DNB – Métropole- Juin 2023

Métropole – Juin 2023

DNB maths – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

  1. L’étendue des prix de ces paires de lunettes de soleil est égale à $ 160-75=85$ euros.
    $\quad$
  2. a. On peut écrire $=\text{SOMME(B2:F2)}$ ainsi que $=\text{B2+C2+D2+E2+F2}$.
    $\quad$
    b. $1~200+950+875+250+300=3~575$.
    L’opticien a donc vendu $3~575$ paires de lunettes de soleil en 2022.
    $\quad$
  3. a. $1~200\times 75+950\times 100+875\times 110+250\times 140+300\times 160=364~250$.
    Le montant total des ventes des paires de lunettes de soleil en 2022 s’élève à $364~250$ euros.
    $\quad$
    b. Le prix moyen d’une paire de lunettes de soleil vendue en 2022 est égal à $\dfrac{364~250}{3~575}\approx 101,89$ euros.
    $\quad$

Ex 2

Exercice 2

  1. L’aire du rectangle $BCDE$ est égale à :
    $\begin{align*} \mathscr{A_1}&=BC\times BE\\
    &=4,2\times 7 \\
    &=29,4 \text{ cm}^2\end{align*}$
    $\quad$
  2. a. Dans le triangle $ABE$ rectangle en $A$ on applique le théorème de Pythagore.
    $BE^2=AB^2+AE^2$
    Donc $49=17,64+AE^2$.
    Ainsi $AE^2=49-17,64=31,36$
    Par conséquent $AE=\sqrt{31,36}=5,6$ cm.
    $\quad$
    b. L’aire du triangle $ABE$ est égale  à :
    $\begin{align*} \mathscr{A}_2&=\dfrac{AB\times AE}{2} \\
    &=\dfrac{4,2\times 5,6}{2} \\
    &=11,76 \text{ cm}^2\end{align*}$
    $\quad$
  3. a. Les droites $(ED)$ et $(HA)$ sont toutes les deux perpendiculaires à la droite $(CF)$.
    Elles sont donc parallèles entre elles.
    $\quad$
    b. Dans les triangles $FED$ et $FAH$ on a :
    – $E$ appartient à $[AF]$ et $D$ appartient à $[HF]$;
    – $(ED)$ et $(AH)$ sont parallèles.
    $E$ appartient à $[AF]$ donc $AF=AE+AF=12,6$ cm
    D’après le théorème de Thalès :
    $\dfrac{FE}{FA}=\dfrac{FD}{FH}=\dfrac{ED}{AH}$
    Ainsi :
    $\dfrac{7}{12,6}=\dfrac{4,2}{AH}$
    Donc $AH=\dfrac{4,2\times 12,6}{7}=7,56$ cm
    $\quad$

 

Ex 3

Exercice 3

  1. $\dfrac{60}{100}\times 25=15$.
    Réponse B
    $\quad$
  2. On a :
    $\begin{align*} 126&=2\times 63 \\
    &=2\times 3\times 21\\
    &=2\times 3\times 3\times 7\\
    &=2\times 3^2\times 7\end{align*}$
    Réponse C
    $\quad$
  3. Il y a donc $17+23=40$ jetons rouges ou jaunes parmi les $17+23+20=60$ jetons contenus dans le sac.
    La probabilité de tirer un jeton rouge ou jaune est égale à $\dfrac{40}{60}=\dfrac{2}{3}$.
    Réponse A
    $\quad$
  4. L’image du segment $[DC]$ par la rotation qui transforme $A$ en $D$ est $[GF]$.
    Réponse B
    $\quad$
  5. Le volume de ce pavé droit est égal à :
    $\begin{align*} V&=1,5\times 2\times 1,3 \\
    &= 3,9\text{ m}^3 \\
    &=3~000\text{ L}\end{align*}$
    Réponse C
    $\quad$

 

Ex 4

Exercice 4

  1. a. $\dfrac{272}{17}=16$ : Il faut prévoir $16$ marches pour construire cet escalier.
    $\quad$
    b. $AB=16\times 27=432$ cm.
    $\quad$
  2. a. Dans le triangle $BAC$ rectangle en $B$ on a :
    $\begin{align*} \tan \widehat{BAC}&=\dfrac{BC}{AB} \\
    &=\dfrac{272}{432}\end{align*}$
    Par conséquent $\widehat{BAC} \approx 32$°.
    $\quad$
    b. On a bien $25<\widehat{BAC}<40$. L’escalier permet une montée agréable.
    $\quad$
  3. On obtient :
    $\quad$

