DNB – Amérique du Sud – Novembre 2023

Amérique du Sud – Novembre 2023

DNB maths – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

  1. Dans le triangle $EFG$, $[EG]$ est le plus grand côté.
    D’une part $EG^2=900$.
    D’autre part $FG^2+FE^2=576+324=900$.
    Ainsi $EF^2=FG^2+FE^2$.
    D’après la réciproque du théorème de Pythagore le triangle $EFG$ est rectangle en $F$.
    $\quad$
  2. Dans le triangle $EFG$ rectangle en $G$ :
    $\begin{align*}\cos \widehat{EGF}&=\dfrac{FG}{EG} \\
    &=\dfrac{24}{30}\\
    &=0,8\end{align*}$
    Par conséquent $\widehat{EGF} \approx 37$°.
    Remarque : On pouvait obtenir le même résultat en calculant le sinus ou la tangente de l’angle.
    $\quad$
  3. Les deux triangles sont rectangles et $\widehat{EGF}=\widehat{LGH}$. Ils ont donc deux angles de même mesure. Par conséquent $\widehat{FEG}=\widehat{GLH}$.
    Les triangles $EFG$ et $LHG$ sont donc semblables.
    $\quad$
  4. $\dfrac{GH}{FG}=\dfrac{38,4}{24}=1,6$.
    Le coefficient d’agrandissement permettant de passer du triangle $EFG$ au triangle $LHG$ est égal à $1,6$.
    $\quad$
  5. Le périmètre, en centimètres, du triangle $EFG$ est égal à :
    $\begin{align*} P&=EF+FG+GE \\
    &=18+24+30 \\
    &=72\end{align*}$
    Par conséquent le périmètre du triangle $GHL$ est égal à $72\times 1,6=115,2$ cm.
    $\quad$

 

Ex 2

Exercice 2

Première partie

  1. Le triangle $AEF$ est rectangle et isocèle en $A$. Son aire est donc égale à :
    $\begin{align*} A_{AEF}&=\dfrac{AE\times AF}{2} \\
    &=\dfrac{3\times 3}{2} \\
    &=4,5 \text{ cm}^2\end{align*}$
    $\quad$
  2. Les quatre triangles $AEF$, $LDK$, $BGH$ et $IFC$ ont la même aire.
    L’aire du rectangle $ABCD$ est égale à $8\times 10=80$ cm$^2$.
    L’aire du polygone $FELKJIHG$ est donc égale :
    $\begin{align*} \mathscr{A}&=80-4\times 4,5\\
    &=80-18 \\
    &=62\text{ cm}^2\end{align*}$
    $\quad$

Deuxième partie

  1. a. Le triangle $AEF$ est rectangle et isocèle en $A$. Son aire est donc égale à :
    $\begin{align*} A_{AEF}&=\dfrac{AE\times AF}{2} \\
    &=\dfrac{x\times x}{2} \\
    &=\dfrac{x^2}{2}\end{align*}$
    $\quad$
    b. L’aire du polygone $FELKJIHG$ est donc égale à :
    $\begin{align*} A(x)&=80-4\times \dfrac{x^2}{2} \\
    &=80-2x^2\end{align*}$
    $\quad$
  2. On a pu écrire : $\text{=80-2*B1^2}$
    $\quad$
  3. a. La courbe représentative de la fonction $f$ n’est pas une droite. La fonction $f$ n’est pas affine.
    $\quad$
    b. Le point de la courbe dont l’ordonnée est $60$ a une abscisse environ égale à $3,2$.
    Ainsi $AE\approx 3,2$.
    $\quad$
    c. On veut résoudre l’équation $80-2x^2=60$
    soit $-2x^2=-20$
    d’où $x^2=10$.
    Cette équation possède deux solutions $-\sqrt{10}$ et $\sqrt{10}$. Cependant $AE>0$.
    Ainsi $AE=\sqrt{10}$.
    $\quad$

Ex 3

Exercice 3

  1. $\dfrac{4}{4}=1$ et $\dfrac{3,30}{3}=1,1$.
    Or $1\neq 1,1$.
    L’affirmation 1 est fausse.
    $\quad$
  2. L’abscisse du point $A=2+2\times \dfrac{1}{8}=2,25$. Elle est bien décimale.
    L’affirmation 2 est vraie.
    $\quad$
  3. La roue A possède $8$ dents et la roue B en possède $12$.
    $8\times 6=48$ et $12\times 4 =48$.
    Cet engrenage sera dans la même position au bout de $6$ tours pour la roue A et de $4$ tours pour la roue B.
    L’affirmation 3 est vraie.
    $\quad$
  4. On considère un nombre $x$.
    $\begin{align*}(x+8)(2x-1)&=2x^2-x+16x-8\\
    &=2x^2+15x-8\\
    &=2x^2-(8-15x)\end{align*}$
    L’affirmation 4 est vraie.
    $\quad$

 

Ex 4

Exercice 4

  1. a. Le volume d’une bougie est égal à :
    $\begin{align*} V_{\text{bougie}}&=\pi \times 3^2\times 12 \\
    &=9\times 12\pi \\
    &=108\pi \\
    &\approx 339 \text{ cm}^3\end{align*}$.
    b. Le volume de cire nécessaire pour une bougie est $V_{\text{cire}}=108\pi\times \dfrac{9}{10}=97,2 \pi$ cm$^3$.
    La masse de cire nécessaire pour une bougie est environ égale à $97,2 \pi\times 0,7\approx 214$ g.
    $\quad$
  2. $\dfrac{90}{360}=0,25$. $25\%$ des bougies fabriquées en novembre sont à la vanille
    $100-22-25=53$ et $\dfrac{53}{2}=26,5$
    Ainsi $26,5\%$ des bougies fabriquées au mois de novembre sont à la lavande.
    $\quad$
  3. L’entreprise doit fabriquer $3\times 7~900=23~700$ bougies au premier trimestre de l’année.
    Elle doit donc fabriquer $23~700-6~500-8~000=9~200$ bougies en mars pour atteindre l’objectif.
    $\quad$

 

Ex 5

Exercice 5

  1. Les issues possibles sont : $$12;13;14;22;23;24;32;33;34;42;43;44$$
    $\quad$
  2. $4$ issues forment un nombre impair.
    La probabilité d’obtenir un nombre impair est donc égale à $\dfrac{3}{12}=\dfrac{1}{3}$.
    $\quad$
  3. a. Parmi les issues possibles, les nombres premiers inférieurs à $30$ sont $13$ et $23$.
    Ainsi
    $\begin{align*}p(A)&=\dfrac{2}{12}\\&=\dfrac{1}{6}\end{align*}$.
    $\quad$
    b. La probabilité de son événement contraire est égale à $1-\dfrac{1}{6}=\dfrac{5}{6}$.
    $\quad$
  4. Parmi les issues les multiples de $11$ sont $22$, $33$ et $44$.
    La probabilité d’obtenir un multiple de $11$ est égale à $\dfrac{3}{12}=0,25$.
    $\quad$
  5. a. À la ligne 5 on peut écrire “nombre aléatoire entre $2$ et $4$”.
    $\quad$
    b. À la ligne $6$ on peut écrire “Si Chiffre des dizaines = Chiffre des unités alors”
    $\quad$
    c. Le résultat est différent de celui obtenu dans la question 4 car cette probabilité ($0,25$) est obtenue en faisant un très grand nombre de tirages.
    $\quad$

 

Énoncé

 

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