DNB – Métropole – Juin 2021

Métropole- Juin 2021

DNB maths – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

 

Ex 1

Exercice 1

  1. La température moyenne à Tours en 2019 était de $8,2$ °C.
    $\quad$
  2. L’étendue de cette série est $22,6-4,4=18,2$°C.
    $\quad$
  3. On a pu saisir $=\text{Moyenne(B2:M2)}$
    $\quad$
  4. $\dfrac{4,4+7,8+\ldots+7,8}{12}=\dfrac{157,2}{12}=13,1$.
    La température moyenne annuelle est $13,1$ °C.
    $\quad$
  5. $\dfrac{13,1-11,9}{11,9}\approx 0,100~8$.
    Ainsi le pourcentage d’augmentation entre 2009 et 2019 de la température moyenne est environ égal à $10\%$.
    $\quad$

 

Ex 2

Exercice 2

  1. $2-1,9=0,1$.
    Il aurait fallu $0,1$ millions, soit $100~000$, visiteurs en plus pour atteindre $2$ millions de visiteurs en 2019.
    $\quad$
  2. $\dfrac{1~900~000}{365}\approx 5~205$
    Il y a donc bien eu environ $5~200$ visiteurs par jour en 2019.
    $\quad$
  3. a. On a
    $\begin{align*}
    126&=2\times 63 \\
    &=2\times 3\times 21 \\
    &=2\times 3\times 3\times 7\\
    &=2\times 3^2\times 7\end{align*}$
    et
    $\begin{align*}
    90&=2\times 45 \\
    &=2\times 9 \times 5\\
    &=2\times 3^2\times 5\end{align*}$
    $\quad$
    b. $126$ et $90$ ont $2\times 3^2$ en commun dans leur décomposition en produit de facteurs premiers.
    Ainsi ils sont tous les deux divisibles par $1$, $2$, $3$, $6$, $9$ et $18$.
    $\quad$
    c. Le plus grand diviseur commun à $126$ et $90$ est donc $18$.
    $126=18\times 7$ et $90=18\times 5$.
    Le professeur pourra donc constituer $18$ groupes comportant chacun $7$ garçons et $5$ filles.
    $\quad$
  4. Dans les triangles $AED$ et $ABC$ :
    – les droites $(DE)$ et $(BC)$ sont parallèles (car perpendiculaires à $(AC)$);
    – $D$ appartient à $[AC]$ et $E$ appartient à $[AB]$.
    D’après le théorème de Thalès :
    $\dfrac{AD}{AC}=\dfrac{AE}{AB}=\dfrac{DE}{BC}$
    Soit $\dfrac{2}{2+54,25}=\dfrac{1,6}{BC}$
    Par conséquent $BC=\dfrac{1,6(2+54,25)}{2}$
    Donc $BC=45$ m.
    $\quad$

 

Ex 3

Exercice 3

Partie A

  1. Il y a $7$ jetons verts parmi les $7+4+3+2=16$ jetons de l’urne.
    L’événement “Obtenir un jeton vert” a donc une probabilité de $\dfrac{7}{16}$.
    Réponse C
    $\quad$
  2. La probabilité de tirer un jeton bleu est $\dfrac{3}{16}$.
    La probabilité de ne pas tirer un jeton bleu est donc $1-\dfrac{3}{16}$ soit $\dfrac{13}{16}$
    Réponse A
    $\quad$

Partie B

  1. L’image du motif $20$ par la symétrie d’axe la droite $(d)$ est le motif $17$.
    Réponse A
    $\quad$
  2. Le motif $3$ est l’image du motif $1$ par la rotation de centre $O$ et d’angle $2\times 36=72$°.
    Réponse B
    $\quad$
  3. Le motif $11$ est l’image du motif $1$ par l’homothétie de centre $O$ et de rapport $2$.
    L’aire du motif $1$ est donc égale à $2^2$ fois l’aire du motif $1$.
    Réponse B
    $\quad$

 

 

Ex 4

Exercice 4

  1. Voici les différents nombre qu’on obtient au cours de ce programme de calcul :
    $$4\rightarrow 16\rightarrow 28\rightarrow 18$$
    On obtient bien $18$ en choisissant $4$ comme nombre de départ.
    $\quad$
  2. Voici les différents nombre qu’on obtient au cours de ce programme de calcul :
    $$-3\rightarrow 9\rightarrow 0\rightarrow -10$$
    On obtient bien $-10$ en choisissant $-3$ comme nombre de départ.
    $\quad$
  3. On obtient le script suivant :
    $\quad$
  4. a. Si $x$ est le nombre de départ voici les différents nombres obtenu au cours du programme de calcul :
    $$x\rightarrow x^2\rightarrow x^2+3x \rightarrow x^2+3x-10$$
    Le programme de calcul fournit donc $x^2+3x-10$.
    $\quad$
    b. Pour tout nombre $x$ on a
    $\begin{align*} (x+5)(x-2)&=x^2-2x+5x-10 \\
    &=x^2+3x-10\end{align*}$
    Le résultat peut donc bien s’écrire $(x+5)(x-2)$.
    $\quad$
    c. On veut obtenir $x^2+3x-10=0$ soit $(x+5)(x-2)=0$
    Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, un de ses facteurs au moins est nul.
    Ainsi $x+5=0$ ou $x-2=0$
    C’est-à-dire $x=-5$ ou $x=2$.
    On peut donc choisir $-5$ ou $2$ pour obtenir le nombre $0$ à l’arrivée.
    $\quad$

