Exercice 1

1. Les nombres écrits sur le deuxième dé sont : $1$, $3$, $5$, $7$, $9$ et $11$.
   Les nombres écrits sur le troisième dé sont : $2$, $3$, $5$, $7$, $11$ et $13$.
   $\quad$
2. a. Le seul nombre dont le carré est égal à $25$ est $5$.
   Elle a donc lu le nombre $5$.
   $\quad$
   b. Seuls les nombres $6$, $8$, $10$ et $12$ ont des carrés supérieurs à $25$.
   La probabilité que Léo obtienne un carré supérieur à celui obtenu par Zoé est $\dfrac{4}{6}$ soit $\dfrac{2}{3}$.
   $\quad$
3. a. $525=5\times 5\times 3\times 7$. C’est la seule décomposition possible (aux permutations de nombres près) de $525$.
   Lors des quatre lancers, Mohamed a donc obtenu les nombres $3$, $5$ deux fois et $7$.
   $\quad$
   b. Ces trois nombres apparaissent à la fois sur le deuxième et le troisième dé. Il n’est donc pas possible de déterminer quel dé à été choisi.
   $\quad$

 

 

Exercice 2

1. On obtient la figure suivante :$\quad$
2. C’est le script suivant qui permet d’obtenir le motif souhaité :
   $\quad$
3. a. Il s’agit d’une rotation de centre le point commun aux quatre motifs et d’angle $90$° dans le sens inverse des aiguilles d’une montre.
   $\quad$
   b. Il faut modifier le script commun ainsi.
   
   $\quad$
4. Voici où est placé le centre de symétrie $O$.
   
   $\quad$

Exercice 3

1. a. On appelle $N$ le nombre de décès sur l’ensemble des routes en France.
   Ainsi $0,55\times N=1~911$.
   Par conséquent $N=\dfrac{1~911}{0,55}\approx 3~475$.
   En 2016, il y a eu environ $3~475$ décès sur l’ensemble des routes en France.
   $\quad$
   b. $\dfrac{400}{3~475}\approx 0,115$.
   Le nombre de morts sur l’ensemble des routes de France aurait donc baissé d’environ $11,5\%$.
   $\quad$
2. a. $\dfrac{82\times 1+86\times 7+90\times 4+91\times 3+97\times 6}{1+7+4+3+6}=\dfrac{1~899}{21}\approx 90,4$.
   La vitesse moyenne de ces automobilistes est d’environ $90,4$ km/h.
   $\quad$
   b. L’étendue est égale à $27$ km/h.
   La valeur contenue dans la cellule $B1$ est donc $97-27=70$.
   La médiane est égale à $82$ km/h, valeur présente qu’une seule fois dans cette série statistique.
   Il y a donc autant de valeurs qui lui sont supérieures que de valeurs qui lui sont inférieures.
   $20$ vitesses sont supérieures à $82$ km/h.
   or $2+10+6=18$. Par conséquent, la valeur de la cellule $B2$ est égale à $20-18$ soit $2$.
   $\quad$
   c. On peut saisir la formule $=\text{SOMME}(B2:J2)$.
   $\quad$

 

Exercice 4

1. Dans le triangle $ABH$ rectangle en $B$ on a :
   $\tan \widehat{HAB}=\dfrac{BH}{AB}=\dfrac{324}{600}=0,54$
   Par conséquent $\widehat{HAB}\approx 28$°.
   $\quad$
2. On appelle $T$ le point de la figure correspondant au sommet de la tête de Leila.
   On veut donc que l’angle $\widehat{TAL}$ soit égal à $\widehat{HAB}$.
   Dans le triangle $ALT$ rectangle en $L$ on a :
   $\tan \widehat{TAL}=\dfrac{TL}{AL}=\dfrac{1,70}{AL}$.
   On veut donc que $\dfrac{1,70}{AL}=0,54$ soit $AL=\dfrac{1,70}{0,54}$.
   Or $\dfrac{1,70}{0,54}\approx 3,148$.
   Leila doit donc se situer à moins de $3,15$ m de l’objectif.
   $\quad$

