DNB – Métropole Antilles Guyane – Septembre 2018

Métropole – Antilles Guyane – Septembre 2018

DNB – Mathématiques – Correction

L’énoncé de ce sujet de brevet est disponible ici :

Ex 1

Exercice 1

Partie 1

  1. $32$ participants sur les $80$ sont des femmes.
    La proportion de femmes participant à la course est $\dfrac{32}{80}=\dfrac{2}{5}=0,4$.
    $40\%$ des participants sont dons des femmes.
    $\quad$
  2. a. $p(V)=\dfrac{48}{80}=\dfrac{3}{5}=0,6$.
    $\quad$
    b. $3$ femmes et $4$ hommes ont un dossard dont le numéro est un multiple de $10$.
    Ainsi $p(M)=\dfrac{3+4}{80}=\dfrac{7}{80}$.
    $\quad$
    c. Parmi les $32$ femmes $3$ ont un numéro de dossard qui est un multiple de $10$.
    La probabilité cherchée est donc $\dfrac{3}{32}$.
    $\quad$

Partie 2

  1. La série contient $20$ valeurs. Dans la liste des valeurs ordonnées dans l’ordre croissant, la médiane est la médiane de le $19\ieme$ et $20\ieme$ valeur.
    Ainsi la médiane est $m=\dfrac{1979+1981}{2}=1980$.
    $\quad$
  2. On a pu saisir $=somme(B2:B21)/20$
    $\quad$
  3. On considère la série $1959 \quad 1959 \quad 1962$.
    La médiane de cette série est $1959$ tandis que sa moyenne est $\dfrac{1959+1959+1962}{3}=1960$.
    La moyenne et la médiane d’une série ne sont donc pas toujours égales.
    $\quad$

Ex 2

Exercice 2

  1. $\quad$
    $\begin{align*} 588&=22\times 3\times 72 \\
    &=2\times 11\times 3\times 2^3\times 3^2 \\
    &=2^4\times 3^3\times 11
    \end{align*}$
    Les diviseurs premiers de $588$ sont donc $2$;$3$ et $11$.
    $\quad$
  2. a.
    $\begin{align*} 27~000~000&=27\times 10^6 \\
    &=3^3\times (2\times 5)^6 \\
    &=3^3\times 2^6\times 5^6
    \end{align*}$
    $\quad$
    b. Les diviseurs premiers de $27~000~000$ sont donc $2$; $3$ et $5$.
    $\quad$
  3. Les trois plus petits nombres premiers sont $3$; $5$ et $7$.
    Le nombre cherché est donc $3\times 5\times 7=105$.
    $\quad$

 

Ex 3

Exercice 3

  1. Bob  parcouru $10,5$ km en $1$h $03$min soit $1+\dfrac{3}{60}$h.
    Sa vitesse moyenne est donc $v=\dfrac{10,5}{1+\dfrac{3}{60}}=10$ km/h.
    $\quad$
  2. a. On a $f(1)=\dfrac{60}{1}=60$ et $f(2)=\dfrac{60}{2}=30$.
    On a $2=2\times 1$ mais $f(2)=30 \neq 2\times f(1)$.
    La fonction $f$ n’est donc pas linéaire.
    $\quad$
    b. $f(5)=\dfrac{60}{5}=12$.
    La vitesse de Bob était donc de $12$ km/h lors de sa dernière course.
    $\quad$
  3. a. D’après le graphique, un antécédent de $10$ par la fonction $f$ est $6$.
    $\quad$
    b. D’après le graphique si un pièton se déplace à environ $14$ min/km alors sa vitesse est d’environ $4,25$ km/h.
    $\quad$

 