 

Ex 5

Exercice 5

  1. $5,2\times \dfrac{6,5}{100}=0,338$
    La production annuelle de déchets par français à donc diminué de $0,338$ tonne entre 2007 et  2017.
    $\quad$
  2. a. On a $CH=67-39=28$ cm
    $\quad$
    b. Dans le triangle $CDH$ rectangle en $H$ on applique le théorème de Pythagore.
    $CD^2=CH^2+DH^2$
    Soit $53^2=28^2+DH^2$
    Donc $DH^2=53^2-28^2$
    C’est-à-dire $DH^2=2~025$
    Par conséquent $DH=\sqrt{2~025}=45$ cm
    $\quad$
    c. L’aire du trapèze est
    $\begin{align*}
    \mathscr{A}_T&=\dfrac{(39+67)\times 45}{2}\\
    &=2~385\end{align*}$
    L’aire du trapèze $ABCD$ est donc égale à $2~385$ cm^2.
    $\quad$
    d. L’aire du rectangle situé sous le trapèze $ABCD$ est
    $\begin{align*} \mathscr{A}_R&=(110-45)\times 67\\
    &=4~355\end{align*}$
    Le volume du composteur est donc
    $\begin{align*} V&=(4~355+2~385)\times 70 \\
    &=471~800\end{align*}$
    Or $471~800$ cm$^3$ $=0,471~8$ m$^3$
    Le volume du composteur est égal à $ 0,471~8$ m$^3$
    Ce volume est environ égal à $0,5$ m$^3$ en arrondissant à $0,1$ m$^3$ près.
    $\quad$

 

 

 

Énoncé

Indications portant sur l’ensemble du sujet.

Toutes les réponses doivent être justifiées, sauf si une indication contraire est donnée.

Pour chaque question, si le travail n’est pas terminé, laisser tout de même une trace de la recherche ; elle sera prise en compte dans la notation

Exercice 1 (20 points)

Cette feuille de calcul présente les températures moyennes mensuelles à Tours en 2019

  1. D’après le tableau ci-dessus, quelle a été la température moyenne à Tours en novembre 2019 ?
    $\quad$
  2. Déterminer l’étendue de cette série.
    $\quad$
  3. Quelle formule doit-on saisir en cellule $\text{N2}$ pour calculer la température moyenne annuelle ?
    $\quad$
  4. Vérifier que la température moyenne annuelle est $13,1$ °C.
    $\quad$
  5. La température moyenne annuelle à Tours en 2009 était de $11,9$ °C.
    Le pourcentage d’augmentation entre 2009 et 2019, arrondi à l’unité, est-il de : $7 \%$ ; $10 \%$ ou $13 \%$ ? Justifier la réponse
    $\quad$

$\quad$

 

Exercice 2 (20 points)

Le Futuroscope est un parc de loisirs situé dans la Vienne. L’année 2019 a enregistré $1,9$ million de visiteurs.

  1. Combien aurait-il fallu de visiteurs en plus en 2019 pour atteindre $2$ millions de visiteurs ?
    $\quad$
  2. L’affirmation « Il y a eu environ $5~200$ visiteurs par jour en 2019 » est-elle vraie ? Justifier la réponse.
    $\quad$
  3. Un professeur organise une sortie pédagogique au Futuroscope pour ses élèves de troisième.
    Il veut répartir les $126$ garçons et les $90$ filles par groupes. Il souhaite que chaque groupe comporte le même nombre de filles et le même nombre de garçons.
    a. Décomposer en produit de facteurs premiers les nombres $126$ et $90$.
    $\quad$
    b. Trouver tous les entiers qui divisent à la fois les nombres $126$ et $90$.
    $\quad$
    c. En déduire le plus grand nombre de groupes que le professeur pourra constituer. Combien de filles et de garçons y aura-t-il alors dans chaque groupe ?
    $\quad$
  4. Deux élèves de 3ème, Marie et Adrien, se souviennent avoir vu en mathématiques que les hauteurs inaccessibles pouvaient être déterminées avec l’ombre. Ils souhaitent calculer la hauteur de la Gyrotour du Futuroscope.$\quad$
    Marie se place comme indiquée sur la figure ci-dessous, de telle sorte que son ombre coïncide avec celle de la tour. Après avoir effectué plusieurs mesures, Adrien effectue le schéma ci-dessous (le schéma n’est pas à l’échelle), sur lequel les points $A$, $E $et $B$ ainsi que les points $A$, $D$ et $C$ sont alignés.
    $\quad$
    Calculer la hauteur $BC$ de la Gyrotour.


