DNB – Centres étrangers – Juin 2023

Centres étrangers – Juin 2023

DNB maths – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

Partie A

  1. Réponse C: $120$°
    $\quad$
  2. On obtient la 3ème figure
    Réponse C
    $\quad$
  3. On obtient un hexagone
    Réponse B
    $\quad$

Partie B

  1. $\quad$
    $\begin{align*} \left(\dfrac{2}{3}-\dfrac{1}{3}\times \dfrac{7}{5}\right)\div \dfrac{4}{3}&=\left(\dfrac{2}{3}-\dfrac{7}{15}\right)\times \dfrac{3}{4} \\
    &=\left(\dfrac{10}{15}-\dfrac{7}{15}\right)\times \dfrac{3}{4} \\
    &=\dfrac{3}{15}\times \dfrac{3}{4}\end{align*}$
    Réponse C
    $\quad$
  2. $\quad$
    $\begin{align*} 302,4\times 10^{18}&=3,024\times 10^2\times 10^{18} \\
    &=3,024\times 10^{20}\end{align*}$
    Réponse B
    $\quad$
  3. La masse $18$g correspond à la plus grande masse.
    Quand on corrige cette masse en la remplaçant par $16$ g, il s’agit toujours de la plus grande masse.
    Par conséquent la médiane est inchangée.
    Réponse B
    $\quad$

 

 

Ex 2

Exercice 2

Partie A : Étude du toboggan

  1. Dans le triangle $DEF$ rectangle en $D$ on a
    $\begin{align*}\tan\widehat{DEF}&=\dfrac{DF}{DE} \\
    &=\dfrac{1,2}{2,04} \end{align*}$
    Par conséquent $\widehat{DEF}\approx 30,47$ °.
    Donc $\widehat{DEF}\approx 30$°.
    Le toboggan de cette est, par conséquent, sécurisé.
    $\quad$
  2. Dans le triangle $DEF$ rectangle en $D$ on applique le théorème de Pythagore.
    $\begin{align*} EF^2&=DE^2+DF^2 \\
    &=2,04^2+1,2^2\\
    &=5,601~6\end{align*}$
    Par conséquent $EF=\sqrt{5,601~6}$ soit $EF\approx 2,37$ m.
    $\quad$

Partie B : Étude de l’échelle

  1. $(AC)$ et $(MN)$ sont toutes les deux perpendiculaires à la droite $(BC)$.
    Elles sont donc parallèles entre elles.
    $\quad$
  2. Dans les triangles $ABC$ et $MNB$ :
    – $(MN)$ et $(AC)$ sont parallèles;
    – $M$ appartient à $[AB]$ et $N$ appartient à $[BC]$.
    D’après le théorème de Thalès :
    $\dfrac{BM}{BA}=\dfrac{BN}{BC}=\dfrac{MN}{AC}$
    ainsi $\dfrac{0,84}{1,2}=\dfrac{MN}{0,5}$
    donc $MN=\dfrac{0,84\times 0,5}{1,2}$
    par conséquent $MN=0,35$ m
    $\quad$

Partie C : Étude du bac à sable

  1. Le volume de ce bac à sable est :
    $\begin{align*} V&=200\times 180 \times 20\\
    &=720~000\text{ cm}^3\end{align*}$
    $\quad$
  2. On appelle $x$ le volume de sable fin. Ainsi le volume de sable à maçonner est égal à $\dfrac{3}{2}x$.
    Par conséquent $x+\dfrac{3}{2}x=0,72$
    C’est-à-dire $\dfrac{5}{2}x=0,72$
    Donc $x=\dfrac{2}{5}\times 0,72$ soit $x=0,288$
    Le volume de sable fin est bien égal à $0,288$ m$^3$ et celui de sable à maçonner est égal à $\dfrac{3}{2}\times 0,288=0,432$ m$^3$.
    $\quad$
  3. $\dfrac{0,432}{0,022}\approx 19,64$ : Il faut donc $20$ sacs à maçonner.
    $\dfrac{0,288}{0,016}=18$ : Il faut $18$ sacs de sable fin.
    Le coût total est donc :
    $\begin{align*} C&=20\times 2,95+18\times 5,95 \\
    &=166,10 \text{ €}\end{align*}$
    $\quad$

