Exercice 1

1. Les nombres possibles sont : $16$, $17$, $18$, $19$, $26$, $27$, $28$, $29$, $36$, $37$, $38$, $39$, $46$, $47$, $48$ et $49$.
   $\quad$
2. Sur les $16$ nombres possibles seuls $4$ sont supérieurs à $40$.
   La probabilité d’obtenir un nombre supérieur à $40$ est donc $p=\dfrac{4}{16}=0,25$.
   $\quad$
3. Les nombres qu’il est possible d’obtenir divisibles par $3$ sont :
   $18$, $27$, $36$, $39$ et $48$.
   La probabilité d’obtenir un nombre divisible par $3$ est donc égale à $\dfrac{5}{16}$.
   $\quad$

 

Exercice 2

1. Dans le triangle $TSR$ rectangle en $T$ on a :
   $\cos \widehat{TSR}=\dfrac{TS}{RS}=\dfrac{14}{28}=0,5$
   Donc $\widehat{TSR}=60$°.
   $\quad$
2. La somme des angles d’un triangle vaut $180$°. Donc $\widehat{TRS}=30$°.
   Dans le triangle $SPU$, pour la même raison $\widehat{PSU}=60$°.
   Ainsi les angles des triangles $TRS$ et $SUP$ sont égaux.
   Ces triangles sont donc semblables.
   $\quad$
3. Le coefficient de réduction est $k=\dfrac{SP}{ST}=\dfrac{10,5}{14}=0,75$.
   $\quad$
4. Ainsi $Su=0,75\times SR=21$ cm.
   $\quad$
5. L’angle $\widehat{TSP}$ est plat.
   Par conséquent $\widehat{KSL}=180-\widehat{TSR}-\widehat{USP}=60$°.
   La somme des angles d’un triangle est égale à $180$°.
   Par conséquent, dans le triangle $KLS$, on a $\widehat{KLS}=60$°.
   Tous les angles de ce triangles ont la même mesure.
   Par conséquent le triangle $SKL$ est équilatéral.
   $\quad$

Exercice 3

1. Vitesse moyenne de Marc : $v=\dfrac{400}{2}=200$ m/min
   Pour parcourir $1~000$ m Marc mettra $\dfrac{1~000}{200}=5$ min.
   L’échauffement de Marc dure donc $5$ minutes.
   $\quad$
2. $200$ m/min $ = 200\times \dfrac{0,001}{\dfrac{1}{60}}=12$ km/h.
   La vitesse moyenne de Marc est de $12$ km/h.
   $\quad$
3. Le périmètre de la piste est $P=2\times 90+70\pi\approx 399,91 \approx 400$ m. (ce qui confirme l’information donnée au début).
   Marc effectue un tour en $2$ min.
   Il repasse donc au point $A$ au bout de $2$ min, $4$ min, $6$ min, $8$ min, $10$ min.
   Jim effectue un tour en $1$ min $40$ s.
   Il repasse donc au point $A$ au bout de $1$ min $40$ s, $3$ min $20$ s, $5$ min, $6$ min $40$ s, $8$ min $20$ s, $10$ min.
   Ils se retrouvent donc tous les deux au point $A$ au bout de $10$ min.
   Marc a effectué $5$ tours et Jim $6$ tours.
   $\quad$

 

Exercice 4

1. On obtient le programme suivant :
   $\quad$
2. On a effectué une rotation de centre le sommet commun à tous les losanges (celui de coordonnées $(0;0)$) et d’angles $\dfrac{360}{12}=30$ °.
   $\quad$
3. Le programme 1 est associé à la figure B.
   Le programme 2 est associé à la figure C.
   Le programme 3 est associé à la figure A.
   $\quad$

 

 