Exercice 5

1. a. Avec le programme A, en choisissant le nombre $5$, on obtient : $4\times 5+(5-2)^2=20+3^2=29$.
   $\quad$
   b. Avec le programme A, en choisissant le nombre $5$, on obtient : $5^2+6=25+6=31$.
   $\quad$
2. Avec le programme A, on obtient :
   $\begin{align*} 4x+(x-2)^2&=4x+(x-2)\times (x-2) \\
   &=4x+x^2-2x-2x+4\\
   &=x^2+4\end{align*}$
   Remarque : Si tu connais les identités remarquables, tu peux écrire directement que $(x-2)^2=x^2-2\times 2\times x+2^2=x^2-4x+4$.
   $\quad$
3. Avec le programme B, on obtient : $x^2+6$.
   $\quad$
4. a. Si on choisit le nombre $\dfrac{2}{3}$ dans le programme B on obtient alors :
   $\left(\dfrac{2}{3}\right)^2+6=\dfrac{4}{9}+\dfrac{54}{9}=\dfrac{58}{9}$.
   L’affirmation A est vraie.
   $\quad$
   b. Si on choisit le nombre $0$ dans le programme B on obtient alors :
   $0^2+6=6$ qui est pair.
   L’affirmation B est donc fausse.
   Remarque : On peut choisir, en fait, n’importe quel nombre pair.
   $\quad$
   c. $6$ et $x^2$ sont des nombres positifs. Leur somme est donc également positive.
   L’affirmation C est vraie.
   $\quad$
   d. On a $x^2+6=x^2+4+2$.
   Ainsi le résultat du programme B est égal au résultat du programme A augmenté de $2$.
   Un nombre pair augmenté de $2$ est pair et un nombre impair augmenté de $2$ est également impair.
   Les nombres obtenus avec les programme A et B ont donc la même parité.
   L’affirmation D est vraie.
   $\quad$

 

Exercice 6

1. a. La représentation graphique associée au verre A est une droite passant par l’origine du repère. Il y a donc proportionnalité entre le volume et la hauteur de jus de fruits avec le verre A.
   $\quad$
   b. Si la hauteur est de $5$ cm alors le volume est de $140$ cm$^3$.
   $\quad$
   c. Si on verse $50$ cm$^3$ dans le verre B alors la hauteur de jus de fruit est de $5,6$ cm.
   $\quad$
2. Volume du verre A :
   $\begin{align*} V_A&=\pi\times 3^2\times 10 \\
   &=90\pi \\
   &\approx 283 \text{ cm}^3\end{align*}$
   $\quad$
   Volume du verre B :
   $\begin{align*} V_B&=\dfrac{1}{3}\times \pi \times 5,2^2 \times 10\\
   &=\dfrac{1~352\pi}{3}\\
   &\approx 283 \text{ cm}^3\end{align*}$
   $\quad$
   Les deux verres ont donc le même volume total à $1$ cm$^3$ près.
   $\quad$
3. Le volume de jus de fruit contenu dans le verre A correspond à celui d’un cylindre de rayon $3$ cm et de hauteur $h$.
   Le volume est donc égal à $V=\pi\times 3^2\times h=9\pi\times h$.
   Par conséquent $9\pi\times h=200$ soit $h=\dfrac{200}{9\pi} \approx 7$.
   Il y a donc environ $7$ cm de jus de fruits dans le verre A.
   Remarque : On vérifie que c’est cohérent avec ce qu’on peut lire sur le graphique.
   $\quad$
4. a. Graphiquement, avec le verre A, il obtient un volume supérieur à celui obtenu avec le verre B.
   Il doit donc choisir le verre B pour servir le plus grand nombre possible de verres avec $1$ L de jus de fruits.
   $\quad$
   b. Volume de jus de fruits dans le verre A : $\pi \times 3^2\times 8=72\pi$ cm$^3$.
   Or $1$ L $=1~000$ cm$^3$.
   Et $\dfrac{1~000}{72\pi}\approx 4,42$.
   Il pourra donc servir au maximum $4$ verres.
   $\quad$

 

 

Exercice 1     13 points

Damien a fabriqué trois dés à six faces parfaitement équilibrés mais un peu particuliers.
Sur les faces du premier dé sont écrits les six plus petits nombres pairs strictement positifs : $2$ ; $4$ ; $6$ ; $8$ ; $10$ ; $12$.
Sur les faces du deuxième dé sont écrits les six plus petits nombres impairs positifs.
Sur les faces du troisième dé sont écrits les six plus petits nombres premiers.
Après avoir lancé un dé, on note le nombre obtenu sur la face du dessus.

