Exercice 1

1. $28=4\times 7=2^2\times 7$
   La première et la deuxième réponse contiennent des facteurs qui ne sont pas premiers
   Réponse C
   $\quad$
2. $58\times \left(1-\dfrac{20}{100}\right)=58\times 0,8=46,4$.
   Réponse B
   $\quad$
3. Dans le triangle $ABC$ rectangle en $A$ on a $\tan \widehat{ABC}=\dfrac{AC}{AB}$
   Soit $\tan 15=\dfrac{AC}{25}$ et donc $AC=25\tan 15 \approx 6,7$.
   Réponse B
   $\quad$
4. Tout d’abord on range les nombres dans l’ordre croissant : $2;3;5;6;8;12$.
   Cette série contient $6$ valeurs.
   $\dfrac{6}{2}=3$ : la médiane est donc la moyenne de la $3\ieme$ et $4\ieme$ valeur, c’est-à-dire $\dfrac{5+6}{2}=5,5$.
   Réponse A
   $\quad$
5. Le carré B est une réduction du carré A. Le rapport de l’homothétie est donc compris entre $-1$ et $1$.
   Dans la mesure où le carré B n’est pas “inclus” dans le carré A, cela signifie que le rapport est négatif.
   Il s’agit donc d’une homothétie de rapport $-0,5$ et de centre le sommet commun aux deux carrés.
   Réponse A
   $\quad$
   Remarque : La réponse B est aussi acceptable.
   Le graphique expliquant cette situation sera donné prochainement.
   $\quad$

Exercice 2

1. Voici les différentes étapes faites : $$1\underset{x^2}{\rightarrow}1\underset{+3}{\rightarrow} 4\underset{+2}{\rightarrow} 6$$
   En choisissant $1$ comme nombre de départ, le programme donne bien $6$ comme résultat.
   $\quad$
2. Voici les différentes étapes faites : $$-5\underset{x^2}{\rightarrow}25\underset{-15}{\rightarrow} 10\underset{+2}{\rightarrow} 12$$
   En choisissant $-5$ comme nombre de départ, le programme donne $12$ comme résultat.
   $\quad$
3. Voici les différentes étapes faites : $$x\underset{x^2}{\rightarrow}x^2\underset{+3x}{\rightarrow} x^2+3x\underset{+2}{\rightarrow} x^2+3x+2$$
   En choisissant $x$ comme nombre de départ, le programme donne bien $x^2+3x+2$ comme résultat.
   $\quad$
4. $(x+2)(x+1)=x^2+x+2x+2=x^2+3x+2$.
   Le résultat peut donc bien s’écrire $(x+2)(x+1)$.
   $\quad$
5. a. En $B2$ on a saisi la formule $=(B1+2)*(B1+1)$.
   $\quad$
   b. On veut donc déterminer les solutions de l’équation $(x+2)(x+1)=0$.
   Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, un de ses facteurs au moins est nul.
   Donc $x+2=0$ ou $x+1=0$
   soit $x=-2$ ou $x=-1$.
   Les valeurs de $x$ pour lesquelles le programme donne $0$ sont $-2$ et $-1$.
   $\quad$

Exercice 3

Partie I

1. Si $x=2$ alors $4x+1=8+1=9$.
   $\quad$
2. a. Le périmètre du rectangle est :
   $\begin{align*} P(x)&=2\times \left((4x+1,5)+(2x)\right) \\
   &=2(6x+1,5)\\
   &=12x+3\end{align*}$
   $\quad$
   b. On veut résoudre l’équation $12x+3=18$
   soit $12x=15$
   et donc $x=\dfrac{15}{12}$ ou encore $x=\dfrac{5}{4}$.
   $\quad$
3. Le périmètre du triangle est :
   $T(x)=3\times (4x+1)=12x+3=P(x)$.
   Le triangle et le rectangle ont donc le même périmètre pour toutes les valeurs de $x$.
   $\quad$

Partie B

Le premier script permet de tracer le rectangle et le second le triangle.
On peut choisir : $A=2$, $B=90$, $C=3$ et $D=120$.
$\quad$

 

