Exercice 1

1. Avec le programme de Nina : $1\underset{-1}{\longrightarrow}0\underset{\times (-2)}{\longrightarrow}0\underset{+2}{\longrightarrow}2$
   Avec le programme de Claire $1\underset{\times \left(-\dfrac{1}{2}\right)}{\longrightarrow}-\dfrac{1}{2}\underset{+1}{\longrightarrow}\dfrac{1}{2}$.
   De plus $\dfrac{1}{2}\times 4=2$.
   Si les deux filles choisissent $1$ comme nombre de départ, Nina obtiendra un résultat final $4$ fois plus grand que celui de Claire.
   $\quad$
2. On appelle $x$ le nombre choisi par Nina.
   $x\underset{-1}{\longrightarrow}x-1\underset{\times (-2)}{\longrightarrow}-2(x-1)\underset{+2}{\longrightarrow}-2(x-1)+2$
   On veut donc déterminer la valeur de $x$ pour que :
   $-2(x-1)+2=0$ soit $-2x+2+2=0$ donc $2x=4$.
   Nina doit par conséquent choisir le nombre $2$ pour obtenir $0$ à la fin.
   $\quad$
3. On appelle $x$ le nombre choisi par Claire.
   $x\underset{\times \left(-\dfrac{1}{2}\right)}{\longrightarrow}-\dfrac{x}{2}\underset{+1}{\longrightarrow}1-\dfrac{x}{2}$
   Nina obtient le nombre $-2x+4$ et Claire le nombre $1-\dfrac{x}{2}$.
   De plus $4\times \left(1-\dfrac{x}{2}\right)=4-2x$.
   Nina a donc raison.
   $\quad$
   Remarque : Si on choisit $x=2$ alors les deux programmes renvoient le nombre $0$. On a bien $4\times 0=0$ mais, dans le langage courant, ce n’est plus $4$ fois plus grand. En argumentant soigneusement ce point de français on pourrait dire que l’affirmation est fausse pour $0$. Je pense que les concepteurs du sujet pensaient à ce que j’ai proposé initialement, en comprenant que $4$ fois  plus grand signifie le quadruple, mais je peux me tromper.
   $\quad$

Exercice 2

1. $5~680,9\times \left(1-\dfrac{21}{100}\right)=5~680,9\times 0,79\approx 4~487,9$.
   L’Union Européenne a émis $4~487,9$ million de tonnes équivalent CO$_2$ en 2013.
   $\quad$
2. $549,4\times \left(1-\dfrac{2}{5}\right)=329,64$
   La France devra donc émettre $329,64$ millions de tonnes équivalent CO$_2$ en 2030.
   De plus $\dfrac{329,64-490,2}{490,2}\approx -0,33$.
   Cela correspond donc bien à une diminution d’environ $\dfrac{1}{3}$ de ses émissions de gaz à effet de serre par rapport à 2013.
   $\quad$

 

Exercice 3

1. On obtient le motif suivant :
   
   $\quad$
2. a. Le programme n°2 permet d’obtenir le motif voulu.
   $\quad$
   b. Avec le programme n°1 on obtient le motif suivant :
   $\quad$
3. Il suffit d’écrire le programme $4(1\text{S}~~2\text{E}~~1\text{N})$ pour obtenir le motif souhaité.
   $\quad$

Exercice 4

Rayon intérieur d’un cylindre : $r_1=45$ cm $=0,45$ m
Rayon extérieur d’un cylindre $r_2=50,5$ cm $=0,505$ m

Volume d’un cylindre :
$\begin{align*} V_1&=\pi\times 0,505^2\times 0,5-\pi\times 0,45^2\times 0,5 \\
&=\pi\times 0,5\times \left(0,505^2-0,45^2\right)\\
&=0,262~625\pi \text{ m}^3\end{align*}$

Masse d’un cylindre : $M_1=2~400\times V_1=63,03\pi$ kg
Donc $M\approx 198$ kg.