 

Ex 3

Exercice 3

  1. Avec le programme d’Amir on obtient successivement :
    $6\underset{+5}{\to}1\underset{\times 2}{\to}2$.
    Avec le programme de Sonia on obtient successivement :
    $6\underset{+3}{\to}9\underset{\times 6}{\to}54\underset{-16}{\to} 38$
    $\quad$
  2. a. On a écrit $=\left(\text{B1}-5\right)*2$ dans la cellule $\text{B2}$.
    $\quad$
    b. D’après la feuille de calcul, en prenant comme nombre de départ $2$ on obtient le même résultat avec les deux programmes.
    $\quad$
  3. a. Avec le programme de Sonia on obtient le nombre suivant :
    $\begin{align*} R&=(x+3)\times x-16 \\
    &=x^2+3x-16\end{align*}$
    $\quad$
    b. Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, un de ses facteurs au moins est nul.
    Donc, ici, $x-2=0$ ou $x+3=0$
    Par conséquent $x=2$ ou $x=-3$.
    Les solutions de l’équation sont $-3$ et $2$.
    Les deux programmes renvoient le même résultat si le nombre initial est $-3$ ou $2$.
    $\quad$.

 

 

Ex 4

Exercice 4

Partie A : étude du jeu

  1. a. Il y a $4$ boules rouges parmi les $4+3=7$ boules de l’urne.
    La probabilité de tirer une boule rouge est égale à $\dfrac{4}{7}$.
    $\quad$
    b. $3$ boules portent un numéro pair : la boule numérotée $2$ noires et les boules numérotées $2$ et $4$ rouges.
    La probabilité de tirer une boule dont le numéro est un nombre pair est égale à $\dfrac{3}{7}$.
    $\quad$
  2. Il y a $7\times 7=49$ combinaisons possibles.
    Les seules combinaisons gagnantes sont : $(1N,1R)$, $(2N,1R)$, $(3N,1R)$, $(1R,1N)$, $(1R,2N)$ et $(1R,3N)$ où $N$ désignent la couleur noire et $R$ la couleur rouge.
    La probabilité de gagner est donc égale à $\dfrac{6}{49}$.
    $\quad$

Partie B : constitution des lots

  1. $\dfrac{195}{3}=65$ et $\dfrac{234}{3}=78$.
    $195$ et $234$ sont donc divisibles par $3$.
    On peut faire $3$ lots.
    $\quad$
  2. $\quad$
    $\begin{align*} 195&=3\times 65\\
    &=3\times 5\times 13\end{align*}$
    $\quad$
  3. a. $3\times 13=39$ est donc le plus grand diviseur commun à $234$ et $195$.
    On peut donc constituer $39$ lots au maximum.
    $\quad$
    b. $\dfrac{234}{39}=6$ et $\dfrac{195}{39}=5$.
    Chaque lot contiendra donc $5$ figurines et $6$ autocollants.
    $\quad$

 

 

Ex 5

Exercice 5

  1. Étude du tarif proposé par la société A
    a.
    D’après le graphique, en louant le bateau pour $2$ heures on va payer $60$ euros.
    $\quad$
    b. D’après le graphique, avec un budget de $100$ €, on peut louer un bateau $3$ heures entières.
    $\quad$
    c. La courbe représentant le prix en fonction du la durée est une droite passant par l’origine du repère. Le prix est donc proportionnel à la durée de location.
    $\quad$
    d. Le coefficient de proportionnalité semble être égal à $\dfrac{60}{2}=30$.
    Ainsi une heure de location coûte $30$ €.
    Donc $10$ heures de location coûtent $30\times 10=300$ €.
    $\quad$
  2. Étude du tarif proposé par la société B
    a.
    En louant un bateau pour une durée de $2$ heures on paiera $60+15\times 2=90$ €.
    $\quad$
    b. $f$ est une fonction affine. Elle est donc représentée par une droite.
    $f(0)=60$ : la droite passe par le point de coordonnées $(0;60)$.
    $f(6)=15\times 6+60=150$ : la droite passe par le point de coordonnées $(6;150)$.
    On obtient le graphique suivant :
    $\quad$