1. Quels sont les six nombres figurant sur le deuxième dé ? Quels sont les six nombres figurant sur le troisième dé ?
   $\quad$
2. Zoé choisit le troisième dé et le lance. Elle met au carré le nombre obtenu.
   Léo choisit le premier dé et le lance. Il met au carré le nombre obtenu.
   a. Zoé a obtenu un carré égal à 25. Quel était le nombre lu sur le dé qu’elle a lancé ?
   $\quad$
   b. Quelle est la probabilité que Léo obtienne un carré supérieur à celui obtenu par Zoé ?
   $\quad$
3. Mohamed choisit un des trois dés et le lance quatre fois de suite. Il multiplie les quatre nombres obtenus et obtient $525$.
   a. Peut-on déterminer les nombres obtenus lors des quatre lancers ? Justifier.
   $\quad$
   b. Peut-on déterminer quel est le dé choisi par Mohamed ? Justifier.
   $\quad$

$\quad$

Exercice 2     18 points

« S’orienter à $90$ » signifie que l’on se tourne vers la droite.

Mathieu, Pierre et Elise souhaitent tracer le motif ci-dessous à l’aide de leur ordinateur. Ils commencent tous par le script commun ci-dessous, mais écrivent un script Motif différent.

 

1. Tracer le motif de Mathieu en prenant comme échelle : $1$ cm pour $10$ pixels.
   $\quad$
2. Quel élève a un script permettant d’obtenir le motif souhaité ? On ne demande pas de justifier.
   $\quad$
3. a. On utilise ce motif pour obtenir la figure ci-dessous.
   

   Quelle transformation du plan permet de passer à la fois du motif $1$ au motif $2$, du motif $2$ au motif $3$ et du motif $3$ au motif $4$ ?
   $\quad$
   b. Modifier le script commun à partir de la ligne $7$ incluse pour obtenir la figure voulue. On écrira sur la copie uniquement la partie modifiée. Vous pourrez utiliser certaines ou toutes les instructions suivantes :
   $\quad$

4. Un élève trace les deux figures A et B que vous trouverez en ANNEXE.
   Placer sur cette annexe, qui est à rendre avec la copie, le centre $O$ de la symétrie centrale qui transforme la figure A en figure B.
   $\quad$

Annexe

$\quad$

Exercice 3     17 points

Le premier juillet 2018, la vitesse maximale autorisée sur les routes à double sens de circulation, sans séparateur central, a été abaissée de $90$ km/h à $80$ km/h.
En 2016, $1~911$ personnes ont été tuées sur les routes à double sens de circulation, sans séparateur central, ce qui représente environ $55 \%$ des décès sur l’ensemble des routes en France.
Source : www.securite-routiere.gouv.fr

1. a. Montrer qu’en 2016, il y a eu environ $3~475$ décès sur l’ensemble des routes en France.
   $\quad$
   b. Des experts ont estimé que la baisse de la vitesse à $80$ km/h aurait permis de sauver $400$ vies en 2016. De quel pourcentage le nombre de morts sur l’ensemble des routes de France aurait-il baissé ? Donner une valeur approchée à $0,1\%$ près.
   $\quad$
2. En septembre 2018, des gendarmes ont effectué une série de contrôles sur une route dont la vitesse maximale autorisée est $80$ km/h. Les résultats ont été entrés dans un tableur dans l’ordre croissant des vitesses. Malheureusement, les données de la colonne B ont été effacées.
   