Madame Martin ne pourra donc transporter que $2$ cylindres à la fois.

Elle devra par conséquent faire $3$ allers-retours pour tous les transporter.

$\quad$

Exercice 5

1. D’après le schéma les diagonales du quadrilatère $ABCD$ se coupent en leur milieu et ont la même longueur. $ABCD$ est donc un rectangle.
   $\quad$
2. Dans le triangle $OAB$, le plus grand côté est $AB$.
   D’une part : $AB^2=25$
   D’autre part : $OA^2+OB^2=3,5^2+3,5^2=24,5$.
   Par conséquent $AB^2\neq OA^2+OB^2$
   D’après la contraposée du théorème de Pythagore le triangle $OAB$ n’est pas rectangle en $O$.
   $\quad$
   Les diagonales du rectangle $ABCD$ ne sont pas perpendiculaires. Ce n’est pas un carré.
   $\quad$

Exercice 6

1. $19~741+11~984=31~725$.
   Il y avait donc $31~725$ milliers soit $31~725~000$ voitures « diesel ou essence » en circulation en France en 2014.
   $\quad$
2. $\dfrac{11~984}{31~725}\approx 0,38$.
   Donc environ $38\%$ des voitures « diesel ou essence » en circulation en France en 2014 roulaient à l’essence.
   $\quad$
3. a. $\dfrac{103~824}{7}=14~832$
   Hugo a donc parcouru en moyenne $14~832$ km par an ce qui est très proche de $15~430$ km, correspondant au parcours moyen annuel des véhicules diesel.
   $\quad$
   b. D’après la question précédente, environ $38\%$ des véhicules en circulation sont des véhicules essence. Le parcours moyen annuel de ces véhicules en de $8~344$ km. Comme il s’agit d’une moyenne, certains véhicules parcourent plus de kilomètres et d’autres moins que cette distance.
   Il est donc possible que la voiture de Hugo soit un véhicule essence.
   $\quad$

Exercice 7

1. $f$ est une fonction affine. Elle est donc représentée par une droite.
   La courbe $C_2$ représente donc la fonction $f$.
   $\quad$
2. $f(3)=-2\times 3+8=2$.
   $\quad$
3. On veut résoudre l’équation :
   $-2x+8=6$ soit $-2x=-2$ par conséquent $x=1$.
   Le nombre $1$ a pour image $6$ par la fonction $f$. On dit que $1$ est l’antécédent de $6$ par la fonction $f$.
   $\quad$
4. On peut saisir la formule $=-2*B1+8$.
   $\quad$

Toutes les réponses doivent être justifiées, sauf si une indication contraire est donnée. Pour chaque question, si le travail n’est pas terminé, laisser tout de même une trace de la recherche. Elle sera prise en compte dans la notation.

Exercice 1     14 points

Nina et Claire ont chacune un programme de calcul.

$$\begin{array}{|l|l|}\hline\textbf{Programme de Nina} &\textbf{Programme de Claire}\\
\text{Choisir un nombre de départ}&\text{ Choisir un nombre de départ}\\
\text{Soustraire }1 &\text{Multiplier ce nombre par }-\dfrac{1}{2}\\
\text{Multiplier le résultat par } -2 & \text{Ajouter $1$ au résultat}\\
\text{Ajouter }2& \\
\hline
\end{array}$$

1. Montrer que si les deux filles choisissent $1$ comme nombre de départ, Nina obtiendra un résultat final $4$ fois plus grand que celui de Claire.
   $\quad$
2. Quel nombre de départ Nina doit-elle choisir pour obtenir $0$ à la fin ?
   $\quad$
3. Nina dit à Claire : «Si on choisit le même nombre de départ, mon résultat sera toujours quatre fois plus grand que le tien».
   A-t-elle raison ?
   $\quad$

