DNB – Asie – Juin 2018

Asie – Juin 2018

DNB – Mathématiques – Correction

L’énoncé de ce sujet de brevet est disponible ici :

Ex 1

Exercice 1

  1. C’est en septembre que le pourcentage de commandes livrées en retard a été le plus important.
    $\quad$
  2. En mai, juin, juillet et août le pourcentage de commandes livrées en retard inférieur ou égal à $18\%$.
    $\quad$
  3. La plus petite valeur est $12\%$ et la plus grande valeur est $26\%$.
    L’étendue est donc $26\%-12\%=14\%$.
    $\quad$

 

Ex 2

Exercice 2

  1. Le rayon de la yourte est $r=\dfrac{7}{2}=3,5$ m.
    La surface au sol de la yourte est $S=\pi r^2=12,25\pi \approx 38,5$ m$^2$ $>35$ m$^2$.
    La surface au sol de l’appartement de Samia est donc inférieure à celle de la yourte.
    $\quad$
  2. Le volume du cylindre de la yourte est $V_1=\pi \times 3,5^2\times 2,5=30,625\pi$ m$^3$.
    Le volume du cône est $V_2=\dfrac{1}{3}\times 3,5^2\times \pi\times (4,5-2,5)=24,5\pi$ m$^3$.
    Le volume de la yourte est donc $V=30,625\pi+24,5\pi=55,125\pi$ m$^3$.
    $\quad$
  3. La hauteur de la maquette est $\dfrac{1}{25}\times 4,5=0,18$ m $=18$ cm.
    $\quad$

Ex 3

Exercice 3

  1. $5,3\times 10^5=530~000$.
    Réponse A
    $\quad$
  2. Les diviseurs de $20$ compris entre $1$ et $6$ sont $1$, $2$, $4$ et $5$.
    La probabilité d’obtenir un diviseur de $20$ est $\dfrac{4}{6}=\dfrac{2}{3}$.
    Réponse A
    $\quad$
  3. $(x+5)^2=x^2+25$
    revient à $x^2+2\times 5\times x+5^2=x^2+25$
    soit $x^2+10x+25=x^2+25$
    d’où $10x=0$
    par conséquent $x=0$.
    Réponse B
    $\quad$
  4. $\dfrac{~~12~~}{\dfrac{3}{4}}=12\times \dfrac{4}{3}=4\times 4=16$.
    Réponse C
    $\quad$

 

Ex 4

Exercice 4

  1. On répète $5$ fois la boucle pour obtenir l’étoile.
    $\quad$
  2. Le périmètre de cette étoile est $P=10\times 80=800$ pixels.
    $\quad$
  3. Pour obtenir une étoile dont le périmètre est le double il faut doubler la longueur des côtés des branches.
  4. $\quad$
    $\quad$

Ex 5

Exercice 5

L’aire du triangle est $A_1=\dfrac{1,6\times 3}{2}=2,4$ m$^2$.

On appelle $x$ la longueur cherchée.
L’aire du rectangle est donc $3x$ m$^2$.

On veut donc résoudre l’inéquation :
$3x+2,4\pp 20$
soit $3x \pp 17,6$
donc $x \pp \dfrac{17,6}{3}$ m.

La valeur maximale qu’il peut choisir est donc $\dfrac{17,6}{3}$ m.
$\quad$

Ex 6

Exercice 6

  1. L’homothétie est donc de rapport $\dfrac{OC}{OA}=3$.
    $\quad$
  2. On a $\dfrac{3}{5}\times OE=OC$.
    On obtient donc la figure C.
    $\quad$
  3. Si on multiplie toutes les longueurs par un nombre $k$ alors l’aire est multipliée par $k^2$.
    On cherche cherche donc la valeur de $k$ telle que $k^2=4$.
    Par conséquent $k=2$.
    Les longueurs ont été multipliées par $2$.
    Or $OB=2OA$. On obtient donc la figure B.
    $\quad$

 

