DNB – Centres étrangers – juin 2017

Centres étrangers – Juin 2017

DNB – Mathématiques – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici :

Ex 1

Exercice 1

Affirmation 1 : Dans le triangle $ABC$, $[BC]$ est le plus grand côté.
D’une part $BC^2=97^2=9~409$
D’autre part
$\begin{align*} AB^2+AC^2&=65^2+72^2\\
&=4~225+5~184\\
&=9~409
\end{align*}$
D’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle $ABC$ est rectangle en $A$.
Affirmation vraie

$\quad$

Affirmation 2 : Dans le triangle $ACH$ rectangle en $H$ on a :
$\cos \widehat{CAH}=\dfrac{5}{6}$
Donc $\widehat{CAH} \approx 33,6$°
Donc $30$°$<\widehat{CAH}<35$°
Affirmation vraie

$\quad$

Affirmation 3 : Il utilise $\dfrac{1}{6}$ d’un pot pour passer une couche de peinture sur l’intérieur et l’extérieur d’un volet.
Par conséquent, il utilise $\dfrac{3}{6}=\dfrac{1}{2}$ d’un pot pour passer $3$ couches de peinture sur tout le volet.
Donc il utilise $8\times \dfrac{1}{2}=4$ pots de peinture pour peindre ses $4$ paires de volets (donc $8$ volets en tout).
Affirmation fausse

$\quad$

Ex 2

Exercice 2

Partie 1

  1. La température des maquettes avant d’être mise dans la chambre froide était de $20$°C.
    $\quad$
  2. L’expérience a duré plus de $95$ heures.
    Or $2$ jours représente $48$ heures.
    L’expérience a donc duré plus de $2$ jours.
    $\quad$
  3. La température des trois maquettes ce stabilise, au bout d’un certain temps, à $6$°C.
    La maquette B atteint cette température le plus tardivement.
    C’est donc elle qui est contient l’isolant le plus performant.
    $\quad$

Partie 2

  1. Si $c=0,035$ et $e=15$ cm$=0,15$ m alors $R=\dfrac{0,15}{0,035} \approx 4,29 >4$.
    Sa maison respecte la norme RT2012 des maisons BBC.
    $\quad$
  2. On veut $R=5$ et $c=0,04$
    Donc $5=\dfrac{e}{0,04}$ soit $e=0,04\times 5=0,2$ m
    Elle doit donc mettre $20$ cm d’isolant sur ses murs.
    $\quad$

 

Ex 3

Exercice 3

  1. Pyramide de $6$ cm de hauteur dont la base est un rectangle de $6$ cm de longueur et de $3$ cm de largeur.
    $\quad$
    Un cylindre de $2$ cm de rayon et de $3$ cm de hauteur.

    $\quad$
    Un cône de $3$ cm de rayon et de $3$ cm de hauteur.
  2. Volume de la pyramide : $V_1=\dfrac{1}{3}\times 3\times 6\times 6 = 36$ cm$^3$.
    Volume du cylindre : $V_2=\pi\times 2^2\times 3\approx 37,7$ cm$^3$.
    Volume du cône : $V_3=\dfrac{1}{3}\times \pi\times 3^2\times 3\approx 28,3$ cm$^3$.
    Volume de la boule : $V_4=\dfrac{4}{3}\times \pi\times 2^3 \approx 33,5$ cm$^3$.
    On obtient donc l’ordre suivant : cône – boule – pyramide – cylindre.
    $\quad$

Ex 4

Exercice 4

  1. On peut saisir $=B2+C2+D2+E2+F2+G2$ ou $=\text{SOMME}(B2:G2)$.
    $\quad$
  2. $186+84+19=289$.
    La probabilité que ce volet fonctionne plus de $3~000$ montées descentes est $\dfrac{289}{500}=0,578$.
    $\quad$
  3. $500-20=480$
    La probabilités qu’un volet fonctionne plus de $1~000$ montées descentes est $\dfrac{480}{500}=0,96 > 0,95$.
    Ce lot de volets roulants est donc fiable.
    $\quad$

Ex 5

Exercice 5

Le volume d’eau que Sarah mettra dans sa piscine est :
$V=8\times 4\times (1,8-0,2)=51,2$ m$^3 = 51~200$ l
Il lui faut $18$ secondes pour remplir un sceau de $10$ litres.
Il lui faudra donc $18 \times 5~120=92~160$ secondes pour remplir la piscine.

