DNB – Métropole – Juin 2018

Métropole – Juin 2018

DNB – Mathématiques – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici 

Ex 1

Exercice 1

  1. La latitude de Pyeongchang est environ $35$° Nord et sa longitude est environ $130$° Est.
    $\quad$
  2. Le rayon de la boule est $R=\dfrac{23}{2}=11,5$ cm.
    Le volume de la boule est donc $V_{\text{boule}}=\dfrac{4}{3}\pi R^3 \approx 6~371$ cm$^3$.
    $\quad$
  3. Le rayon du cylindre est $r=\dfrac{6}{2}=3$ cm.
    Le volume du cylindre est donc $V_{\text{cylindre}}=\pi \times 3^2\times 23 =207\pi \approx 650$ cm$^3$.
    Le volume total du trophée est donc d’environ $650+6371=7~021$ cm$^3$.
    $\dfrac{6~371}{7~021} \approx 0,907$.
    Le volume de la boule de cristal représente donc environ $90\%$ du volume total du trophée.
    Marie a raison.
    $\quad$

 

Ex 2

Exercice 2

  1. La concentration moyenne en PM10 à Grenoble est $m=\dfrac{32+39+52+\ldots+89}{10}=63,4< 72,5$.
    La ville de Lyon a eu lap lus forte concentration moyenne en PM10 entre ces deux dates.
    $\quad$
  2. L’étendue de la série relative à Lyon est : $e_L=107-22=85$ µg/m$^3$.
    Et pour Grenoble : $e_G=89-32=57$ µg/m$^3$.
    Lyon a eu l’étendue la plus importante.
    Cela signifie que la concentration en PM10 entre ces deux dates est plus fluctuante à Lyon qu’à Grenoble.
    $\quad$
  3. La médiane de la série de la ville de Lyon est $83,5 > 80$.
    Cela signifie qu’au moins la moitié des valeurs de la série sont supérieures ou égales à $83,5$ µg/m$3$^.
    La série comporte $10$ valeurs.
    Le seuil d’alerte a donc été dépassé au moins $5$ fois à Lyon.
    $\quad$

Ex 3

Exercice 3

  1. La probabilité qu’il écoute du rap est $p=\dfrac{125}{375}=\dfrac{1}{3}$.
    $\quad$
  2. $\dfrac{7}{15}\times 375=175$.
    Il y a donc $175$ morceaux de rock dans son lecteur audio.
    $\quad$
  3. $\dfrac{7}{15} \approx 0,47 > 0,4$.
    Théo a donc plus de chances d’écouter un morceaux de rock qu’Alice.
    $\quad$

 

Ex 4

Exercice 4

  1. Dans le triangle $BCD$ rectangle en $B$ on applique le théorème de Pythagore.
    $CD^2=BC^2+BD^2$
    Soit $8,5^2=7,5^2+BD^2$
    Donc $72,25=56,25+BD^2$
    Par conséquent $BD^2=16$ et $BD=4$ cm.
    $\quad$
  2. On a :
    $\dfrac{BC}{FB}=\dfrac{7,5}{6}=1,25$
    $\dfrac{BD}{FE}=\dfrac{4}{3,2}=1,25$
    $\dfrac{CD}{BE}=\dfrac{8,5}{6,8}=1,25$
    Les trois rapports de longueurs étant égaux, les triangles $CBD$ et $BFE$ sont semblables.
    $\quad$
  3. Les triangles $CBD$ et $BFE$ sont semblables.
    Le triangle $CBD$ est rectangle en $B$ donc le triangle $BFE$ est également rectangle.
    Le côté $[BE]$ est le plus grand côté. C’est donc l’hypoténuse du triangle $BFE$.
    Il est par conséquent rectangle en $F$.
    $\quad$
  4. Dans le triangle $BCD$ rectangle en $B$ on a :
    $\sin \widehat{BCD}={BD}{CD}=\dfrac{4}{8,5}$ donc $\widehat{BCD} \approx 28,07$°.
    Ainsi $\widehat{ACD} \approx 61+28,07$ soit  $\widehat{ACD} \approx 89,07$°.
    L’angle  $\widehat{ACD}$ n’est donc pas droit.
    Max a tort.
    $\quad$

 