Exercice 4

1. On obtient le tableau suivant :
   $$\begin{array}{|c|c|c|c|}
   \hline
   \textbf{Modèle}&\textbf{Pour la ville}&\textbf{Pour le sport}&\textbf{Total}\\
   \hline
   \textbf{Noir}&\color{blue}{15}&5&20\\
   \hline
   \textbf{Blanc}&7&\color{blue}{10}&\color{blue}{17}\\
   \hline
   \textbf{Marron}&\color{blue}{5}&3&\color{blue}{8}\\
   \hline
   \textbf{Total}&27&\color{blue}{18}&45\\
   \hline
   \end{array}$$
   Pour obtenir ces nombres on peut faire les calculs suivants :
   – $45-27=18$
   – $18-(5+3)=10$
   – $10+7=17$
   – $45-(20+17)=8$
   – $8-3=5$
   – $27-(7+5)=15$ et on vérifie que $15+5=20$.
   $\quad$
2. a. La probabilité de choisir un modèle de couleur noire est $\dfrac{20}{45}$ soit $\dfrac{4}{9}$.
   $\quad$
   b. La probabilité de choisir un modèle pour le sport est $\dfrac{18}{45}$ soit $0,4$.
   $\quad$
   c. La probabilité de choisit un modèle pour la ville de couleur marron est $\dfrac{5}{45}$ soit $\dfrac{1}{9}$.
   $\quad$
3. La probabilité de choisir un modèle de couleur noire dans le magasin B est $\dfrac{30}{54}$ soit $\dfrac{5}{9}$.
   Or $\dfrac{5}{9}>\dfrac{4}{9}$.
   On a donc plus de chance d’obtenir un modèle de couleur noire dans le magasin B.
   $\quad$

 

Exercice 5

1. Dans les triangles $OAB$ et $OCD$ on a :
   – $O$ appartient aux segments $[AD]$ et $[BC]$;
   – $\dfrac{OA}{OD}=\dfrac{36}{64}=0,562~5$ et $\dfrac{OB}{OC}=\dfrac{27}{48}=0,562~5$.
   Par conséquent $\dfrac{OA}{OD}=\dfrac{OB}{OC}$.
   D’après la réciproque du théorème de Thalès, les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont parallèles.
   $\quad$
2. On a de plus $\dfrac{OA}{OD}=\dfrac{OB}{OC}=\dfrac{AB}{CD}$
   Donc $\dfrac{AB}{80}=0,562~5$
   Par conséquent $AB=80\times 0,562~5=45$ cm.
   $\quad$
3. Le triangle $ACD$ est rectangle en $C$.
   Le point $O$ appartient au segment $[AD]$ donc $AD=AO+OD=100$ cm.
   D’après le théorème de Pythagore, on a alors :
   $AD^2=CD^2+AC^2$
   Soit $100^2=80^2+AC^2$
   d’où $1~000=6~400+AC^2$
   Par conséquent $AC^2=3~600$ et $AC=60$.
   $\quad$
   L’étagère est constituée de $4$ structure métallique et de $5$ plateaux en bois.
   Sa hauteur totale est donc
   $\begin{align*} h&=4\times AC+5\times 2 \\
   &=4\times 60+10\\
   &=240+10\\
   &=250 \text{ cm}\end{align*}$
   $\quad$

 

Exercice 6

1. Ce graphique n’est pas une droite. Il ne traduit donc pas une situation de proportionnalité.
   $\quad$
2. a. La randonné a duré $7$ heures.
   $\quad$
   b. La famille a parcouru au total $20$ km.
   $\quad$
   c. Au but de $6$ heures de marche la famille a parcouru $18$ km.
   $\quad$
   d. Les $8$ premiers kilomètres ont été parcouru au bout de $3$ heures.
   $\quad$
   e. Entre la $4\ieme$ et la $5\ieme$ heure de randonnée la famille a certainement décidé de faire une pause.
   $\quad$
3. La vitesse moyenne de cette famille est $v=\dfrac{20}{7}\approx 2,86$ km/h, ce qui est très inférieur à $4$ km/h.
   Cette famille n’est donc pas expérimentée.
   $\quad$

 

Exercice 7

Sur les $4$ mois, soit $122$ jours, d’utilisation la pompe va consommer $122\times 3,42 =417,24$ kWh.
Cela coûtera donc $417,24\times 0,15=62,586$ €.

Le volume d’eau contenu dans la piscine est :
$\begin{align*} V&=\pi\times \left(\dfrac{230}{2}\right)^2\times 65\\
&=1098500 \pi \text{ cm}^3\\
&=1,098~5\pi \text{ m}^3\end{align*}$
Cela coûtera donc $1,098~5\pi\times 2,03\approx 7,005$ €

Au final, cette piscine reviendra à $80+ 7,005+62,586=149,591$ €.

Le budget de $200$ € sera donc suffisant pour l’achat de cette piscine et les frais de fonctionnement.
$\quad$

Indications portant sur l’ensemble du sujet.
Toutes les réponses doivent être justifiées, sauf si une indication contraire est donnée.
Pour chaque question, si le travail n’est pas terminé, laisser tout de même une trace de la recherche ; elle sera prise en compte dans la notation.