Exercice 5

1. Voici les différents nombres obtenus au fur et à mesure du temps.
   $2\underset{+1}{\longrightarrow}3\underset{x^2}{\longrightarrow}9\underset{-2^2}{\longrightarrow}5$.
   Lorsqu’on choisit le nombre $2$ au départ, on obtient bien le nombre $5$ au final.
   $\quad$
2. Voici les différents nombres obtenus au fur et à mesure du temps quand on choisit le nombre $-3$ au départ.
   $-3\underset{+1}{\longrightarrow}-2\underset{x^2}{\longrightarrow}4\underset{-(-3)^2}{\longrightarrow}-5$.
   Lorsqu’on choisit le nombre $-3$ au départ, on obtient bien le nombre $-5$ au final.
3. Pour tout nombre $x$ on a :
   $\begin{align*} f(x)&=(x+1)^2-x^2\\
   &=(x+1)(x+1)-x^2\\
   &=x^2+x+x+1-x^2\\
   &=2x+1\end{align*}$
   $\quad$
4. Question 1. La fonction $f$ est une fonction affine. Elle est donc représentée par une droite.
   $f(2)=5$ La droite passe par le point de coordonnées $(2;5)$.
   Il s’agit donc de la représentation C.
   Réponse C
   $\quad$
   Question 2. Sur la représentation A, l’image de $1$ par la fonction représentée est $4$.
   Réponse A
   $\quad$
   Question 3. En utilisant la représentation B, l’antécédent de $3$ par la fonction représentée est $-1$.
   Réponse A
   $\quad$

 

 

Exercice 6

1. Dans les triangles $ABS$ et $EFS$ on a :
   – les droites $(AB)$ et $(EF)$ sont parallèles
   – Le point $E$ appartient au segment $[AS]$
   – Le point $F$ appartient au segment $[SB]$
   D’après le théorème de Thalès on a :
   $\dfrac{SE}{SA}=\dfrac{SF}{SB}=\dfrac{EF}{AB}$
   Puisque $B$ est le milieu de $[AC]$ on a $AB=\dfrac{AC}{2}=6$ cm et :
   $\dfrac{5}{20}=\dfrac{EF}{6}$
   Par conséquent $EF=\dfrac{6\times 5}{20}=1,5$ cm.
   $\quad$
2. Le volume de sauce est :
   $\begin{align*} V&=\dfrac{\pi \times EF^2\times SF}{3} \\
   &=\dfrac{1,5^2\times 5\pi}{3} \\
   &=\dfrac{15\pi}{4}\\
   &\approx 11,78\text{ cm}^3\end{align*}$
   $\quad$
3. Volume d’une bouteille de mayonnaise : $V_m=\pi\times 2,5^2\times 15=93,75\pi \approx 294,52$ cm$^3$
   $20\%$ des acheteurs prennent de la mayonnaise.
   Le volume de mayonnaise nécessaire est donc $V_1=400\times 0,2\times 11,78=942,4$ cm$^3$.
   Or $\dfrac{942,4}{294,52}\approx 3,2$.
   Il faudra donc $4$ bouteilles de mayonnaise.
   $\quad$
   $80\%$ des acheteurs prennent de la sauce tomate.
   Le volume de sauce tomate nécessaire est donc $V_2=400\times 0,8\times 11,78=3~769,6$ cm$^3$.
   Le volume d’une bouteille de sauce tomate est égal à $500$ mL soit $500$ cm$^3$.
   Or $\dfrac{3~769,6}{500} \approx 7,5$.
   Il faudra donc $8$ bouteilles de sauce tomate.
   $\quad$

Exercice 1     12 points

Mathilde fait tourner deux roues de loterie A et B comportant chacune quatre secteurs numérotés comme sur le schéma ci-dessous :

La probabilité d’obtenir chacun des secteurs d’une roue est la même. Les flèches indiquent les deux secteurs obtenus.
L’expérience de Mathilde est la suivante : elle fait tourner les deux roues pour obtenir un nombre à deux chiffres. Le chiffre obtenu avec la roue A est le chiffre des dizaines et celui avec la roue B est le chiffre des unités.
Dans l’exemple ci-dessus, elle obtient le nombre $27$ (Roue A : $2$ et Roue B : $7$).