    $\quad$
    c. $f$ est une fonction affine dont l’ordonnée à l’origine est non nulle. Le prix à payer n’est donc pas proportionnel à la durée de la location.
    $\quad$
  3. Comparaison des deux tarifs
    a.
    Avec le tarif A on va payer $3\times 30=90$ €.
    Avec le tarif B on va payer $15\times 3+60=105$ €.
    Le tarif A est donc le moins cher et on paiera donc $90$ €.
    $\quad$
    b. On appelle $x$ la durée de location.
    On cherche à résoudre l’équation :
    $30x=15x+60$ soit $15x=60$ et donc $x=\dfrac{60}{15}$ soit $x=4$.
    Le prix à payer est donc identique si on loue un bateau $4$ heures.
    $\quad$

 

Énoncé

L’évaluation prend en compte la clarté et la précision des raisonnements ainsi que, plus largement, la qualité de la rédaction. Elle prend en compte les essais et les démarches engagées, même non abouties. Toutes les réponses doivent être justifiées, sauf mention contraire.

Exercice 1     18 points

Cet exercice, en deux parties, est un questionnaire à choix multiples (QCM). Pour chaque question, parmi les réponses proposées, une seule est exacte. Recopier le numéro de la question et indiquer la
réponse choisie. Aucune justification n’est attendue ici.

Partie A

Dans cette partie, on s’intéresse au programme ci-dessous, composé d’un bloc « triangle équilatéral » et d’un script principal :

  1. On souhaite construire le triangle équilatéral ci-dessous. Le stylo est orienté à $90$° au départ comme ci-dessous.
    $\quad$

    $\quad$
    Compléter le script du bloc « triangle équilatéral » avec la valeur qui convient.
    $$\begin{array}{|c|c|c|}
    \hline
    \textbf{Réponse A}&\textbf{Réponse B}&\textbf{Réponse C}\\
    \hline
    60\text{ °}&100\text{ °}&120\text{ °}\\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$
  2. Parmi les trois figures, laquelle est obtenue avec le script principal ?
    $\quad$

    $\quad$
  3. Quel polygone obtient-on si on remplace dans le script principal, la boucle « répéter 2 fois » par une boucle « répéter $6$ fois » ?
    $$\begin{array}{|c|c|c|}
    \hline
    \textbf{Réponse A}&\textbf{Réponse B}&\textbf{Réponse C}\\
    \hline
    \text{ Un parallélogramme}&\text{Un hexagone}&\text{Un losange}\\
    \hline
    \end{array}$$

Partie B

$$\begin{array}{|l|c|c|c|}
\hline
\textbf{          Questions}&\textbf{Réponse A}&\textbf{Réponse B}&\textbf{Réponse C}\\
\hline
\textbf{1. } \left(\dfrac{2}{3}-\dfrac{1}{3}\times \dfrac{7}{5}\right)\div \dfrac{4}{3} =&\dfrac{3}{15}\times \dfrac{4}{3} &\left(\dfrac{1}{3}\times \dfrac{7}{5}\right)\div \dfrac{4}{3}&\dfrac{3}{15}\times \dfrac{3}{4}\\
\hline
\textbf{2. } \text{L’écriture scientifique de $302,4\times 10^{18}$ est :}&3,024\times 10^{16}&3,024\times 10^{20}&0,302~4\times 10^{21} \\
\hline
\textbf{3. } \text{On donne ci-dessous la masse de $8$ biscuits}\\
\text{   différents :} &&&\\\\
\text{   12 g ; 10 g ; 18 g ; 8 g ; 12 g ; 15 g ; 11 g ; 13 g}&&&\\
&\text{Plus petite.}&\text{La même.}&\text{Plus grande.}\\
\begin{array}{l}\text{   Suite à une erreur de mesure, le biscuit}\\
\text{   pesant 18 g pèse en fait 16 g.}\\
\text{   Une fois cette erreur corrigée, la valeur de}\\
\text{   la médiane sera : }\end{array}&&&\\
\hline
\end{array}$$
$\quad$

$\quad$

Exercice 2     24 points

Les 3 parties de cet exercice sont indépendantes et peuvent être traitées séparément.

