DNB – Asie – Juin 2023

Asie – Juin 2023

DNB maths – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

  1. $E$ appartient à $[CD]$. Par conséquent
    $\begin{align*} CD&=CE+ED\\
    &=30+10 \\
    &=40 \text{ m}\end{align*}$
    $\quad$
  2. Dans le triangle $CDG$ rectangle en $D$ on applique le théorème de Pythagore.
    $\begin{align*} CG^2&=DG^2+DC^2\\
    &=24^2+40^2 \\
    &=2~176\end{align*}$
    Par conséquent :
    $\begin{align*} CG&=\sqrt{2~176} \\
    &\approx 46,6\text{ m}\end{align*}$
    $\quad$
  3. Dans les triangles $CEF$ et $CDG$ on a :
    $\bullet$ $E$ appartient à $[CD]$ et $F$ appartient à $[CG]$
    $\bullet$ $(EF)$ et $(DG)$ sont parallèles.
    D’après le théorème de Thalès :
    $\dfrac{CE}{CD}=\dfrac{CF}{CG}=\dfrac{EF}{DG}$
    Ainsi $\dfrac{30}{40}=\dfrac{EF}{24}$
    Par conséquent $EF=\dfrac{30\times 24}{40}$ soit $EF=18$ m.
    $\quad$
  4. L’aire du triangle $CEF$ est égale à $\dfrac{CE\times EF}{2}=270$ m$^2$.
    $2\times 140 = 280>270$.
    Il faut donc prévoir $2$ sacs de graines.
    Il faudra donc prévoir un budget de $2\times 22,90=45,80$ €.
    $\quad$
  5. L’aire du triangle $CDG$ est égale à $\dfrac{CD\times DG}{2}=480$ m$^2$.
    L’aire du potager est donc égale à $480-270=210$ m$^2$.
    Or $210<270$.
    La surface du potager est donc plus petite que celle de la zone de jeux.
    La directrice à tort.
    $\quad$

 

 

 

Ex 2

Exercice 2

  1. Il y a $2$ billes rouges dans le sac qui contient $2+3+3=8$ billes.
    La probabilité de tirer une boule rouge est donc égale à $\dfrac{2}{8}=\dfrac{1}{4}$.
    Réponse B
    $\quad$
  2. On doit multiplier le prix par $1+\dfrac{25}{100}=1,25$.
    Réponse A
    $\quad$
  3. La figure $\require{enclose}{\scriptstyle \enclose{circle}{\kern .06em 2\kern .06em}}$ est un agrandissement de la figure $\require{enclose}{\scriptstyle \enclose{circle}{\kern .06em 1\kern .06em}}$ .
    On a donc utilisé une homothétie de rapport positif.
    Réponse C
    $\quad$
  4. $f$ est une fonction affine de coefficient directeur $-7$ et d’ordonnée à l’origine $-9$.
    Réponse A
    $\quad$
  5. On a
    $\begin{align*} 1\text{ a.l.}&=9~461\times 10^9\text{ km} \\
    &=9~461 \times 10^9 \times 3\text{ m} \\
    &=9,461\times 10^{12} \text{m}\\
    &=9~461\times 10^{15} \text{ m}\end{align*}$
    Réponse A
    $\quad$
  6. Dans le triangle $ABC$ rectangle en $A$ on a $\cos\widehat{ABC}=\dfrac{AB}{BC}$.
    Donc $\cos 30\text{°}=\dfrac{AB}{5}$.
    Par conséquent $AB=5\times \cos 30\text{°}$.
    Réponse B
    $\quad$

 

 