1. Écrire tous les nombres possibles issus de cette expérience.
   $\quad$
2. Prouver que la probabilité d’obtenir un nombre supérieur à $40$ est $0,25$.
   $\quad$
3. Quelle est la probabilité que Mathilde obtienne un nombre divisible par $3$ ?
   $\quad$

$\quad$

Exercice 2     20 points

Données :
$TSR$ et $SPU$ sont des triangles rectangles respectivement en $T$ et en $P$.
$TS = 14$ cm
$SP = 10,5$ cm
$RS = 28$ cm
$\widehat{SKL} = 60$° ; $\widehat{SUP}= 30$°
Les points $T$, $S$ et $P$ sont alignés
Les points $R$, $K$ et $S$ sont alignés
Les points $S$, $L$ et $U$ sont alignés

1. Montrer que la mesure de l’angle $\widehat{TSR}$ est $60$°.
   $\quad$
2. Démontrer que les triangles $SRT$ et $SUP$ sont semblables.
   $\quad$
3. Déterminer le coefficient de réduction liant les triangles $SRT$ et $SUP$.
   $\quad$
4. Calculer la longueur $SU$.
   $\quad$
5. Quelle est la nature du triangle $SKL$ ? À justifier.
   $\quad$

$\quad$

Exercice 3     15 points

Marc et Jim, deux amateurs de course à pied, s’entraînent sur une piste d’athlétisme dont la longueur du tour mesure $400$ m.

Marc fait un temps moyen de $2$ minutes par tour.
Marc commence son entrainement par un échauffement d’une longueur d’un kilomètre.

1. Combien de temps durera l’échauffement de Marc ?
   $\quad$
2. Quelle est la vitesse moyenne de course de Marc en km/h ?
   $\quad$

À la fin de l’échauffement, Marc et Jim décident de commencer leur course au même point de départ A et vont effectuer un certain nombre de tours.
Jim a un temps moyen de $1$ minute et $40$ secondes par tour.
Le schéma ci-dessous représente la piste d’athlétisme de Marc et Jim constituée de deux segments $[AB]$ et $[CD]$ et de deux demi-cercles de diamètre $[AD]$ et $[BC]$.
(Le schéma n’est pas à l’échelle et les longueurs indiquées sont arrondies à l’unité.)

$ABCD$ est un rectangle
$AB = 90$ m et $AD = 70$ m

3. Calculer le temps qu’il faudra pour qu’ils se retrouvent ensemble, au même moment, et pour la première fois au point $A$.
   Puis déterminer combien de tours de piste cela représentera pour chacun d’entre eux.
   $\quad$
   Toute trace de recherche, même non aboutie, devra apparaître sur la copie. Elle sera prise en compte dans l’évaluation.
   $\quad$

$\quad$

Exercice 4     16 points

Pour occuper son petit frère, Lucie, qui aime bien l’informatique, décide de fabriquer des rosaces à colorier. Elle décide de partir d’un motif ayant la forme d’un losange.
A l’aide d’un logiciel de programmation assisté (type scratch), elle a représenté le motif suivant :

Il s’agit d’un losange dont les côtés ont pour longueur $50$ pixels et dont les angles aigus mesurent $30$°et les angles obtus $150$°.
Afin de représenter ce losange, elle a écrit le programme suivant :

1. Compléter dans l’annexe jointe le programme ci-dessus en remplaçant les pointillés par les bonnes valeurs pour que le losange soit dessiné tel qu’il est défini.
   $\quad$
2. En utilisant le losange ci-dessus, elle obtient la rosace suivante qui n’est pas en vraie grandeur :
   
   Quelle transformation géométrique, partant du premier losange $ABCD$ et répétée $12$ fois, a été utilisée pour obtenir cette figure ? Définir le mieux que vous pouvez cette transformation.
   $\quad$
3. Pour finir, Lucie souhaite encore compléter cette rosace de trois façons différentes. Pour cela trois programmes ont été effectués.
   Recopier sur votre copie le numéro des trois programmes, et pour chacun, la lettre de la figure qui lui est associée.
   