Une famille souhaite installer dans son jardin la cabane ci-dessous. La partie inférieure de cette cabane, encadrée par des pointillés sur la photo, est modélisée par le schéma à droite :

On précise que :

  • $AB=1,3$ m;
  • $AC=0,5$ m
  • $BC=DF=1,2$ m;
  • $DE=2,04$ m;
  • Les triangles $ABC$, $BMN$ et $FDE$ sont rectangles.

Partie A : Étude du toboggan

  1. Pour que le toboggan soit sécurisé, il faut que l’angle $\widehat{DEF}$ mesure $30$ °, au degré près.
    Le toboggan de cette cabane est-il sécurisé ?
    $\quad$
  2. Montrer que la rampe du toboggan, $EF$, mesure environ $2,37$ m.$\quad$

Partie B : Étude de l’échelle

Pour consolider l’échelle, on souhaite ajouter une poutre supplémentaire $[MN]$, comme indiqué sur le modèle.

  1. Démontrer que les droites $(AC)$ et $(MN)$ sont parallèles.
    $\quad$
  2. On positionne cette poutre $[MN]$ telle que $BN = 0,84$ m. Calculer sa longueur $MN$.
    $\quad$

Partie C : Étude du bac à sable

Un bac à sable est installé sous la cabane. IL s’agit d’un pavé droit dont les dimensions sont données ci-dessous :

  • Longueur : $200$ cm
  • Largeur : $180$ cm
  • Hauteur : $20$ cm

  1. Calculer le volume de ce bac à sable en cm$^3$.
    $\quad$
  2. On admet que le volume du bac à sable est de $0,72$ m$^3$. On remplit entièrement ce bac avec un mélange de sable à maçonner et de sable fin dans le ratio $3 : 2$.
    Vérifier que le volume nécessaire de sable à maçonner est de $0,432$ m$^3$ et que celui de sable fin est de $0,288$ m$^3$.
    $\quad$
  3. Un magasin propose à l’achat le sable à maçonner et le sable fin, vendus en sac. D’après les indications ci-dessous, quel est le coût total du sable nécessaire pour remplir entièrement ce bac à sable sachant qu’on ne peut acheter que des sacs entiers ?
    $\quad$

    $\quad$

$\quad$

Exercice 3     15 points

Amir et Sonia ont chacun inventé un programme de calcul.

$\begin{array}{lll}
\hspace{1.5cm} \textbf{Programme d’Amir}&\phantom{123}&\hspace{2cm} \textbf{Programme de Sonia} \\
\bullet \text{ Choisir un nombre}&&\bullet \text{ Choisir un nombre}\\
\bullet \text{ Soustraire }5&&\bullet \text{ Ajouter }3\\
\bullet \text{ Prendre le double du résultat}&&\bullet \text{ Multiplier le résultat par le nombre choisi}\\
&&\bullet \text{ Soustraire }16\end{array}$

  1. Montrer que si le nombre choisi au départ est $6$ alors on obtient et on obtient $38$ avec celui de Sonia.
    $\quad$
  2. Amir et Sonia souhaitent savoir s’il existe des nombres choisis au départ pour lesquels les deux programmes renvoient le même résultat.
    Pour cela, ils complètent la feuille de calcul ci-dessous :
    $\quad$

    $\quad$
    Aucune justification n’est attendue pour les deux questions ci-dessous.
    a. Parmi les trois propositions suivantes, recopier sur votre copie la formule qui a été saisie dans la celle $\text{B2}$ avant d’être étirée vers la droite.
    $$\begin{array}{c|c|c}
    \text{=(B1 – 5)*2}&\text{=(-2-5)*2}&\text{=B1-5*2}\end{array}$$
    $\quad$
    b. En vous aidant de la feuille de calcul, quel nombre doivent-ils choisir pour obtenir des résultats égaux avec les deux programmes ?
    $\quad$
  3. Sonia et Amir souhaitent vérifier s’il existe d’autres nombres permettant d’obtenir des résultats égaux avec les deux programmes.
    Pour cela, ils décident d’appeler $x$ le nombre choisi au départ de chacun des programmes.
    a. Montrer que le résultat obtenu avec le programme de Sonia est donné par $x^2+3x-16$.
    $\quad$
    b. On admet que les programmes donnent le même résultat si on choisit comme nombre de départ les solutions de l’équation $(x-2)(x+3) = 0$.
    Résoudre cette équation et en déduire les valeurs pour lesquelles les deux programmes de calcul renvoient le même résultat.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 4     22 points