Ex 5

Exercice 5

  1. Voici les différentes étapes du calcul :
    $-1\underset{\times 4}{\longrightarrow}-4 \underset{+8}{\longrightarrow}4 \underset{\times 2}{\longrightarrow} 8$.
    On obtient donc bien $8$ comme résultat final.
    $\quad$
  2. On peut remonter le calcul à l’envers :
    $30\underset{:2}{\longrightarrow}15\underset{-8}{\longrightarrow}7\underset{:4}{\longrightarrow}1,75$.
    On a donc choisi le nombre $1,75$ au départ.
    $\quad$
  3. $A=2(4x+8)=8x+16$
    $B=(4+x)^2-x^2=4^2+2\times 4\times x+x^2-x^2=16+8x=A$.
    Les deux expressions $A$ et $B$ sont donc égales.
    $\quad$
  4. Si $x=-10$ alors $8x+16=-64<0$.
    L’affirmation 1 est donc fausse.
    $\quad$
    Si $x$ est un entier naturel alors $8x+16=8(x+2)$ est un multiple de $8$.
    L’affirmation 2 est donc vraie.
    $\quad$

 

 

Ex 6

Exercice 6

  1. a. On obtient la figure suivante :

    $\quad$
    b. Après l’exécution de la ligne 8 les coordonnées du stylo sont $(50;0)$.
    $\quad$
  2. On peut écrire “Mettre Longueur à Longueur $-50$.
    $\quad$
  3. a. Une homothétie de rapport $\dfrac{300-50\times 2}{300}=\dfrac{2}{3}$ permet d’obtenir le petit carré à partir du grand carré.
    $\quad$
    b. Le rapport d’aires entre les deux carrés est donc $\left(\dfrac{2}{3}\right)^2=\dfrac{4}{9}$.
    $\quad$

Ex 7

Exercice 7

  1. La droite représentée sur le graphique ne passe pas par l’origine du repère.
    Le temps et la vitesse de rotation ne sont donc pas proportionnels.
    $\quad$
  2. a. La vitesse initial du hand-spinner est de $20$ tours/seconde.
    $\quad$
    b. $1$min$20$s$=80$s
    L’ordonnée du point de la droite d’abscisse $80$ est $3$.
    La vitesse du hand-spinner est alors de $3$ tours/seconde.
    $\quad$
    c. La droite coupe l’axe des abscisses pour $t\approx 94$ s.
    Le hand-spinner va s’arrêter au bout de $94$ secondes environ.
    $\quad$
  3. a. $V(30)=-0,214\times 30+20=13,58$.
    Au bout de $30$ s la vitesse de rotation du hand-spinner est de $13,58$ tours/seconde.
    $\quad$
    b. On veut déterminer la valeur de $t$ telle que $V(t)=0$
    Soit $-0,214t+20=0$
    Donc $-0,214t=-20$
    Par conséquent $t\approx 93,46$
    Le hand-spinner va s’arrêter au bout d’environ $93,46$ s.
    $\quad$
    c. Si on considère une vitesse initiale $v$ alors $V(t)=-0,214t+v$.
    Le hand-spinner s’arrête quand $-0,214t+v=0$ soit $-0,214t=-v$ et donc $t=\dfrac{v}{0,214}$
    Si la vitesse initiale est $2v$ alors $V(t)=-0,214t+2v$
    Le hand-spinner s’arrête quand $-0,214t+2v=0$ soit $-0,214t=-2v$ et donc $t=\dfrac{2v}{0,214}=2\times \dfrac{v}{0,214}$.
    Si on fait tourner le hand-spinner deux fois plus vite au départ, il tournera deux fois plus longtemps.

 

Énoncé

Exercice 1     11 points

Le gros globe de cristal est un trophée attribué au vainqueur de la coupe du monde de ski.
Ce trophée pèse $9$ kg et mesure $46$ cm de hauteur.

  1. Le biathlète français Martin Fourcade a remporté le sixième gros globe de cristal de sa carrière en 2017 à Pyeongchang en Corée du Sud.
    Donner approximativement la latitude et la longitude de ce lieu repéré sur la carte ci-dessous.
    $\quad$
  2. On considère que ce globe est composé d’un cylindre en cristal de diamètre $6$ cm, surmonté d’une boule de cristal. Voir schéma ci-dessous.

