne $7~900$ bougies par mois.
   En janvier, elle fabrique $6~500$ bougies et $8~000$ en février.
   Quel est le nombre de bougies à produire en mars pour atteindre l’objectif ?
   $\quad$

$\quad$

Exercice 5     (23 points)

On dispose d’une roue dont les $4$ secteurs ont tous la même aire et sont numérotés : $1$; $2$; $3$; $4$.
On dispose également d’une urne contenant $3$ boules numérotées : $2$; $3$ et $4$.
Les boules sont indiscernables au toucher.
On considère l’expérience aléatoire suivante :
« On fait tourner la roue puis on tire au hasard une boule dans l’urne. On forme alors un nombre entier à deux chiffres tel que :

• Le chiffre des dizaines est le numéro indiqué par la flèche sur la roue.
• Le chiffre des unités est le numéro de la boule tirée dans l’urne. »

Exemple : Si la flèche indique le numéro $1$ sur la roue et que la boule tirée dans l’urne porte le numéro $3$, on forme le nombre $13$.

1. Écrire la liste des $12$ issues possibles.
   $\quad$
2. Déterminer la probabilité de l’évènement : « Obtenir un nombre impair ».
   $\quad$
3. On considère l’évènement $A$ : « Le nombre formé est un nombre premier et inférieur à $30$ ».
   a. Quelle est la probabilité de l’évènement $A$?
   $\quad$
   b. Quelle est la probabilité de son évènement contraire ?
   $\quad$

À l’aide de cette expérience aléatoire, on crée un jeu de hasard.
Le joueur gagne s’il obtient un multiple de $11$.

4. Montrer que la probabilité d’obtenir un multiple de $11$ est égale à $0,25$.
   $\quad$
5. On souhaite simuler ce jeu à l’aide d’un logiciel de programmation.
   On a rédigé le script ci-dessous :
   $\quad$
   
   $\quad$
   Information :
   renvoie au hasard un nombre parmi $1$, $2$, $3$, $4$.
   a. Écrire sur la copie comment compléter les deux cases vides de la ligne 5.
   Ne pas justifier.
   $\quad$
   b. Écrire sur la copie comment compléter les deux cases vides de la ligne 6.
   Ne pas justifier.
   $\quad$
   c. On a cliqué sur le drapeau et voici le résultat du programme :
   « La fréquence d’apparition d’un multiple de $11$ est $0,23$. »
   Pourquoi le résultat est-il différent de celui obtenu dans la question 4 ?
   $\quad$

$\quad$