    $\quad$

 

Ex 5

Exercice 5

  1. a. On obtient successivement les nombres suivant avec le programme A :
    $-3\underset{\times (-2)}{\to} 6\underset{+5}{\to} 11$
    $\quad$
    b. On obtient successivement les nombres suivant avec le programme B :
    $5,5\underset{-5}{\to} 0,5\underset{\times 3}{\to} 1,5\underset{+11}{\to} 12,5$.
    En choisissant $5,5$ comme nombre de départ avec le programme B le résultat obtenu est $12,5$.
    $\quad$
  2. On obtient successivement les nombres suivant avec le programme A :
    $x\underset{\times (-2)}{\to} -2x\underset{+5}{\to} -2x+5$
    En choisissant $x$ comme nombre de départ avec le programme A le résultat obtenu est $-2x+5$.
    $\quad$
    On obtient successivement les nombres suivant avec le programme B :
    $x\underset{-5}{\to} x-5\underset{\times 3}{\to} 3x-15\underset{+11}{\to} 3x-4$.
    En choisissant $x$ comme nombre de départ avec le programme B le résultat obtenu est $3x-4$.
    $\quad$
  3. a. Le coefficient directeur de la fonction $f$ est égal à $-2<0$. La fonction $f$ est donc représentée par la droite $\left(D_2\right)$.
    Ainsi la fonction $g$ est représentée par la droite $\left(D_1\right)$.
    $\quad$
    b. Il s’agit de lire l’abscisse du point d’intersection des deux droites.
    Ainsi, graphiquement, le nombre cherché est environ égal à $1,8$.
    $\quad$
  4. On doit résoudre l’équation $-2x+5=3x-4$.
    Ainsi $5=5x-4$
    Soit $9=5x$
    Par conséquent $x=\dfrac{9}{5}$ ou encore $x=1,8$.
    Il faut choisir $1,8$ comme nombre de départ pour que les deux programmes fournissent le même résultat.
    $\quad$

 

Énoncé

Indications portant sur l’ensemble du sujet.
Toutes les réponses doivent être justifiées, sauf si une indication contraire est donnée.
Pour chaque question, si le travail n’est pas terminé, laisser tout de même une trace de la recherche ; elle sera prise en compte dans la notation.

Exercice 1     20 points

Un opticien vend différents modèles de lunettes de soleil.
Il reporte dans le tableur ci-dessous des informations sur cinq modèles vendus pendant l’année 2022.

  1. Montrer que l’étendue des prix de ces paires de lunettes de soleil est de $85$ euros.
    $\quad$
  2. a. Quelle formule doit-on saisir dans la cellule $\text{G2}$ pour calculer le nombre total de paires de lunettes de soleil vendues en 2022 ?
    $\quad$
    b. Calculer le nombre total de paires de lunettes de soleil vendues en 2022.
    $\quad$
  3. a. Calculer le montant total, en euros, des ventes des paires de lunettes de soleil en 2022.
    $\quad$
    b. Calculer le prix moyen d’une paire de lunettes de soleil vendue en 2022, arrondi au centime près.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 2     20 points

Sur la figure ci-dessous :

  • $BCDE$ est un rectangle, $BAE$ est un triangle rectangle en $A$ ;
  • la perpendiculaire à la droite $(CD)$ passant par A coupe cette droite en $H$ ;
  • les droites $(AE)$ et $(CD)$ se coupent en $F$.

On donne :

  • $AB = BC = 4,2$ cm ;
  • $EB = EF = 7$ cm.
  1. Montrer que l’aire du rectangle $BCDE$ est égale à $29,4$ cm$^2$.
    $\quad$
  2. a. Montrer que la longueur $AE$ est égale à $5,6$ cm.
    $\quad$
    b. Calculer l’aire du triangle rectangle $ABE$.
    $\quad$
  3. a. Montrer que les droites $(ED)$ et $(HA)$ sont parallèles.
    $\quad$
    b. Calculer la longueur $AH$.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 3     20 points

Cet exercice est un questionnaire à choix multiple (QCM).
Pour chaque question, trois réponses (A, B ou C) sont proposées. Une seule réponse est exacte.
Recopier sur la copie le numéro de la question et la réponse choisie. Aucune justification n’est demandée.