    Montrer qu’une valeur approchée du volume de la boule de ce trophée est de $6~371$ cm$^3$.
    $\quad$
  3. Marie affirme que le volume de la boule de cristal représente environ $90\%$ du volume total du trophée.
    A-t-elle raison ?
    $\quad$
    Rappels :
    – volume d’une boule de rayon $R$ : $V =\dfrac{4}{3}\pi R^3$.
    – volume d’un cylindre de rayon $r$ et de hauteur $h$ : $V = \pi r^2 h$.
    $\quad$

Exercice 2     14 points

Parmi les nombreux polluants de l’air, les particules fines sont régulièrement surveillées.
Les PM10 sont des particules fines dont le diamètre est inférieur à $0,01$ mm.
En janvier 2017, les villes de Lyon et Grenoble ont connu un épisode de pollution aux particules fines. Voici des données concernant la période du 16 au 25 janvier 2017 :

$\begin{array}{|l|}
\hline
\textbf{Données statistiques sur les }\\
\textbf{concentrations journalières en PM10 du} \\
\textbf{16 au 25 janvier 2017 à Lyon}\\
\\
\quad \text{ Moyenne : $72,5 \mu$g/m$^3$}\\
\quad \text{ Médiane : $83,5 \mu$g/m$^3$}\\
\quad \text{ Concentration minimale : $22 \mu$g/m$^3$}\\
\quad \text{ Concentration maximale : $107 \mu$g/m$^3$}\\
\hline
\end{array}\\
\hspace{0.5cm} Source:~http://www.air-rhonealpes.fr$

$\begin{array}{|l|}
\hline
\textbf{Relevés des concentrations journalières}\\
\textbf{en PM10 du 16 au 25 janvier 2017 à }\\
\textbf{Grenoble}\\
\\
\quad \begin{array}{|c|c|}
\hline
\textit{Date}&\textit{Concentration}\\
&\textit{PM10 en $\mu$g/m$^3$}\\
\hline
16 \text{ janvier} &32\\
\hline
17 \text{ janvier} &39\\
\hline
18 \text{ janvier} &52\\
\hline
19 \text{ janvier} &57\\
\hline
20 \text{ janvier} &78\\
\hline
21 \text{ janvier} &63\\
\hline
22 \text{ janvier} &60\\
\hline
23 \text{ janvier} &82\\
\hline
24 \text{ janvier} &82\\
\hline
25 \text{ janvier} &89\\
\hline
\end{array}\\
\hline
\end{array}$

  1. Laquelle de ces deux villes a eu la plus forte concentration moyenne en PM10 entre le 16 et le 25 janvier ?
    $\quad$
  2. Calculer l’étendue des séries des relevés en PM10 à Lyon et à Grenoble. Laquelle de ces deux villes a eu l’étendue la plus importante ? Interpréter ce dernier résultat.
    $\quad$
  3. L’affirmation suivante est-elle exacte ? Justifier votre réponse.
    « Du 16 au 25 janvier, le seuil d’alerte de $80$ $\mu$g/m$^3$ par jour a été dépassé au moins 5 fois à Lyon ».
    $\quad$

Exercice 3     12 points

Dans son lecteur audio, Théo a téléchargé $375$ morceaux de musique. Parmi eux, il y a $125$ morceaux de rap. Il appuie sur la touche « lecture aléatoire » qui lui permet d’écouter un morceau choisi au hasard parmi tous les morceaux disponibles.

  1. Quelle est la probabilité qu’il écoute du rap ?
    $\quad$
  2. La probabilité qu’il écoute du rock est égale à $\dfrac{7}{15}$.
    Combien Théo a-t-il de morceaux de rock dans son lecteur audio ?
    $\quad$
  3. Alice possède $40 \%$ de morceaux de rock dans son lecteur audio.
    Si Théo et Alice appuient tous les deux sur la touche « lecture aléatoire » de leur lecteur audio, lequel a le plus de chances d’écouter un morceau de rock ?
    $\quad$

Exercice 4     14 points

La figure ci-dessous n’est pas représentée en vraie grandeur.

Les points $C,B$ et $E$ sont alignés.
Le triangle $ABC$ est rectangle en $A$.
Le triangle $BDC$ est rectangle en $B$.

  1. Montrer que la longueur $BD$ est égale à $4$ cm.
    $\quad$
  2. Montrer que les triangles $CBD$ et $BFE$ sont semblables.
    $\quad$
  3. Sophie affirme que l’angle $\widehat{BFE}$ est un angle droit. A-t-elle raison ?
    $\quad$
  4. Max affirme que l’angle $\widehat{ACD}$ est un angle droit. A-t-il raison ?
    $\quad$

Exercice 5     16 points

Voici un programme de calcul.