$\quad$

Exercice 2     11 points

Le tableau ci-dessous présente les émissions de gaz à effet de serre pour la France et l’Union Européenne, en millions de tonnes équivalent CO$_2$, en 1990 et 2013. $$\begin{array}{|l|c|c|}
\hline
&1990\text{ en millions de tonnes équivalent CO$_2$)}&2013\text{ en millions de tonnes équivalent CO$_2$)} \\
\hline
\text{France}&549,4&490,2\\
\hline
\text{Union Européenne}&5~680,9&\\
\hline\end{array}\\
\hspace{5cm} \textit{Source : Agence européenne pour l’environnement, } 2015$$

1. Entre 1990 et 2013, les émissions de gaz à effet de serre dans l’Union Européenne ont diminué de $21 \%$.
   Quelle est la quantité de gaz à effet de serre émise en 2013 par l’Union Européenne ?
   Donner une réponse à $0,1$ million de tonnes équivalent CO$_2$ près.
   $\quad$
2. La France s’est engagée d’ici 2030 à diminuer de $\dfrac{2}{5}$ ses émissions de gaz à effet de serre par rapport à 1990.
   Justifier que cela correspond pour la France à diminuer d’environ $\dfrac{1}{3}$ ses émissions de gaz à effet de serre par rapport à 2013.
   $\quad$

$\quad$

Exercice 3     17 points

Un programme permet à un robot de se déplacer sur les cases d’un quadrillage. Chaque case atteinte est colorée en gris. Au début d’un programme, toutes les cases sont blanches, le robot se positionne sur une case de départ indiquée par un «d» et la colore aussitôt en gris.

Voici des exemples de programmes et leurs effets :

• $1W$ : Le robot avance de $1$ case vers l’ouest.
  
• $2E~1W~2N$ : Le robot avance de $2$ cases vers l’est, puis de $1$ case vers l’ouest, puis de $2$ cases vers le nord.
  
• $3(1S~2E)$ : Le robot répète $3$ fois le déplacement suivant :
  « avancer de $1$ case vers le sud puis de $2$ cases vers
  l’est »,
  Soit $3$ fois :
  

1. Voici un programme :
   Programme : $1W~2N~2E~4S~2W$
   On souhaite dessiner le motif obtenu avec ce programme.
   Sur votre copie, réaliser ce motif en utilisant des carreaux, comme dans les exemples précédents. On marquera un «d» sur la case de départ.
   $\quad$
2. Voici deux programmes :
   Programme n° 1 : $1S~3(1N~3E~2S)$
   Programme n° 2 : $3(1S~1N~3E~1S)$
   a. Lequel des deux programmes permet d’obtenir le motif ci-dessous ?

   
   $\quad$
   b. Expliquer pourquoi l’autre programme ne permet pas d’obtenir le motif ci-dessus.
   $\quad$

3. Voici un autre programme :
   Programme n° 3 : $4(1S~1E~1N)$
   Il permet d’obtenir le résultat suivant :
   Réécrire ce programme n°3 en ne modifiant qu’une seule instruction afin d’obtenir ceci :
   
   $\quad$

$\quad$

Exercice 4     16 points

Pour fabriquer un puits dans son jardin, Mme Martin a besoin d’acheter $5$ cylindres en béton comme celui décrit ci-dessous.
Dans sa remorque, elle a la place pour mettre les $5$ cylindres mais elle ne peut transporter que $500$ kg au maximum.

À l’aide des caractéristiques du cylindre, déterminer le nombre minimum d’allers-retours nécessaires à Mme Martin pour rapporter ses $5$ cylindres avec sa remorque.

Caractéristiques d’un cylindre :

• diamètre intérieur : $90$ cm
• diamètre extérieur : $101$ cm
• hauteur : $50$ cm
• masse volumique du béton : $2~400$ kg/m$^3$

Rappel : volume d’un cylindre $V = \pi \times $ rayon $\times $ rayon $\times $ hauteur
$\quad$

$\quad$

Exercice 5     12 points

La figure ci-dessous est codée et réalisée à main levée.
Elle représente un quadrilatère $ABCD$ dont les diagonales se croisent en un point $O$.

