DNB – Métropole Antilles Guyane – Septembre 2018

Métropole – Antilles Guyane – Septembre 2018

DNB – Mathématiques – Correction

L’énoncé de ce sujet de brevet est disponible ici :

Ex 1

Exercice 1

Partie 1

  1. $32$ participants sur les $80$ sont des femmes.
    La proportion de femmes participant à la course est $\dfrac{32}{80}=\dfrac{2}{5}=0,4$.
    $40\%$ des participants sont dons des femmes.
    $\quad$
  2. a. $p(V)=\dfrac{48}{80}=\dfrac{3}{5}=0,6$.
    $\quad$
    b. $3$ femmes et $4$ hommes ont un dossard dont le numéro est un multiple de $10$.
    Ainsi $p(M)=\dfrac{3+4}{80}=\dfrac{7}{80}$.
    $\quad$
    c. Parmi les $32$ femmes $3$ ont un numéro de dossard qui est un multiple de $10$.
    La probabilité cherchée est donc $\dfrac{3}{32}$.
    $\quad$

Partie 2

  1. La série contient $20$ valeurs. Dans la liste des valeurs ordonnées dans l’ordre croissant, la médiane est la médiane de le $19\ieme$ et $20\ieme$ valeur.
    Ainsi la médiane est $m=\dfrac{1979+1981}{2}=1980$.
    $\quad$
  2. On a pu saisir $=somme(B2:B21)/20$
    $\quad$
  3. On considère la série $1959 \quad 1959 \quad 1962$.
    La médiane de cette série est $1959$ tandis que sa moyenne est $\dfrac{1959+1959+1962}{3}=1960$.
    La moyenne et la médiane d’une série ne sont donc pas toujours égales.
    $\quad$

Ex 2

Exercice 2

  1. $\quad$
    $\begin{align*} 588&=22\times 3\times 72 \\
    &=2\times 11\times 3\times 2^3\times 3^2 \\
    &=2^4\times 3^3\times 11
    \end{align*}$
    Les diviseurs premiers de $588$ sont donc $2$;$3$ et $11$.
    $\quad$
  2. a.
    $\begin{align*} 27~000~000&=27\times 10^6 \\
    &=3^3\times (2\times 5)^6 \\
    &=3^3\times 2^6\times 5^6
    \end{align*}$
    $\quad$
    b. Les diviseurs premiers de $27~000~000$ sont donc $2$; $3$ et $5$.
    $\quad$
  3. Les trois plus petits nombres premiers sont $3$; $5$ et $7$.
    Le nombre cherché est donc $3\times 5\times 7=105$.
    $\quad$

 

Ex 3

Exercice 3

  1. Bob  parcouru $10,5$ km en $1$h $03$min soit $1+\dfrac{3}{60}$h.
    Sa vitesse moyenne est donc $v=\dfrac{10,5}{1+\dfrac{3}{60}}=10$ km/h.
    $\quad$
  2. a. On a $f(1)=\dfrac{60}{1}=60$ et $f(2)=\dfrac{60}{2}=30$.
    On a $2=2\times 1$ mais $f(2)=30 \neq 2\times f(1)$.
    La fonction $f$ n’est donc pas linéaire.
    $\quad$
    b. $f(5)=\dfrac{60}{5}=12$.
    La vitesse de Bob était donc de $12$ km/h lors de sa dernière course.
    $\quad$
  3. a. D’après le graphique, un antécédent de $10$ par la fonction $f$ est $6$.
    $\quad$
    b. D’après le graphique si un pièton se déplace à environ $14$ min/km alors sa vitesse est d’environ $4,25$ km/h.
    $\quad$

 

Ex 4

Exercice 4

  1. On a donc le tableau de proportionnalité suivant :
    $\begin{array}{|l|c|c|}
    \hline
    \text{masse en mg}&100&75~000~000\\
    \hline
    \text{charge en mg}&80&x\\
    \hline
    \end{array}$
    Ainsi $x=\dfrac{80\times 75~000~000}{100}=60~000~000$ mg $=60$ kg.
    $\quad$
  2. a. Le volume du prisme est $V=23\times 11,5=264,5$ mm$^3$ (il fallait convertir $1,15$ cm en mm).
    $\quad$
    b. $6\times 10^{-5}$ litre $=6\times 10^{-5}\times 10^6$ mm$^3$ soit $60$ mm$^3$.
    Or $\dfrac{264,5}{60} \approx 4,4$.
    L’abeille devra donc faire au minimum $5$ sorties pour remplir une alvéole.
    $\quad$
  3. a. $3~965+1~869+4~556+5~709=16~099$.
    $16~099$ tonnes de miel ont été récoltées en 2016.
    $\quad$
    b. On appelle $x$ le pourcentage de baisse cherché.
    Ainsi :
    $\begin{align*} 24~224\times \left(1-\dfrac{x}{100}\right)=16~099 &\ssi 1-\dfrac{x}{100}=\dfrac{16~099}{24~224} \\
    &\ssi -\dfrac{x}{100}= \dfrac{16~099}{24~224} -1\\
    &\ssi x=-100\times \left(\dfrac{16~099}{24~224} -1\right) \end{align*}$
    Par conséquent $x \approx 33,5$.
    On constate donc une baisse d’environ $33,5\%$ de la récolte de miel.
    $\quad$