$\begin{array}{|cl|}
\hline
\bullet& \text{Choisir un nombre}\\
\bullet& \text{Multiplier ce nombre par }4\\
\bullet& \text{Ajouter }8\\
\bullet&\text{Multiplier le résultat par }2\\
\hline
\end{array}$

  1. Vérifier que si on choisit le nombre $−1$, ce programme donne $8$ comme résultat final.
    $\quad$
  2. Le programme donne $30$ comme résultat final, quel est le nombre choisi au départ ?$\quad$

Dans la suite de l’exercice, on nomme $x$ le nombre choisi au départ.

  1. L’expression $A = 2(4x + 8)$ donne le résultat du programme de calcul précédent pour un nombre $x$ donné.
    On pose $B = (4 + x)² − x²$.
    Prouver que les expressions $A$ et $B$ sont égales pour toutes les valeurs de $x$.
    $\quad$
  2. Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse. On rappelle que les réponses doivent être justifiées.
    $\bullet$ Affirmation 1 : Ce programme donne un résultat positif pour toutes les valeurs de $x$.
    $\quad$
    $\bullet$ Affirmation 2 : Si le nombre $x$ choisi est un nombre entier, le résultat obtenu est un multiple de $8$.
    $\quad$

Exercice 6     16 points

Les longueurs sont en pixels.
L’expression « s’orienter à $90$ » signifie que l’on s’oriente vers la droite.
On donne le programme suivant :

  1. On prend comme échelle $1$ cm pour $50$ pixels.
    a. Représenter sur votre copie la figure obtenue si le  programme est exécuté jusqu’à la ligne 7 comprise.
    $\quad$
    b. Quelles sont les coordonnées du stylo après l’exécution de la ligne 8 ?
    $\quad$
  2. On exécute le programme complet et on obtient la figure ci-dessous qui possède un axe de symétrie vertical.

    Recopier et compléter la ligne 9 du programme pour obtenir cette figure.
    $\quad$
  3. a. Parmi les transformations suivantes, translation, homothétie, rotation, symétrie axiale, quelle est la transformation géométrique qui permet d’obtenir le petit carré à partir du grand carré ? Préciser le rapport de réduction.
    $\quad$
    b. Quel est le rapport des aires entre les deux carrés dessinés ?
    $\quad$

Exercice 7     17 points

Le hand-spinner est une sorte de toupie plate qui tourne sur elle-même.


On donne au hand-spinner une vitesse de rotation initiale au temps $t = 0$, puis, au cours du temps, sa vitesse de rotation diminue jusqu’à l’arrêt complet du handspinner. Sa vitesse de rotation est alors égale à $0$.
Grâce à un appareil de mesure, on a relevé la vitesse de rotation exprimée en nombre de tours par seconde.

Sur le graphique ci-dessous, on a représenté cette vitesse en fonction du temps exprimé en seconde :

  1. Le temps et la vitesse de rotation du hand-spinner sont-ils proportionnels ? Justifier.
    $\quad$
  2. Par lecture graphique, répondre aux questions suivantes :
    a. Quelle est la vitesse de rotation initiale du hand-spinner (en nombre de tours par seconde) ?
    $\quad$
    b. Quelle est la vitesse de rotation du hand-spinner (en nombre de tours par seconde) au bout d’$1$ minute et $20$ secondes ?
    $\quad$
    c. Au bout de combien de temps, le hand-spinner va-t-il s’arrêter ?
    $\quad$
  3. Pour calculer la vitesse de rotation du hand-spinner en fonction du temps $t$, notée $V(t)$, on utilise la fonction suivante :
    $$V(t) = −0,214 × t + V_{initiale}$$
    $\bullet$ $t$ est le temps (exprimé en s) qui s’est écoulé depuis le début de rotation du hand-spinner
    $\bullet$ $V_{initiale}$ est la vitesse de rotation à laquelle on a lancé le hand-spinner au départ.
    $\quad$
    a. On lance le hand-spinner à une vitesse initiale de 20 tours par seconde. Sa vitesse de rotation est donc donnée par la formule : $V(t) = −0,214 × t + 20$. Calculer sa vitesse de rotation au bout de $30$ s.
    $\quad$
    b. Au bout de combien de temps le hand-spinner va-t-il s’arrêter ? Justifier par un calcul.
    $\quad$
    c. Est-il vrai que, d’une manière générale, si l’on fait tourner le hand-spinner deux fois plus vite au départ, il tournera deux fois plus longtemps ? Justifier.
    $\quad$