    $\quad$

    $\quad$

Exercice 3 (20 points)

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM). Aucune justification n’est demandée.
Pour chaque question, trois réponses (A, B et C) sont proposées. Une seule réponse est exacte.
Recopier sur la copie le numéro de la question et la réponse.

PARTIE A :

Une urne contient $7$ jetons verts, $4$ jetons rouges, $3$ jetons bleus et $2$ jetons jaunes. Les jetons sont indiscernables au toucher. On pioche un jeton au hasard dans cette urne.

  1. À quel événement correspond une probabilité de $\dfrac{7}{16}$ ?
    A. Obtenir un jeton de couleur rouge ou jaune
    B. Obtenir un jeton qui n’est pas vert.
    C. Obtenir un jeton vert.
    $\quad$
  2. Quelle est la probabilité de ne pas tirer un jeton bleu ?
    A. $\dfrac{13}{16}$
    B. $\dfrac{3}{16}$
    C. $\dfrac{3}{4}$
    $\quad$

PARTIE B

On considère la figure suivante, composée de vingt motifs numérotés de $1$ à $20$, dans laquelle :

  • $\widehat{AOB}=36$°
  • le motif $11$ est l’image du motif $1$ par l’homothétie de centre $O$ et de rapport $2$.

 

  1. Quelle est l’image du motif $20$ par la symétrie d’axe la droite $(d)$ ?
    A. Le motif $17$
    B. Le motif $15$
    C. Le motif $12$
    $\quad$
  2. Par quelle rotation le motif $3$ est-il l’image du motif $1$ ?
    A. Une rotation de centre $O$, et d’angle $36$°.
    B. Une rotation de centre $O$, et d’angle $72$°.
    C. Une rotation de centre $O$, et d’angle $90$°.
    $\quad$
  3. L’aire du motif $11$ est-elle égale :
    A. au double de l’aire du motif $1$.
    B. à $4$ fois l’aire du motif $1$.
    C. à la moitié de l’aire du motif $1$.
    $\quad$

$\quad$

 

Exercice 4 (20 points)

Voici un programme de calcul
$$\begin{array}{|l|}
\hline
\text{Choisir un nombre.}\\
\text{Prendre le carré du nombre de départ.}\\
\text{Ajouter le triple du nombre de départ.}\\
\text{Soustraire 10 au résultat.}\\
\hline
\end{array}$$

  1. Vérifier que si on choisit $4$ comme nombre de départ, on obtient $18$.
    $\quad$
  2. Appliquer ce programme de calcul au nombre $-3$.
    $\quad$
  3. Vous trouverez ci-dessous un script, écrit avec scratch.


    Compléter sur l’ANNEXE les lignes 5 et 6 pour que ce script corresponde au programme de calcul.
    $\quad$

  4. On veut déterminer le nombre à choisir au départ pour obtenir zéro comme résultat.
    a. On appelle $x$ le nombre de départ. Exprimer en fonction de $x$ le résultat final.
    $\quad$
    b. Vérifier que ce résultat peut aussi s’écrire sous la forme $(x + 5)(x-2)$.
    $\quad$
    c. Quel(s) nombre(s) doit-on choisir au départ pour obtenir le nombre $0$ à l’arrivée ?
    $\quad$

ANNEXE

$\quad$

$\quad$

 

Exercice 5 (20 points)

La production annuelle de déchets par Français était de $5,2$ tonnes par habitant en 2007.
Entre 2007 et 2017, elle a diminué de $6,5 \%$.

  1. De combien de tonnes la production annuelle de déchets par Français en 2017 a-t-elle diminué par rapport à l’année 2007 ?
    $\quad$
  2. Pour continuer à diminuer leur production de déchets, de nombreuses familles utilisent désormais un composteur.
    Une de ces familles a choisi le modèle ci-dessous, composé d’un pavé droit et d’un prisme droit
    (la figure du composteur n’est pas à l’échelle). Le descriptif indique qu’il a une contenance d’environ $0,5$ m$^3$. On souhaite vérifier cette information


    a. Dans le trapèze $ABCD$, calculer la longueur $CH$.
    $\quad$
    b. Montrer que la longueur DH est égale à $45$ cm.
    $\quad$
    c. Vérifier que l’aire du trapèze ABCD est de $2~385$ cm$^2$.
    $\quad$
    d. Calculer le volume du composteur.
    L’affirmation « il a une contenance d’environ $0,5$ m$^3$ » est-elle vraie ? Justifier.

Rappels :

  • Aire du trapèze $= \dfrac{\text{(Petit côté + Grand côté) $\times$ Hauteur}}{2}$
  • Volume du prisme droit $=\text{Aire de la base $\times$ hauteur}$
  • Volume du pavé droit $=\text{Longueur $\times$ largeur $\times$ hauteur}$

$\quad$

$\quad$