On donne : $OA = 3,5$ cm et $AB = 5$ cm.

On s’intéresse à la nature du quadrilatère $ABCD$ qui a été représenté.

1. Peut-on affirmer que $ABCD$ est un rectangle ?
   $\quad$
2. Peut-on affirmer que $ABCD$ est un carré ?
   $\quad$

$\quad$

Exercice 6     14 points

Voici un tableau (document 1) concernant les voitures particulières « diesel ou essence » en circulation en France en 2014. $$\textbf{Document }1\\ \begin{array}{|c|c|c|}
\hline
&\text{Nombre de voitures en circulation (en milliers)}& \text{Parcours moyen annuel (en km/véhicule)} \\
\hline
\text{Diesel}& 19~741& 15~430\\
\hline
\text{Essence}& 11~984& 8~344 \\
\hline
\end{array}\\
\hspace{9cm} \textit{Source : INSEE}$$

1. Vérifier qu’il y avait $31~725~000$ voitures« diesel ou essence » en circulation en France en 2014.
   $\quad$
2. Quelle est la proportion de voitures essence parmi les voitures « diesel ou essence » en circulation en France en 2014 ?
   Exprimer cette proportion sous forme de pourcentage.
   On arrondira le résultat à l’unité.
   $\quad$
3. Fin décembre 2014, au cours d’un jeu télévisé, on a tiré au sort une voiture parmi les voitures « diesel ou essence » en circulation en France. On a proposé alors au propriétaire de la voiture tirée au sort de l’échanger contre un véhicule électrique neuf.
   Le présentateur a téléphoné à Hugo, l’heureux propriétaire de la voiture tirée au sort.
   Voici un extrait du dialogue (document 2) entre le présentateur et Hugo :

Document 2
Le présentateur : « Bonjour Hugo, quel âge a votre voiture ? »,
Hugo : « Là, elle a $7$ ans ! ».
Le présentateur : « Et combien a-t-elle de kilomètres au compteur ? »,
Hugo : « Un peu plus de $100~000$ km. Attendez, j’ai une facture du garage qui date d’hier . . . elle a exactement $103~824$ km »,
Le présentateur : « Ah ! Vous avez donc un véhicule diesel je pense ! »

À l’aide des données contenues dans le document 1 et dans le document 2 :

3. a. Expliquer pourquoi le présentateur pense que Hugo a un véhicule diesel.
   $\quad$
   b. Expliquer s’il est possible que la voiture de Hugo soit un véhicule essence.
   $\quad$

$\quad$

Exercice 7     16 points

Les représentations graphiques $C_1$ et $C_2$ de deux fonctions sont données dans le repère ci-dessous.
Une de ces deux fonctions est la fonction $f$ définie par $f(x) =-2x+8$.

1. . Laquelle de ces deux représentations est celle de la fonction $f$ ?
   $\quad$
2. Que vaut $f(3)$ ?
   $\quad$
3. Calculer le nombre qui a pour image $6$ par la fonction $f$.
   $\quad$
4. La feuille de calcul ci -dessous permet de calculer des images par la fonction $f$.
   $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}
   \hline
   &\text{A}&\text{B}&\text{C}&\text{D}&\text{E}&\text{F}&\text{G}\\
   \hline
   1&x&-2&-1&0&1&2&3\\
   \hline
   2&\phantom{aa}f(x)\phantom{aa}&\phantom{aaaaa}&\phantom{aaaaa}&\phantom{aaaaa}&\phantom{aaaaa}&\phantom{aaaaa}&\phantom{aaaaa}\\
   \hline
   \end{array}$$
   Quelle formule peut-on saisir dans la cellule $B2$ avant de l’étirer vers la droite jusqu’à la cellule $G2$ ?
   $\quad$