Ex 7

Exercice 7

  1. L’aire du terrain est $110\times 30= 3~300$ m$^2$.
    L’aire de la partie “plein air” est donc $3~300-150=3~150$ m$^2$.
    $\quad$
  2. Dans la partie couverte : $\dfrac{800}{150} \approx 5,33 < 6$.
    Dans la partie “plein air” : $\dfrac{3~150}{800} \approx 3,94<4$.
    La condition pour la partie “plein air” n’est donc pas respectée.
    Il ne pourra pas élever $800$ poules dans son installation.
    $\quad$
  3. On appelle $n$ le nombre de poules.
    Il faut que $\dfrac{3~150}{n}\pg 4$ soit $\dfrac{3~150}{4} \pg n$.
    Or $\dfrac{3~150}{4} = 787,5$.
    Donc $n\pp 787$.
    $\quad$
    On doit également avoir : $\dfrac{n}{150} \pp 6$
    Soit $n \pp 900$.
    Il pourra donc élever au maximum $787$ poules.
    $\quad$

Ex 8

Exercice 8

  1. On utilise le tableau de proportionnalité suivant :
    $\begin{array}{|c|c|c|}
    \hline
    \text{Volume d’eau en L}&1,5&1\\
    \hline
    \text{Volume de glace en L}&1,62&x\\
    \hline
    \end{array}$
    Donc $x=\dfrac{1\times 1,62}{1,5}=1,08$.
    En faisant geler $1$ L d’eau on obtient bien $1,08$ L de glace.
    $\quad$
  2. On peut saisir $=B1*1,62/1,5$ ou encore $=1,08*B1$.
    $\quad$
  3. Il y a proportionnalité entre le volume de glace obtenu et le volume d’eau contenu dans la bouteille.
    La courbe est donc une droite passant par l’origine du repère.
    On obtient donc le graphique n°2.
    $\quad$

Énoncé

Exercice 1     10 points

Une entreprise a enregistré, pour chaque mois de l’année 2016, le pourcentage de commandes livrées en retard. Le diagramme suivant présente ces données.

  1. Quel est le mois de l’année où le pourcentage de commandes livrées en retard a été le plus important ?
    Aucune justification n’est attendue.
    $\quad$
  2. Pour quels mois de l’année ce pourcentage a-t-il été inférieur ou égal à $18 \%$ ?
    Aucune justification n’est attendue.
    $\quad$
  3. Quelle est l’étendue de cette série de données ?
    $\quad$

Exercice 2     17 points

Samia vit dans un appartement dont la surface au sol est de $35$ m$^2$.
Elle le compare avec une yourte, l’habitat traditionnel mongol.

On modélise cette yourte par un cylindre et un cône.

On rappelle les formules suivantes :
$\qquad$ Aire du disque $=\pi \times $ rayon$^2$
$\qquad$ Aire du cylindre $=\pi \times $ rayon$^2$ $\times $ hauteur
$\qquad$ Aire du cône $=\dfrac{1}{3} \pi \times $ rayon$^2$ $\times $ hauteur

  1. Montrer que l’appartement de Samia offre une plus petite surface au sol que celle de la yourte.
    $\quad$
  2. Calculer le volume de la yourte en m$^3$.
    $\quad$
  3. Sarnia réalise une maquette de cette yourte à l’échelle $\dfrac{1}{25}$.
    Quelle est la hauteur de la maquette ?
    $\quad$

Exercice 3     12 points

Cet exercice est un QCM (questionnaire à choix multiples).
Dans chaque cas, une seule réponse est correcte.
Pour chacune des questions, écrire sur la copie le numéro de la question et la lettre de la bonne réponse. Aucune justification n’est attendue.

  1. L’écriture décimale du nombre $5,3\times 10^5$ est :
    A. $530~000$
    B. $5,300~000$
    C. $5~300~000$
    $\quad$
  2. Un dé équilibré a six faces numérotées de $1$ à $6$.
    On souhaite le lancer une fois.
    La probabilité d’obtenir un diviseur de $20$ est :
    A. $\dfrac{2}{3}$
    B. $\dfrac{4}{20}$
    C. $\dfrac{1}{2}$
    $\quad$
  3. L’égalité $(x+5)^2=x^2+25$
    A. n’est vraie pour aucune valeur de $x$
    B. est vraie pour une valeur de $x$
    C. est vraie pour toute valeur de $x$
    $\quad$
  4. On veut remplir des bouteilles contenant chacune $\dfrac{3}{4}$ L.
    Avec $12$ L, on peut remplir :
    A. $9$ bouteilles
    B. $12$ bouteilles
    C. $16$ bouteilles
    $\quad$

Exercice 4     12 points

Arthur doit écrire un programme avec Scratch pour dessiner une étoile comme le dessin représenté ci-dessous.
Il manque dans son programme le nombre de répétitions.