  1. Dans une classe de 25 élèves, $60 \%$ des élèves sont des filles.
    Combien y a-t-il de filles dans cette classe ?
    Réponse A : $10$
    Réponse B : $15$
    Réponse C : $20$
    $\quad$
  2. Quelle est la décomposition en produit de facteurs premiers de $126$ ?
    Réponse A : $2\times 9\times 7$
    Réponse B : $2^2\times 5^2+2\times 13$
    Réponse C : $2\times 3^2\times 7$
    $\quad$
  3. Dans un sac, il y a $17$ jetons rouges, $23$ jetons jaunes et $20$ jetons bleus, tous indiscernables au toucher. On tire au hasard un jeton du sac.
    Quelle est la probabilité d’obtenir un jeton rouge ou un jeton jaune ?
    Réponse A : $\dfrac{2}{3}$
    Réponse B : $0,6$
    Réponse C : $\dfrac{17}{23}$
    $\quad$
  4. Sur l’octogone régulier ci-dessous, quelle est l’image du segment $[DC]$ par la rotation de centre $O$ qui transforme $A$ en $D$ ?
    $\quad$

    $\quad$

    Réponse A : $[GE]$
    Réponse B : $[GF]$
    Réponse C : $[AH]$
    $\quad$

  5. Quel est le volume d’un pavé droit de hauteur $1,5$ m et de base rectangulaire de $2$ m de longueur et $1,3$ m de largeur ?
    On rappelle que $1$ m$^3 = 1~000$ L.
    Réponse A : $2,6$ $m^3$
    Réponse B : $3~900$ L
    Réponse C : $3~000$ L
    $\quad$

$\quad$

Exercice 4     20 points

On veut fabriquer un escalier en bois de hauteur $272$ cm.
La figure ci-dessous représente une vue de profil de cet escalier.
La hauteur d’une marche est de $17$ cm.
La profondeur d’une marche pour poser le pied mesure $27$ cm.

  1. a. Montrer qu’il faut prévoir $16$ marches pour construire cet escalier.
    $\quad$
    b. Montrer que la longueur $AB$ est égale à $432$ cm.
    $\quad$
  2. Pour permettre une montée agréable, l’angle $\widehat{BAC}$ doit être compris entre $25$° et $40$°.
    a. Calculer la mesure de l’angle $\widehat{BAC}$, arrondie au degré près.
    $\quad$
    b. L’escalier permet-il une montée agréable ?
    $\quad$
  3. On rédige le programme ci-dessous avec le logiciel Scratch pour dessiner cet escalier.
    ($1$ cm dans la réalité est représenté par $1$ pas dans le programme.)
    Recopier les lignes 5, 6, 7 et 9 sur la copie en les complétant.
    $\quad$

    $\quad$

$\quad$

Exercice 5     20 points

Voici deux programmes de calcul

$$\begin{array}{|l|l|}
\hline
\hspace{1cm}\textbf{Programme A}&\hspace{1cm}\textbf{Programme B}\\
\bullet \quad \text{Choisir un nombre}&\bullet \quad \text{Choisir un nombre}\\
\bullet \quad \text{Multiplier ce nombre par }-2&\bullet \quad \text{Soustraire $5$ ) ce nombre}\\
\bullet \quad \text{Ajouter $5$ à ce résultat}&\bullet \quad \text{Multiplier le résultat par $3$}\\
&\bullet \quad \text{Ajouter $11$ au résultat}\\
\hline
\end{array}$$

  1. a. Montrer que, si on choisit $-3$ comme nombre de départ, le résultat obtenu avec le programme A est $11$.
    $\quad$
    b. Quel résultat obtient-on avec le programme B si on choisit $5,5$ comme nombre de départ ?
    $\quad$
  2. En désignant par $x$ le nombre de départ, on obtient $-2x+5$ comme résultat avec le programme A.
    Montrer, qu’avec le même nombre de départ, le résultat du  programme B est égal à $3x-4$.
    $\quad$
  3. a. On a représenté ci-dessous les fonctions $f$ et $g$ définies par $f(x)=-2x+5$ et $g(x)=3x-4$.
    Associer, en justifiant, chaque droite à la fonction qui lui correspond.
    $\quad$

    $\quad$
    b. Par lecture graphique, donner, le plus précisément possible, le nombre dont l’image est la même par la fonction $f$ et la fonction $g$.
    $\quad$
  4. Déterminer par le calcul le nombre de départ pour lequel les programmes A et B donnent le même résultat.
    $\quad$

$\quad$