Ex 5

Exercice 5

  1. On obtient le bloc suivant :
  2. À l’issue de l’exécution du programme le point d’arrivée à pour coordonnées $(0;0)$ et on est orienté vers la droite.
    $\quad$
  3. a. On obtient le nouveau script suivant :

    b. À la fin de l’exécution du script voici les nouvelles valeurs des variables :
    Longueur : $50\times 1,3=65$
    Largeur : $30\times 1,3=39$
    $\quad$

Ex 6

Exercice 6

  1. Si le nombre de départ est $1$ alors :
    – le premier chemin nous fournit le nombre : $2\times 1-5=-3$
    – le second chemin nous fournit le nombre $3\times 1+2=5$.
    On obtient donc finalement le nombre $-3\times 5= -15$
    $\quad$
  2. Si le nombre de départ est $x$ alors :
    – le premier chemin nous fournit le nombre : $2\times x-5=2x-5$
    – le second chemin nous fournit le nombre $3\times x+2=3x+2$.
    On obtient donc finalement le nombre $(2x-5)\times (3x+2)$
    Réponse B
    $\quad$
  3. D’une part on a :
    $(2x-5)\times (3x+2)=6x^2+4x-15x-10=6x^2-11x-10$
    D’autre part on a :
    $\begin{align*} D&=(3x+2)^2-(x+7)(3x+2) \\
    &=(3x)^2+2\times 2\times 3x+2^2-\left(3x^2+2x+21x+14\right) \\
    &=9x^2+12x+4-\left(3x^2+23x+14\right) \\
    &=6x^2-11x-10
    \end{align*}$
    L’expression $D$ fournit donc bien le même résultat que $(2x-5)\times (3x+2)$. L’affirmation de Lily est par conséquent vraie.
    $\quad$

Ex 7

Exercice 7

  1. Dans le triangle $DEF$ rectangle en $E$ on applique le théorème de Pythagore.
    $DF^2=DE^2+EF^2$
    soit $3~800^2=DE^2+3~790^2$
    donc $DE^2=3~800^2-3~790^2$
    Par conséquent $DE^2=75~900$ et $DE=\sqrt{75~900} \approx 275,5$ m.
    $\quad$
  2. Dans le triangle $FGH$ rectangle en G on a :
    $\sin 12=\dfrac{HG}{FH}$
    Donc $HG=FH \times \sin 12=4~100 \times \sin 12 \approx 852,4$ m
    Le dénivelé de la seconde étape est donc d’environ $825,4$ m.
    $\quad$
  3. $48$ min $=\dfrac{48}{60}$ h $=0,8$ h
    On a donc
    $\begin{align*} V_a&=\dfrac{EF+HG}{0,8} \\
    &=\dfrac{\sqrt{75~900}+4~100\sin 12}{0,8} \\
    &\approx 1~410 \\
    &> 1~400
    \end{align*}$
    Le coureur atteint donc son objectif.
    $\quad$
    Remarque : dans le calcul de $V_a$ on pouvait également utiliser les valeurs approchées trouvées aux questions précédentes mais elles ont le défaut de n’être que des valeurs approchées et non des valeurs exactes.
    $\quad$

Énoncé

Indications portant sur l’ensemble du sujet :

Toutes les réponses doivent être justifiées, sauf si une indication contraire est donnée.
Pour chaque question, si le travail n’est pas terminé, laisser tout de même une trace de la recherche; elle sera prise en compte dans la notation.