Ex 3

Exercice 3

Partie A

  1. On obtient successivement les nombres suivants :
    $3\underset{\text{carré}}{\to}9\underset{\times 5}{\to}45\underset{+4}{\to} 49 \underset{\times 2}{\to} 98 \underset{-8}{\to} 90$.
    On obtient bien $80$ avec ce programme si $3$ est le nombre de départ.
    $\quad$
  2. En prenant $2$ comme nombre de départ on obtient successivement :
    $2\underset{\text{carré}}{\to}4\underset{\times 5}{\to}20\underset{+4}{\to} 24 \underset{\times 2}{\to} 48 \underset{-8}{\to} 40$.
    En prenant $-2$ comme nombre de départ on obtient successivement :
    $-2\underset{\text{carré}}{\to}4\underset{\times 5}{\to}20\underset{+4}{\to} 24 \underset{\times 2}{\to} 48 \underset{-8}{\to} 40$.
    Les deux élèves obtiennent $40$ comme résultat.
    $\quad$
  3. En prenant $x$ comme nombre de départ on obtient successivement :
    $x\underset{\text{carré}}{\to}x^2\underset{\times 5}{\to}5x^2\underset{+4}{\to} 5x^2+4 \underset{\times 2}{\to} 10x^2+8 \underset{-8}{\to} 10x^2$.
    Le résultat du programme s’écrit bien $10x^2$.
    $\quad$

Partie B

  1. Graphiquement les antécédents de $30$ par la fonction $f$ sont environ égaux à $-1,7$ et $1,7$.
    $\quad$
  2. a. Il a pu écrire $=10*\text{A2}^2$.
    $\quad$
    b. D’après le tableau le nombre de départ donnant le résultat le plus proche de $30$ est $1,73$.
    $\quad$
  3. On cherche à résoudre l’équation $10x^2=30$ soit $x^2=3$.
    Le nombre positif solution de cette équation est $\sqrt{3}$.
    $\quad$

 

Ex 4

Exercice 4

  1. Dans le bloc 1 les coordonnées du lutin sont $(-220,0)$.
    $\quad$
  2. On peut écrire :
    $\quad$

    $\quad$
  3. On obtient :
    $\quad$

    $\quad$
  4. a. Le script trace successivement un carré puis un rectangle $3$ fois de suite.
    On obtient donc la frise 1.
    $\quad$
    b. On peut écrire
    $\quad$

    $\quad$

 

Ex 5

Exercice 5

  1. Le nombre moyen de pots de glace vendus est égal à :
    $\begin{align*} m&=\dfrac{453+649+786+854+860+1~003+957+838}{8} \\
    &=\dfrac{6~400}{8}\\
    &=800\end{align*}$
    $\quad$
  2. Nombre de pots à une boule :
    $\dfrac{67}{100}\times 6~400=4~288$
    $\quad$
    Nombre de pots à deux boules :
    $6~400-4~288=2~112$
    $\quad$
    $2,8\times 4~288+3,5\times 2~112=19~398,80$.
    La vente des pots de glace au cours de cette période a rapporté $19~398,80$ €.
    $\quad$
    Remarque : On pouvait également calculer la recette moyenne par semaine et la multiplier par $8$ pour obtenir la recette sur l’ensemble des deux mois.
    $\quad$
  3. a. Le rayon de la cuillère à glace est $R=2,1$ cm.
    Le volume d’une boule de glace est égal à :
    $\begin{align*} V&=\dfrac{4}{3}\times \pi \times 2,1^3 \\
    &\approx 38,79 \text{ cm}^3\end{align*}$
    Le volume d’une boule de glace est environ égal à $39$ cm$^3$.
    $\quad$
    b. $10 \text{ L} = 10~000 \text{ cm}^3$.
    $\dfrac{10~000}{39}\approx 256,4$
    Le vendeur peut réaliser au maximum $256$ boules de glace dans un bac.
    $\quad$

 

 

Énoncé

Indication portant sur l’ensemble du sujet. Toutes les réponses doivent être justifiées, sauf si une indication contraire est donnée. Pour chaque question, si le travail n’est pas terminé, laisser une trace de la recherche ; elle sera prise en compte dans la notation.