$1$ jour $=24\times 60\times 60=86~400$ secondes.

Sarah mettra donc plus d’une journée à remplir la piscine.
$\quad$

Ex 6

Exercice 6

  1. Le toit de la maison est un triangle rectangle isocèle dont les côtés de l’angle droit mesurent $50$ unités.
    D’après le théorème de Pythagore on a donc :
    $d^2=50^2+50^2=5~000$
    Par conséquent $d=\sqrt{5~000}\approx 71$ unités à l’unité près.
    $\quad$
  2. La largeur de la fenêtre utilisée est de $240-(-230)=470$ unités.
    Une maison nécessite environ $71+20=91$ unités.
    $\dfrac{470}{91}\approx 5,16$.
    La plus grande valeur de $n$ est donc $5$.
    $\quad$
  3. Dans le triangle $EAM$ rectangle ne $E$ on a :
    $\sin \widehat{HAC}=\dfrac{EM}{AM}$
    soit $\sin 30=\dfrac{EM}{16}$
    Par conséquent $EM=16\sin 30=8$
    $\quad$
    Dans les triangles $HAC$ et $EAM$ :
    – $E$ appartient à $[HA]$ et $M$ appartient à $[AC]$
    – les droites $(EM)$ et $(HC)$ sont parallèles
    D’après le théorème de Thalès, on a :
    $\dfrac{AM}{AC}=\dfrac{EM}{HC}=\dfrac{EA}{AH}$
    Soit $\dfrac{16}{16+10}=\dfrac{8}{HC}$
    Donc $HC=\dfrac{8\times 26}{16}=13$
    $\quad$
    Dans le triangle $EAM$ rectangle en $E$ on a :
    $\cos \widehat{HAC}=\dfrac{EA}{16}$ soit $EA=16\cos 30 =8\sqrt{3} \approx 13,86$
    $\quad$
    Dans le triangle $HAC$ rectangle en $H$ on a :
    $\cos \widehat{HAC}=\dfrac{AH}{AC}$ soit $AH=26\cos 30=13\sqrt{3} \approx 22,52$
    $\quad$
    Le point $E$ appartient à $[AH]$ donc $HE=13\sqrt{3}-8\sqrt{3}=5\sqrt{3}\approx 8,66$
    $\quad$

Ex 7

Exercice 7

  1. Surface du sol de la cuisine : $4\times 5=20$ m$^2$.
    Avec $5\%$ de carrelage en plus : $20\times 1,05=21$ m$^2$.
    Il doit donc commander au moins $21$ m$^2$ de carrelage.
    $\quad$
  2. $\dfrac{21}{1,12}=18,75$ : Il doit donc commander $19$ paquets de carrelage.
    $\quad$
  3. $19\times 31=589$.
    L’achat du carrelage de sa cuisine coûtera $589$ euros.
    $\quad$
  4. $\quad$
    $\begin{array}{|l|l|l|l|}
    \hline
    \text{Matériaux}&\text{Quantité}&\begin{array}{l}\text{Montant unitaire}\\\text{Hors taxe}\end{array}&\begin{array}{l}\text{Montant total}\\\text{Hors taxe}\end{array} \\
    \hline
    \text{Sceau de colle}&3&12€&36€ \\
    \hline
    \begin{array}{l}\text{Sachet de}\\\text{croisillons}\end{array}&1&7€&7€\\
    \hline
    \begin{array}{l}\text{Sac de joint pour}\\\text{carrelage}\end{array}&2&22,5€&45€\\
    \hline
    &&\begin{array}{l}\text{TOTAL HORS}\\\text{TAXE}\end{array}&88€\\
    \hline
    &&\text{TVA} (20\%)&17,6€ \\
    \hline
    &&\begin{array}{l}\text{TOTAL TOUTES}\\\text{TAXES}\\\text{COMPRISES}\end{array}&105,6€\\
    \hline
    \end{array}$
    Détails des calculs
    $\bullet 88-(45+36)=7$
    $\bullet \dfrac{7}{7}=1$
    $\dfrac{45}{2}=22,5$
    $\bullet 0,2\times 88=17,6$
    $\bullet 88+17,6=105,6$

Énoncé

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