Exercice 1     20 points

Partie 1

On s’intéresse à une course réalisée au début de l’année 2018. Il y a $80$ participants, dont $32$ femmes et $48$ hommes.
Les femmes portent des dossards rouges numérotés de $1$ à $32$. Les hommes portent des dossards verts numérotés de $1$ à $48$.
Il existe donc un dossard n° $1$ rouge pour une femme, et un dossard n° $1$ vert pour un homme, et ainsi de suite …

  1. Quel est le pourcentage de femmes participant à la course ?
    $\quad$
  2. Un animateur tire au hasard le dossard d’un participant pour remettre un prix de consolation.
    a. Soit l’événement $V$ : « Le dossard est vert ». Quelle est la probabilité de l’événement $V$ ?
    $\quad$
    b. Soit l’événement $M$ : « Le numéro du dossard est un multiple de $10$ ». Quelle est la probabilité de l’événement $M$ ?
    $\quad$
    c. L’animateur annonce que le numéro du dossard est un multiple de $10$. Quelle est alors la probabilité qu’il appartienne à une femme ?
    $\quad$

Partie 2

À l’issue de la course, le classement est affiché ci-dessous.
On s’intéresse aux années de naissance des $\boldsymbol{20}$ premiers coureurs.

  1. On a rangé les années de naissance des coureurs
    dans l’ordre croissant :
    $$\begin{array}{ccccccccc} 1959&\hspace{0.5cm}& 1959&\hspace{0.5cm}& 1960&\hspace{0.5cm}& 1966&\hspace{0.5cm}& 1969\\
    1970&& 1972&& 1972&& 1974&& 1979\\
    1981&&1983&& 1986&& 1988&& 1989\\
    1993& &1997&& 1998&& 2002&& 2003\end{array}$$
    Donner la médiane de la série.
    $\quad$
  2. La moyenne de la série a été calculée dans la cellule $B23$.
    Quelle formule a été saisie dans la cellule $B23$ ?
    $\quad$
  3. Astrid remarque que la moyenne et la médiane de
    cette série sont égales.
    Est-ce le cas pour n’importe quelle autre série statistique ?
    Expliquer votre réponse.
    $\quad$

Exercice 2     11 points

  1. Le nombre $588$ peut se décomposer sous la forme $588 = 2^2 ×3×7^2$.
    Quels sont ses diviseurs premiers, c’est-à-dire les nombres qui sont à la fois des nombres premiers et des diviseurs de $588$ ?
    $\quad$
  2. a. Déterminer la décomposition en facteurs premiers de $27~000~000$.
    $\quad$
    b. Quels sont ses diviseurs premiers ?
    $\quad$
  3. Déterminer le plus petit nombre entier positif impair qui admet trois diviseurs premiers différents. Expliquer votre raisonnement.
    $\quad$

Exercice 3     13 points

Après un de ses entraînements de course à pied, Bob reçoit de la part de son entraîneur le récapitulatif de sa course, reproduit ci-dessous. $$\begin{array}{|l|}
\hline
\text{Entraînement course à pied}\\
\begin{array}{ccc}
\boldsymbol{10,5\text{ km}}&\boldsymbol{1\text{ h }03\text{ min}}&\boldsymbol{6\text{ min/km}}\\
\text{distance}&\text{Durée}&\text{Allure moyenne}\end{array}\\
\\
\hspace{2cm}\begin{array}{cc}
\boldsymbol{851}&\boldsymbol{35\text{ m}}\\
\text{calories}&\text{Gain altitude}\end{array}\\
\hline
\end{array}$$
L’allure moyenne du coureur est le quotient de la durée de la course par la distance parcourue et s’exprime en min/km.

Exemple : si Bob met $18$ min pour parcourir $3$ km, son allure est de $6$ min/km.

  1. Bob s’étonne de ne pas voir apparaître sa vitesse moyenne. Calculer cette vitesse moyenne en km/h.
    $\quad$
  2. Soit $f$ la fonction définie pour tout $x > 0$ par $f(x) =\dfrac{60}{x}$, où $x$ est l’allure en min/km et $f(x)$ est la vitesse en km/h.
    Cette fonction permet donc de connaître la vitesse (en km/h) en fonction de l’allure (en min/km).
    a. La fonction $f$ est-elle une fonction linéaire ? Justifier.
    $\quad$
    b. Lors de sa dernière course, l’allure moyenne de Bob était de $5$ min/km.
    Calculer l’image de $5$ par $f$ . Que représente le résultat obtenu ?
    $\quad$
  3. Répondre aux questions suivantes en utilisant la représentation graphique de la fonction $f$ ci-dessous :
    a. Donner un antécédent de $10$ par la fonction $f$ .
    $\quad$
    b. Un piéton se déplace à environ $14$ min/km. Donner une valeur approchée de sa vitesse en km/h.
    $\quad$

Exercice 4     17 points

Les abeilles ouvrières font des allers-retours entre les fleurs et la ruche pour transporter le nectar et le pollen des fleurs qu’elles stockent dans la ruche.