Ex 4

Exercice 4

  1. On a donc le tableau de proportionnalité suivant :
    $\begin{array}{|l|c|c|}
    \hline
    \text{masse en mg}&100&75~000~000\\
    \hline
    \text{charge en mg}&80&x\\
    \hline
    \end{array}$
    Ainsi $x=\dfrac{80\times 75~000~000}{100}=60~000~000$ mg $=60$ kg.
    $\quad$
  2. a. Le volume du prisme est $V=23\times 11,5=264,5$ mm$^3$ (il fallait convertir $1,15$ cm en mm).
    $\quad$
    b. $6\times 10^{-5}$ litre $=6\times 10^{-5}\times 10^6$ mm$^3$ soit $60$ mm$^3$.
    Or $\dfrac{264,5}{60} \approx 4,4$.
    L’abeille devra donc faire au minimum $5$ sorties pour remplir une alvéole.
    $\quad$
  3. a. $3~965+1~869+4~556+5~709=16~099$.
    $16~099$ tonnes de miel ont été récoltées en 2016.
    $\quad$
    b. On appelle $x$ le pourcentage de baisse cherché.
    Ainsi :
    $\begin{align*} 24~224\times \left(1-\dfrac{x}{100}\right)=16~099 &\ssi 1-\dfrac{x}{100}=\dfrac{16~099}{24~224} \\
    &\ssi -\dfrac{x}{100}= \dfrac{16~099}{24~224} -1\\
    &\ssi x=-100\times \left(\dfrac{16~099}{24~224} -1\right) \end{align*}$
    Par conséquent $x \approx 33,5$.
    On constate donc une baisse d’environ $33,5\%$ de la récolte de miel.
    $\quad$

Ex 5

Exercice 5

  1. On obtient le bloc suivant :
  2. À l’issue de l’exécution du programme le point d’arrivée à pour coordonnées $(0;0)$ et on est orienté vers la droite.
    $\quad$
  3. a. On obtient le nouveau script suivant :

    b. À la fin de l’exécution du script voici les nouvelles valeurs des variables :
    Longueur : $50\times 1,3=65$
    Largeur : $30\times 1,3=39$
    $\quad$

Ex 6

Exercice 6

  1. Si le nombre de départ est $1$ alors :
    – le premier chemin nous fournit le nombre : $2\times 1-5=-3$
    – le second chemin nous fournit le nombre $3\times 1+2=5$.
    On obtient donc finalement le nombre $-3\times 5= -15$
    $\quad$
  2. Si le nombre de départ est $x$ alors :
    – le premier chemin nous fournit le nombre : $2\times x-5=2x-5$
    – le second chemin nous fournit le nombre $3\times x+2=3x+2$.
    On obtient donc finalement le nombre $(2x-5)\times (3x+2)$
    Réponse B
    $\quad$
  3. D’une part on a :
    $(2x-5)\times (3x+2)=6x^2+4x-15x-10=6x^2-11x-10$
    D’autre part on a :
    $\begin{align*} D&=(3x+2)^2-(x+7)(3x+2) \\
    &=(3x)^2+2\times 2\times 3x+2^2-\left(3x^2+2x+21x+14\right) \\
    &=9x^2+12x+4-\left(3x^2+23x+14\right) \\
    &=6x^2-11x-10
    \end{align*}$
    L’expression $D$ fournit donc bien le même résultat que $(2x-5)\times (3x+2)$. L’affirmation de Lily est par conséquent vraie.
    $\quad$

Ex 7

Exercice 7

  1. Dans le triangle $DEF$ rectangle en $E$ on applique le théorème de Pythagore.
    $DF^2=DE^2+EF^2$
    soit $3~800^2=DE^2+3~790^2$
    donc $DE^2=3~800^2-3~790^2$
    Par conséquent $DE^2=75~900$ et $DE=\sqrt{75~900} \approx 275,5$ m.
    $\quad$
  2. Dans le triangle $FGH$ rectangle en G on a :
    $\sin 12=\dfrac{HG}{FH}$
    Donc $HG=FH \times \sin 12=4~100 \times \sin 12 \approx 852,4$ m
    Le dénivelé de la seconde étape est donc d’environ $825,4$ m.
    $\quad$
  3. $48$ min $=\dfrac{48}{60}$ h $=0,8$ h
    On a donc
    $\begin{align*} V_a&=\dfrac{EF+HG}{0,8} \\
    &=\dfrac{\sqrt{75~900}+4~100\sin 12}{0,8} \\
    &\approx 1~410 \\
    &> 1~400
    \end{align*}$
    Le coureur atteint donc son objectif.
    $\quad$
    Remarque : dans le calcul de $V_a$ on pouvait également utiliser les valeurs approchées trouvées aux questions précédentes mais elles ont le défaut de n’être que des valeurs approchées et non des valeurs exactes.
    $\quad$

Énoncé

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