Exercice 1     15 points

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM). Pour chaque question, une seule des trois réponses proposées est exacte. Sur la copie, indiquer le numéro de la question et recopier, sans justifier, la réponse choisie. Une bonne réponse rapporte 3 points ; aucun point ne sera enlevé en cas de mauvaise réponse.

1. Quelle est la décomposition en produit de facteurs premiers de $28$ ?
   A. $4\times 7$
   B. $2\times 14$
   C. $2^2\times 7$
   $\quad$
2. Un pantalon coûte $58$ €. Quel est son prix en € après une réduction de $20\%$ ?
   A. $38$
   B. $46,40$
   C. $57,80$
   $\quad$
3. Quelle est la longueur en m du côté $[AC]$, arrondie au dixième près ?
   
   A. $6,5$
   B. $6,7$
   C. $24,1$
   $\quad$
4. Quelle est la médiane de la série statistique suivante ?
   $2$ ; $5$ ; $3$ ; $12$ ; $8$ ; $6$.
   A. $5,5$
   B. $6$
   C. $10$
   $\quad$
5. Quel est le rapport de l’homothétie qui transforme le carré A en carré B ?
   
   A. $-0,5$
   B. $0,5$
   C. $2$
   $\quad$

$\quad$

Exercice 2     14 points

On considère le programme de calcul $$\begin{array}{|l|}
\hline
\bullet \quad \text{Choisir un nombre}\\
\bullet \quad \text{Prendre le carré de ce nombre}\\
\bullet \quad \text{Ajouter le triple du nombre de départ}\\
\bullet \quad \text{Ajouter }2\\
\hline
\end{array}$$

1. Montrer que si on choisit $1$ comme nombre de départ, le programme donne $6$ comme résultat.
   $\quad$
2. Quel résultat obtient-on si on choisit $-5$ comme nombre de départ ?
   $\quad$
3. On appelle $x$ le nombre de départ, exprimer le résultat du programme en fonction de $x$.
   $\quad$
4. Montrer que ce résultat peut aussi s’écrire sous la forme $(x+2)(x+1)$ pour toutes les valeurs de $x$.
   $\quad$
5. La feuille du tableur suivante regroupe des résultats du programme de calcul précédent.
   a. Quelle formule a été écrite dans la cellule $B2$ avant de l’étendre jusqu’à la cellule $J2$ ?
   $\quad$
   b. Trouver les valeurs de $x$ pour lesquelles le programme donne $0$ comme résultat.
   $\quad$

$\quad$

Exercice 3     16 points

Partie I

Dans cette partie, toutes les longueurs sont exprimées en centimètres.

On considère les deux figures ci-dessous, un triangle équilatéral et un rectangle, où $x$ représente un nombre positif quelconque.

1. Construire le triangle équilatéral pour $x = 2$.
   $\quad$
2. a. Démontrer que le périmètre du rectangle en fonction de $x$ peut s’écrire $12x + 3$.
   $\quad$
   b. Pour quelle valeur de $x$ le périmètre du rectangle est-il égal à $18$ cm ?
   $\quad$
3. Est-il vrai que les deux figures ont le même périmètre pour toutes les valeurs de $x$ ?
   Justifier.
   $\quad$

Partie II

On a créé les scripts (ci-dessous) sur Scratch qui, après avoir
demandé la valeur de $x$ à l’utilisateur, construisent les
deux figures de la partie I.

Dans ces deux scripts, les lettres $A$, $B$, $C$ et $D$ remplacent des nombres.

Donner des valeurs à $A$, $B$, $C$ et $D$ pour que ces deux scripts permettent de construire les figures de la partie I et préciser alors la figure associée à chacun des scripts.
$\quad$

$\quad$

Exercice 4     13 points

Dans la vitrine d’un magasin A sont présentés au total $45$ modèles de chaussures. Certaines sont conçues pour la ville, d’autres pour le sport et sont de trois couleurs différentes : noire, blanche ou marron.