   Pour plus de lisibilité, le losange initial a été grisé.
   $\quad$

Annexe

Question 1
Compléter le programme ci-dessous en remplaçant les pointillés par les bonnes valeurs pour que le losange soit dessiné tel qu’il est défini.

$\quad$

Exercice 5     15 points

On donne le programme de calcul suivant :

• Choisir un nombre
• Ajouter $1$
• Élever le résultat au carré
• Soustraire au résultat le carré du nombre de départ

1. Montrer que lorsqu’on choisit le nombre $2$ au départ, on obtient le nombre $5$ au final.
   $\quad$
2. Quel résultat obtient-on lorsqu’on choisit au départ le nombre $-3$ ?
   $\quad$
3. On définit une fonction $f$ qui, à tout nombre $x$ choisi à l’entrée du programme, associe le résultat obtenu à la fin de ce programme.
   $\quad$
   $\hspace{2cm}$ Ainsi, pour tout x,on obtient $f(x) = (x+1)2-x^2$
   $\quad$
   Montrer que $f(x)=2x+1$.
   $\quad$
4. Cette question est un questionnaire à choix multiples (QCM).
   Dans chaque cas, une seule réponse est correcte. Pour chacune des questions, écrire sur la copie le numéro de la question et la bonne réponse.
   Aucune justification n’est demandée
   Question 1
   La représentation graphique de la fonction $f$ est :
   A. La représentation A
   B. La représentation B
   C. La représentation C
   
   $\quad$
   Question 2
   En utilisant la représentation A, l’image de $1$ par la
   fonction représentée est :
   A. $4$
   B. $-2$
   C. $0$
   $\quad$
   Question 3
   En utilisant la représentation B, l’antécédent de $3$
   par la fonction représentée est :
   A. $-1$
   B. $-5$
   C. $2$
   $\quad$

$\quad$

Exercice 6     22 points

Dans le village de Jean, une brocante est organisée chaque année lors du premier week-end de juillet.
Jean s’est engagé à s’occuper du stand de vente de frites. Pour cela, il fabrique des cônes en papier qui lui serviront de barquette pour les vendre.
Dans le fond de chaque cône, Jean versera de la sauce : soit de la mayonnaise, soit de la sauce tomate

Il décide de fabriquer $400$ cônes en papier et il doit estimer le nombre de bouteilles de mayonnaise et de sauce tomate à acheter pour ne pas en manquer.
Voici les informations dont Jean dispose pour faire ses calculs :

La sauce sera versée dans le fond du cône jusqu’au cercle de diamètre $[EG]$.

Le cône de frites :

Le schéma et les mesures de Jean :

$B$ est le milieu de $[AC]$
$F$ est le milieu de $[EG]$
$BS = 20$ cm; $FS = 5$ cm; $AC= 12$ cm

Les acheteurs :
$80 \%$ des acheteurs prennent de la sauce tomate et tous les autres prennent de la mayonnaise.

Les sauces :
La bouteille de mayonnaise est assimilée à un cylindre de révolution dont le diamètre de base est $5$ cm et la hauteur est $15$ cm.
La bouteille de sauce tomate a une capacité de $500$ mL.

1. Montrer que le rayon $[EF]$ du cône de sauce a pour mesure $1,5$ cm.
   $\quad$
2. Montrer que le volume de sauce pour un cône de frites est d’environ $11,78$ cm$^3$.
   $\quad$
3. Déterminer le nombre de bouteilles de chaque sauce que Jean devra acheter.
   Toute trace de recherche même non aboutie devra apparaître sur la copie.
   

Rappels :
Volume d’un cône de révolution : $\dfrac{\pi \times \text{rayon}^2\times \text{hauteur}}{3}$
Volume d’un cylindre de révolution : $\pi \times \text{rayon}^2\times \text{hauteur}$
$1~000$ cm$^3$ $=1$ Litre

$\quad$