Des élèves organisent, pour leur classe, un jeu au cours duquel il est possible de gagner des lots. Pour cela, ils placent dans une urne trois boules noires numérotées de $1$ à $3$, et quatre boules rouges numérotées de $1$ à $4$, toutes indiscernables au toucher.

Partie A : étude du jeu

  1. On pioche au hasard une boule dans l’urne.
    a. Quelle est la probabilité de tirer une boule rouge ?
    $\quad$
    b. Quelle est la probabilité de tirer une boule dont le numéro est un nombre pair ?
    $\quad$
  2. Le jeu consiste à piocher, dans l’urne, une première boule, la remettre dans l’urne puis en piocher une seconde. Pour chacune des boules tirées, on note la couleur ainsi que le numéro.
    Pour gagner un lot, il faut tirer la boule rouge numérotée $1$ et une boule noire.
    Quelle est la probabilité de gagner ?
    $\quad$

Partie B : constitution des lots

Pour constituer les lots, on dispose de $195$ figurines et $234$ autocollants. Chaque lot sera composé de figurines ainsi que d’autocollants . Tous les lots sont identiques. Toutes les figurines et tous les autocollants doivent être utilisés.

  1. Peut-on faire $3$ lots ?
    $\quad$
  2. Décomposer $195$ en produit de facteurs premiers.
    $\quad$
  3. Sachant que la décomposition en produit de facteurs premiers de $234$ est :
    a. Combien de lots peut-on constituer au maximum ?
    $\quad$
    b. De combien de figurines et d’autocollants sera alors composé chaque lot ?
    $\quad$

$\quad$

Exercice 4     21 points

Pour se promener le long d’un canal, deux sociétés proposent une location de bateaux électriques. Les bateaux se louent pour un nombre entier .

  1. Étude du tarif proposé par la société A
    Pour la société A, le prix à payer en fonction de la durée de location en heure est donné par le graphique en ANNEXE.
    Répondre aux questions ci-dessous à l’aide du graphique. Aucune justification n’est attendue pour les questions a.et b.
    les questions a) et b).
    a. Quel prix va-t-on payer en louant un bateau pour $2$ heures ?
    $\quad$
    b. On dispose d’un budget de $100$ €, combien d’heures entières peut-on louer un bateau ?
    $\quad$
    c. Expliquer pourquoi le prix est proportionnel à la durée de location.
    $\quad$
    d. En déduire, à l ‘aide d’un calcul, le prix à payer pour une durée de location de $10$ heures.
    $\quad$
  2. Étude du tarif proposé par la société B
    La société B propose le tarif suivant : $60$ € de frais de dossier plus $15$ €par heure de location.
    a. Montrer qu’en louant un bateau pour une durée de $2$ heures, le prix à payer sera de $90$ €.
    $\quad$
    b. On désigne par $x$ le nombre d’heures de location. On appelle $f$ la fonction qui, au nombre d’heures de location, associe le prix, en euro, avec le tarif proposé par la société B.
    On admet que est $f$ définie par :  $f(x)=15x+60$.
    Sur le graphique donné en ANNEXE à rendre avec la copie, tracer la courbe représentative de la fonction $f$.
    $\quad$
    c. Le prix payé est-il proportionnel à la durée de location ?
    $\quad$
  3. Comparaison des deux tarifs
    a. On souhaite louer un bateau pour une durée de $3$ heures. Quelle société doit-on choisir pour avoir le tarif le moins cher ? Quel prix va-t-on payer dans ce cas ?
    $\quad$
    b. Pour quelle durée de location le prix payé est-il identique pour les deux sociétés ?
    $\quad$

Annexe

$\quad$