1.  Compléter le tableau suivant sur l’annexe.
   $$\begin{array}{|c|c|c|c|}
   \hline
   \phantom{aa}\textbf{Modèle}\phantom{aa}& \textbf{Pour la ville}&\textbf{Pour le sport}&\phantom{aaa}\textbf{Total}\phantom{aaa}\\
   \hline
   \textbf{Noir}&& 5& 20\\
   \hline
   \textbf{Blanc}& 7&&\\
   \hline
   \textbf{Marron}&& 3&\\
   \hline
   \textbf{Total}& 27&& 45\\
   \hline
   \end{array}$$
   $\quad$
2. On choisit un modèle de chaussures au hasard dans cette vitrine.
   a. Quelle est la probabilité de choisir un modèle de couleur noire ?
   $\quad$
   b. Quelle est la probabilité de choisir un modèle pour le sport ?
   $\quad$
   c. Quelle est la probabilité de choisir un modèle pour la ville de couleur marron ?
   $\quad$
3. Dans la vitrine d’un magasin B, on trouve $54$ modèles de chaussures dont $30$ de couleur noire.
   On choisit au hasard un modèle de chaussures dans la vitrine du magasin A puis dans celle du magasin B.
   Dans laquelle des deux vitrines a-t-on le plus de chance d’obtenir un modèle de couleur noire ?
   Justifier.
   $\quad$

Annexe

$$\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline
\phantom{\dfrac{1}{1}}\textbf{Modèle}\phantom{\dfrac{1}{1}}& \textbf{Pour la ville}&\textbf{Pour le sport}&\phantom{aaa}\textbf{Total}\phantom{aaa}\\
\hline
\textbf{Noir}&\phantom{\dfrac{1}{1}}& 5& 20\\
\hline
\textbf{Blanc}& 7&\phantom{\dfrac{1}{1}}&\\
\hline
\textbf{Marron}&\phantom{\dfrac{1}{1}}& 3&\\
\hline
\textbf{Total}& 27&\phantom{\dfrac{1}{1}}& 45\\
\hline
\end{array}$$

$\quad$

Exercice 5     14 points

Dans l’exercice suivant, les figures ne sont pas à l’échelle.
Un décorateur a dessiné une vue de côté d’un meuble de rangement composé d’une structure métallique et de plateaux en bois d’épaisseur $2$ cm, illustré par la figure 1.

Les étages de la structure métallique de ce meuble de rangement sont tous identiques et la figure 2 représente l’un d’entre eux.

On donne :

• $OC = 48$ cm ; $OD = 64$ cm ; $OB = 27$ cm ; $OA = 36$ cm et $CD = 80$ cm ;
• les droites $(AC)$ et $(CD)$ sont perpendiculaires.

1. Démontrer que les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont parallèles.
   $\quad$
2. Montrer par le calcul que $AB = 45$ cm.
   $\quad$
3. Calculer la hauteur totale du meuble de rangement.
   $\quad$

$\quad$

Exercice 6     14 points

Une famille a effectué une randonnée en montagne. Le graphique ci-dessous donne la distance parcourue en km en fonction du temps en heures.

1. Ce graphique traduit-il une situation de proportionnalité ? Justifier la réponse.
   $\quad$
2. On utilisera le graphique pour répondre aux questions suivantes. Aucune justification n’est demandée.
   a. Quelle est la durée totale de cette randonnée ?
   $\quad$
   b. Quelle distance cette famille a-t-elle parcourue au total ?
   $\quad$
   c. Quelle est la distance parcourue au bout de 6 h de marche ?
   $\quad$
   d. Au bout de combien de temps ont-ils parcouru les 8 premiers km ?
   $\quad$
   e. Que s’est-il passé entre la $4\ieme$ et la $5\ieme$ heure de randonnée ?
   $\quad$
3. Un randonneur expérimenté marche à une vitesse moyenne de $4$ km/h sur toute la randonnée.
   Cette famille est-elle expérimentée ? Justifier la réponse.
   $\quad$

$\quad$

Exercice 7     14 points

Une famille désire acheter, pour les enfants, une piscine cylindrique hors sol équipée d’une pompe électrique. Elle compte l’utiliser cet été du mois de juin au mois de septembre inclus. Elle dispose d’un budget de $200$ €.
À l’aide des documents suivants, dire si le budget de cette famille est suffisant pour l’achat de cette piscine et les frais de fonctionnement.
Laisser toute trace de recherche, même si elle n’est pas aboutie.

Document 1

Caractéristiques techniques

• Hauteur de l’eau : $65$ cm.
• Consommation électrique moyenne de la pompe : $3,42$ kWh par jour.
• Prix (piscine + pompe) : $80$ €.

Document 2
Prix d’un kWh : $0,15$ €.
Le kWh (kilowatt-heure) est l’unité de mesure de l’énergie électrique.

Document 3
Prix d’un m$^3$ d’eau : $2,03$ €.

Document 4
Le volume d’un cylindre est donné par la formule suivante : $$V=\pi\times r^2\times h$$ où $r$ est le rayon du cylindre et $h$ sa hauteur.

$\quad$