  1. Une abeille a une masse moyenne de $100$ mg et rapporte en moyenne $80$ mg de charge (nectar, pollen) à chaque voyage.
    Un homme a une masse de $75$ kg. S’il se chargeait proportionnellement à sa masse, comme une abeille, quelle masse cet homme transporterait-il ?
    $\quad$
  2. Quand elles rentrent à la ruche, les abeilles déposent le nectar récolté dans des alvéoles.
    On considère que ces alvéoles ont la forme d’un prisme de $1,15$ cm de hauteur et dont la base est un hexagone d’aire $23$ mm$^2$ environ, voir la figure ci-dessous.
    a. Vérifier que le volume d’une alvéole de ruche est égal à $264,5$ mm$^3$.

    Le volume d’un prisme est donnée par la formule : $V_{prisme}=Aire_{Base}\times Hauteur$
    $\quad$
    b. L’abeille stocke le nectar dans son jabot. Le jabot est une petite poche sous l’abdomen d’un volume de $6\times 10^{-5}$ litre. Combien de sorties au minimum l’abeille doit-elle faire pour remplir une alvéole ?
    (rappel : $1$ dm$^3$ = $1$ litre)
    $\quad$
  3. Le graphique ci-dessous présente la production française de miel en 2015 et 2016.

    Source : Observatoire de la production de miel et gelée royale FranceAgriMer 2017
    $\quad$
    a. Calculer la quantité totale de miel (en tonnes) récoltée en 2016.
    $\quad$
    b. Sachant que la quantité totale de miel récoltée en 2015 est de $24~224$ tonnes, calculer le pourcentage de baisse de la récolte de miel entre 2015 et 2016.
    $\quad$

Exercice 5     15 points

Sam a écrit le programme ci-dessous qui permet de tracer un rectangle comme ci-dessous.


Ce programme comporte deux variables (Longueur) et (Largeur) qui représentent les dimensions du rectangle.

On rappelle que l’instruction signifie quel’on s’oriente vers la droite.

  1. Compléter le bloc rectangle ci-dessus avec des nombres et des variables pour que le script fonctionne.
    On recopiera et on complétera uniquement la boucle répéter sur sa copie.
    $\quad$
  2. Lorsque l’on exécute le programme, quelles sont les coordonnées du point d’arrivée et dans quelle direction est-on orienté ?
    $\quad$
  3. Sam a modifié son script pour tracer également l’image du rectangle par l’homothétie de centre le point de coordonnées $(0; 0)$ et de rapport $1,3$.

    a.
    Compléter le nouveau script de Sam donné ci-dessus afin d’obtenir la figure ci-dessous. On recopiera et on complétera sur sa copie les lignes 9 et 10 ainsi que l’instruction manquante en ligne 11.
    $\quad$
    b.
    Sam exécute son script. Quelles sont les nouvelles valeurs des variables Longueur et Largeur à la fin de l’exécution du script ?
    $\quad$

Exercice 6     12 points

La figure ci-dessous donne un schéma d’un programme de calcul.

  1. Si le nombre de départ est 1, montrer que le résultat obtenu est $-15$.
    $\quad$
  2. Si on choisit un nombre quelconque $x$ comme nombre de départ, parmi les expressions suivantes, quelle est celle qui donne le résultat obtenu par le programme de calcul ? Justifier.
    $A =\left(x^2-5\right)\times (3x+2)$ $\quad$ $B=(2x-5)(3x+3)$ $\quad$ $C=2x-5\times 3x+2$
    $\quad$
  3. Lily prétend que l’expression $D=(3x +2)^2-(x +7)(3x +2)$ donne les mêmes résultats que l’expression $B$ pour toutes les valeurs de $x$.
    L’affirmation de Lily est-elle vraie ? Justifier.
    $\quad$

Exercice 7     12 points

Pour la course à pied en montagne, certains sportifs mesurent leur performance par la vitesse ascensionnelle, notée $V_a$.
$V_a$ est le quotient du dénivelé de la course, exprimé en mètres, par la durée, exprimée en heure.

 

Rappel : le dénivelé de la course est la différence entre l’altitude à l’arrivée et l’altitude au départ.

Un coureur de haut niveau souhaite atteindre une vitesse ascensionnelle d’au moins $1~400$ m/h lors de sa prochaine course.

La figure ci-dessous n’est pas représentée en vraie grandeur.

Le parcours se décompose en deux étapes (voir figure 2) :

  •  Première étape de $3~800$ m pour un déplacement horizontal de $3~790$ m.
  • Seconde étape de $4,1$ km avec un angle de pente d’environ $12$°.
  1. Vérifier que le dénivelé de la première étape est environ $275,5$ m.
    $\quad$
  2. Quel est le dénivelé de la seconde étape ?
    $\quad$
  3. Depuis le départ, le coureur met $48$ minutes pour arriver au sommet.
    Le coureur atteint-il son objectif ?
    $\quad$