   a. Calculer la moyenne des vitesses des automobilistes contrôlés qui ont dépassé la vitesse maximale autorisée. Donner une valeur approchée à $0,1$ km/h près.
   $\quad$
   b. Sachant que l’étendue des vitesses relevées est égale à $27$ km/h et que la médiane est égale à $82$ km/h, quelles sont les données manquantes dans la colonne B ?
   $\quad$
   c. Quelle formule doit-on saisir dans la cellule $K2$ pour obtenir le nombre total d’automobilistes contrôlés ?
   $\quad$

$\quad$

Exercice 4     10 points

Leila est en visite à Paris. Aujourd’hui, elle est au Champ de Mars où l’on peut voir la tour Eiffel dont la hauteur totale $BH$ est $324$ m.

Elle pose son appareil photo au sol à une distance $AB = 600$ m du monument et le programme pour prendre une photo (voir le dessin ci-dessous).

1. Quelle est la mesure, au degré près, de l’angle $\widehat{HAB}?
   $\quad$
2. Sachant que Leila mesure $1,70$ m, à quelle distance $AL$ de son appareil doit-elle se placer pour paraître aussi grande que la tour Eiffel sur sa photo ?
   Donner une valeur approchée du résultat au centimètre près.
   

   $\quad$

$\quad$

Exercice 5     22 points

Voici deux programmes de calcul :

1. a. Montrer que, si l’on choisit le nombre $5$, le résultat du programme A est $29$.
   $\quad$
   b. Quel est le résultat du programme B si on choisit le nombre $5$ ?
   $\quad$
2. Si on nomme 𝑥 le nombre choisi, expliquer pourquoi le résultat du programme A peut s’écrire $x^2+4$.
   $\quad$
3. Quel est le résultat du programme B si l’on nomme 𝑥 le nombre choisi ?
   $\quad$
4. Les affirmations suivantes sont-elles vraies ou fausses ? Justifier les réponses et écrire les étapes des éventuels calculs :
   a. « Si l’on choisit le nombre $\dfrac{2}{3}$, le résultat du programme B est $\dfrac{58}{9}$. »
   $\quad$
   b. « Si l’on choisit un nombre entier, le résultat du programme B est un nombre entier impair. »
   $\quad$
   c. « Le résultat du programme B est toujours un nombre positif. »
   $\quad$
   d. « Pour un même nombre entier choisi, les résultats des programmes A et B sont ou bien tous les deux des entiers pairs, ou bien tous les deux des entiers impairs. »
   $\quad$

$\quad$

Exercice 6     20 points

Pour servir ses jus de fruits, un restaurateur a le choix entre deux types de verres : un verre cylindrique A de hauteur $10$ cm et de rayon $3$ cm et un verre conique B de hauteur $10$ cm et de rayon $5,2$ cm.

Le graphique situé en ANNEXE représente le volume de jus de fruits dans chacun des verres en fonction de la hauteur de jus de fruits qu’ils contiennent.

1. Répondre aux questions suivantes à l’aide du graphique en ANNEXE :
   a. Pour quel verre le volume et la hauteur de jus de fruits sont-ils proportionnels ? Justifier.
   $\quad$
   b. Pour le verre A, quel est le volume de jus de fruits si la hauteur est de $5$ cm ?
   $\quad$
   c. Quelle est la hauteur de jus de fruits si on en verse $50$ cm$^3$ dans le verre B ?
   $\quad$
2. Montrer, par le calcul, que les deux verres ont le même volume total à $1$ cm$^3$ près.
   $\quad$
3. Calculer la hauteur du jus de fruits servi dans le verre A pour que le volume de jus soit égal à $200$ cm$^3$. Donner une valeur approchée au centimètre près.
   $\quad$
4. Un restaurateur sert ses verres de telle sorte que la hauteur du jus de fruits dans le verre soit égale à $8$ cm.
   a. Par lecture graphique, déterminer quel type de verre le restaurateur doit choisir pour servir le plus grand nombre possible de verres avec $1$ L de jus de fruits.
   $\quad$
   b. Par le calcul, déterminer le nombre maximum de verres A qu’il pourra servir avec $1$ L de jus de fruits.
   $\quad$

Annexe

$\quad$