Exercice 1     22 points

Un centre de loisirs dispose d’un bâtiment et d’un espace extérieur pour accueillir des enfants.

L’espace extérieur, modélisé par un triangle, est partagé en deux parties : un potager (quadrilatère $DEFG$ hachuré) et une zone de jeux (triangle $EFC$), comme représenté par la figure ci-dessous.

Données :

  • Les points $C$, $E$ et $D$ sont alignés.
  • Les points $C$, $F$ et $G$ sont alignés.
  • Les droites $(EF)$ et $(DG)$ sont parallèles.
  • Les droites $(DG)$ et $(CD)$ sont perpendiculaires.
  • $CE=30$ m ; $ED=10$ m et $DG=24$ m.
  1. Déterminer la longueur $CD$.
    $\quad$
  2. Calculer la longueur $CG$. Arrondir au dixième de mètre près.
    $\quad$
  3. L’équipe veut séparer la zone de jeux et le potager par une clôture représentée par le segment $[EF]$.
    Montrer que la clôture doit mesurer $18$ m.
    $\quad$
  4. Pour semer du gazon sur la zone de jeux, l’équipe décide d’acheter des sacs de $5$ kg de graines à $22,90$ € l’unité. Chaque sac permet de couvrir une surface d’environ $140$ m$^2$.
    Quel budget doit-on prévoir pour pouvoir semer du gazon sur la totalité de la zone de jeux ?
    $\quad$
  5. La directrice du centre affirme que la surface du potager est plus grande que celle de la zone de jeux. A-t-elle raison ?
    $\quad$

$\quad$

Exercice 2     18 points

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM). Aucune justification n’est demandée.
Pour chaque question, trois réponses (A, B et C) sont proposées. Une seule réponse est exacte. Recopier le numéro de la question et la réponse sur la copie.

  1. Un sac de billes opaque contient deux billes rouges, trois billes vertes et trois billes bleues. Les billes sont indiscernables au toucher. On tire, au hasard, une bille dans ce sac.
    Quelle est la probabilité d’obtenir une bille rouge ?
    Réponse A $\dfrac{2}{6_{\phantom{1}}}$
    Réponse B $\dfrac{1}{4_{\phantom{1}}}$
    Réponse C $\dfrac{3}{8_{\phantom{1}}}$
    $\quad$
  2. Si je souhaite augmenter un prix de $25\%$, par quel coefficient dois-je multiplier ce prix ?
    Réponse A $1,25$
    Réponse B $0,25$
    Réponse C $0,75$
    $\quad$
  3. Sur la figure suivante, le triangle $\require{enclose}{\scriptstyle \enclose{circle}{\kern .06em 2\kern .06em}}$ est l’image du triangle $\require{enclose}{\scriptstyle \enclose{circle}{\kern .06em 1\kern .06em}}$ par une transformation.
    Quelle est cette transformation ?
    $\quad$

    $\quad$
    Réponse A Une translation
    Réponse B Une homothétie de centre $D$ et de rapport $-3$
    Réponse C Une homothétie de centre $D$ et de rapport $3$
    $\quad$
  4. On considère une fonction $f$ définie par $$f(x)=-9-7x$$
    Quelle est l’affirmation correcte ?
    Réponse A $f$ est une fonction affine
    Réponse B $f$ est une fonction linéaire
    Réponse C $f$ n’est ni une fonction affine ni une fonction linéaire
    $\quad$
  5. Quelle expression donne la longueur $AB$ en centimètre ?
    $\quad$

    $\quad$
    Réponse A $5\times \sin 30\text{°}$
    Réponse B $5\times \cos 30\text{°}$
    Réponse C $\dfrac{5}{\cos 30\text{°}}$
    $\quad$