Programme commencé par Arthur

Information : L’instruction  signifie qu’on se dirige vers la droite.

  1. Quel nombre doit-il saisir dans la boucle « répéter » pour obtenir l’étoile ?
    $\quad$
  2. Déterminer le périmètre de cette étoile.
    $\quad$
  3. Arthur souhaite agrandir cette étoile pour obtenir une étoile dont le périmètre serait le double, en modifiant son programme.
    Recopier la partie du programme ci-dessous sur la copie en modifiant les valeurs
    nécessaires pour obtenir cette nouvelle étoile.

$\quad$

Exercice 5     12 points

Paul veut construire un garage dans le fond de son jardin.

Sur le schéma ci-dessous, la partie hachurée représente le garage positionné en limite de propriété.

Les longueurs indiquées ($1,6$ m et $3$ m) sont imposées; la longueur marquée par un point d’interrogation est variable.

Toute trace de recherche, même incomplète, pourra être prise en compte dans la notation.

Sachant que la surface du garage ne doit pas dépasser $20$ m$^2$ , quelle valeur maximale peut-il choisir pour cette longueur variable ?

$\quad$

Exercice 6     13 points

Avec un logiciel de géométrie dynamique, on a construit la figure $A$. En appliquant à la figure $A$ des homothéties de centre $O$ et de rapports différents, on a ensuite obtenu les autres figures.

  1. Quel est le rapport de l’homothétie de centre $O$ qui permet d’obtenir la figure $C$ à partir de la figure $A$ ?
    Aucune justification n’est attendue.
    $\quad$
  2. On applique l’homothétie de centre $O$ et de rapport $\dfrac{3}{5}$ à la figure $E$. Quelle figure obtient-on ?
    Aucune justification n’est attendue.
    $\quad$
  3. Quelle figure a une aire quatre fois plus grande que celle de la figure $A$ ?
    $\quad$

Exercice 7     14 points

Francis veut se lancer dans la production d’œufs biologiques. Son terrain est un rectangle de $110$ m de long et $30$ m de large.

Il va séparer ce terrain en deux parties rectangulaires (voir schéma ci-contre qui n’est pas à l’ échelle) :

  • une partie couverte;
  • une partie « Plein air ».

Pour avoir la qualification « biologique », Francis a l’obligation de respecter les deux règles ci-dessous.

$$\begin{array}{|c|c|}
\hline
\textbf{Partie couverte :}&\textbf{Partie « Plein air » :}\\
\text{utilisée pour toutes les}&\text{utilisée pour toutes les}\\
\text{poules quand il fait nuit}&\text{poules quand il fait jour}\\
\hline
6 \text{ poules maximum par m}^2&4 \text{ m$^2$ maximum par poule}\\
\hline
\end{array}\\
\textit{(Source : Institut Technologique de l’Agriculture Biologique)}
$$

Il a prévu que la partie couverte ait une surface de $150$ m$^2$.

Toute trace de recherche, même incomplète, pourra être prise en compte dans la notation.

  1. Montrer que l’aire de la partie « Plein air » est de $3~150$ m$^2$.
    $\quad$
  2. Peut-il élever $800$ poules dans son installation ?
    $\quad$
  3. Combien de poules au maximum pourrait-il élever dans son installation ?
    $\quad$

Exercice 8     10 points

Lorsqu’on fait geler de l’eau, le volume de glace obtenu est proportionnel au volume d’eau utilisé.

En faisant geler $1,5$ L d’eau on obtient $1,62$ L de glace.

  1. Montrer qu’en faisant geler $1$ L d’eau, on obtient $1,08$ L de glace.
    $\quad$
  2. On souhaite compléter le tableau ci-dessous à l’aide d’un tableur.
    Quelle formule peut-on saisir dans la cellule $B2$ avant de la recopier vers la droite jusqu’à la cellule $G2$ ?
    $\quad$
  3. Quel graphique représente le volume de glace obtenu (en L) en fonction du volume d’eau contenu dans la bouteille au départ (en L) ? On rappelle que toute réponse doit être justifiée.

    $\quad$