$\quad$

Exercice 3     20 points

On considère le programme de calcul suivant
$$\begin{array}{c}\text{Nombre de départ}\\
\Downarrow\\
\begin{array}{|cl|}
\hline
\bullet&\text{Calculer le carré de ce}\\&\text{nombre}\\
\bullet&\text{Multiplier par }5\\
\bullet&\text{Ajouter }4\\
\bullet&\text{Multiplier par }2\\
\bullet&\text{Enlever }8\\
\hline
\end{array}\\
\Downarrow\\
\text{Résultat}\end{array}$$

Partie A

  1. Montrer que si $3$ est le nombre de départ, le programme donne un résultat égal à $90$.
    $\quad$
  2. Un élève choisit $2$ comme nombre de départ et un autre élève choisit $-2$. Montrer qu’ils doivent obtenir le même résultat.
    $\quad$
  3. Si on nomme $x$ le nombre de départ, montrer que le résultat du programme peut s’écrire $10x^2$.
    $\quad$

Partie B

Dans cette partie, un élève cherche le ou les nombre(s) de départ qu’il doit choisir pour obtenir $30$ comme résultat.

  1. Pour cela, il représente graphiquement la fonction $f$ associée au programme de calcul, définie par $f(x)=10x^2$.
    Il obtient la courbe suivante :
    $\quad$

    $\quad$
    À l’aide du graphique, déterminer une valeur approchée des antécédents de $30$ par la fonction $f$. Ne pas justifier.
    $\quad$

  2. L’élève souhaite trouver une valeur plus précise de l’antécédent positif trouvé à la question précédente. Pour cela, il utilise une feuille de calcul dont un extrait est donné ci-dessous :
    $\quad$

    $\quad$
    a. Quelle formule a-t-il pu entrer dans la cellule $\text{B2}$ avant de l’étirer vers le bas ? Ne pas justifier.
    $\quad$
    b. Dans ce tableau, quel est le nombre de départ donnant le résultat le plus proche de $30$ ? Ne pas justifier.
    $\quad$
  3. Déterminer la valeur exacte du nombre positif cherché par l’élève ?
    $\quad$

$\quad$

Exercice 4     16 points

Dans cet exercice, aucune justification n’est demandée.

Une élève souhaite réaliser avec un logiciel de programmation pour dessiner des frises constituées de carrés et de rectangles.
Pour cela, elle commence par créer les $3$ blocs ci-dessous :

  1. Quelles sont les coordonnées du lutin après exécution du bloc 1 ?
    $\quad$
  2. Par quelles valeurs doit-on compléter les lignes 3 et 5 du bloc 2 pour obtenir un carré ?
    $\quad$
  3. Construire ce que dessine le lutin lorsque le bloc 3 est utilisé. On prendra $1$ cm pour $20$ pas.
    $\quad$
  4. L’élève souhaite réaliser les deux frises ci-dessous.
    $\quad$

    $\quad$
    a. Elle rédige le script ci-dessus. Indiquer le numéro de la frise qu’elle va obtenir lorsque le drapeau vert est cliqué.
    $\quad$
    b. Écrire un script permettant de réaliser la frise qui n’a pas été obtenue.
    $\quad$

Exercice 5     24 points

Un marchand de glaces souhaite préparer ses ventes pour l’été prochain.
Voici quelques informations concernant son activité en juillet et août 2022.

  1. Calculer le nombre moyen de pots de glace vendus par semaine au cours de la période de juillet à août 2022.
    $\quad$
  2. Parmi tous les pots de glace vendus au cours de cette période, $67\%$ sont des pots à une boule. Calculer la somme que rapporte la vente des pots de glace au cours de cette période.
    $\quad$
  3. On modélise les boules de glace réalisées avec la cuillère à glace par des boules de $4,2$ cm de diamètre.
    a. Montrer que le volume d’une boule de glace est d’environ $39$ cm$^3$.
    $\quad$
    b. Le vendeur utilise des bacs de glace contenant $10$ L chacun. Combien peut-il faire de boules de glace, au maximum, avec la glace contenue dans un bac ?
    $\quad$

$\quad$