DNB – Nouvelle Calédonie – Décembre 2018

Nouvelle Calédonie – décembre 2018

DNB – Mathématiques – Correction

L’énoncé de ce sujet de brevet est disponible ici :

Ex 1

Exercice 1

  1. $(2x+5)(x-2) $
    $=2x^2-4x+5x-10$
    $=2x^2+x-10$
    Réponse C
    $\quad$
  2. Dans le triangle $ABC$ rectangle en $A$ on a :
    $\cos \widehat{ABC}=\dfrac{AB}{BC}=\dfrac{4}{5}$.
    Réponse B
    $\quad$
  3. Si $a$ et $b$ sont deux multiples de $7$, il existe alors deux nombres entiers $k$ et $k’$ tels que $a=7k$ et $b=7k’$.
    Donc $a+b=7k+7k’=7(k+k’)$.
    $a+b$ est par conséquent un multiple de $7$.
    Réponse C
    $\quad$
  4. Dans les triangles $ABC$ et $AST$ :
    – les droites $(BC)$ et $(ST)$ sont parallèles;
    – le point $S$ appartient au segment $[AB]$;
    – le point $T$ appartient au segment $[AC]$.
    D’après le théorème de Thalès on a :
    $\dfrac{AS}{AB}=\dfrac{AT}{AC}=\dfrac{ST}{BC}$
    Donc $\dfrac{42}{125}=\dfrac{ST}{75}$
    Par conséquent $ST=\dfrac{75\times 42}{125}=25,2$ m.
    Réponse B
    $\quad$

Ex 2

Exercice 2

  1. a. La probabilité de l’événement « on gagne des bonbons » est $\dfrac{2}{8}=\dfrac{1}{4}$.
    $\quad$
    b. L’événement contraire de l’événement « on gagne des bonbons » est « on ne gagne pas des bonbons ».
    $\quad$.
    c. La probabilité de l’événement « on ne gagne pas des bonbons » est $1-\dfrac{1}{4}=\dfrac{3}{4}$.
    $\quad$
  2. $3$ secteurs  permettent de gagner une casquette ou des bonbons.
    La probabilité de l’événement « on gagne une casquette ou
    des bonbons » est donc $\dfrac{3}{8}$.
    $\quad$

Ex 3

Exercice 3

  1. $162=2\times 81=2\times 3^4$.
    $108=2\times 84=2\times 54=2^2\times 27=2^2 \times 3^3$
    $\quad$
  2. Ainsi les nombres $2\times 3^2$ et $3^3$ sont deux diviseurs communs à $162$ et $108$ plus grands que $10$.
    $\quad$
  3. a. $\dfrac{162}{36}=4,5$.
    $36$ ne divise pas $162$. Le cuisinier ne pourra pas réaliser $36$ barquettes.
    $\quad$
    b. Le nombre de barquettes $N$ doit diviser $162$ et $108$ et être le plus grand possible.
    C’est donc le PGCD de $162$ et $108$.
    En utilisant l’algorithme d’Euclide on obtient :
    $162=1\times 108 + 54$
    $108=2\times 54+0$.
    Le PGCD est le denier reste non nul. Ainsi $N=54$.
    Il pourra donc réaliser au plus $54$ barquettes.
    $\quad$
    Remarque : On pouvait également utiliser la calculatrice pour déterminer le PGCD.
    $\quad$
    c. $\dfrac{162}{54}=3$ et $\dfrac{108}{54}=2$.
    Il y aura alors $3$ nems et $2$ samossas par barquette.
    $\quad$

 

Ex 4

Exercice 4

  1. a. Le nageur a parcouru $2~000$ mètres lors de cette course.
    $\quad$
    b. Les $200$ premiers mètres ont été parcourus en $5$ minutes.
    $\quad$
  2. La courbe représentant la distance parcourue en fonction du temps n’est pas une droite passant par l’origine du repère. Il n’y a donc pas proportionnalité entre la distance parcourue et le temps sur l’ensemble de la course.
    $\quad$
  3. La vitesse moyenne du nageur 1 est $v=\dfrac{2~000}{45}\approx 44$ m/min.
    $\quad$
  4. a. L’image de $10$ par la fonction $f$ est $f(10)=50\times 10=500$.
    $\quad$
    b. $f(30)=50\times 30=1~500$.
    $\quad$
  5. a. Au bout de $10$ minutes le nageur a parcouru $400$ mètres et, d’après la question 4.a., le nageur 2 a parcouru $500$ mètres. Le nageur 2 est donc en tête.
    $\quad$
    b. Au bout de $30$ minutes le nageur a parcouru $1~600$ mètres et, d’après la question 4.b., le nageur 2 a parcouru $1~500$ mètres. Le nageur 1 est donc en tête.
    $\quad$

 

Ex 5

Exercice 5

Dans le triangle $ABC$ rectangle en $B$ on applique le théorème de Pythagore.

$\begin{align*} AC^2&=AB^2+BC^2 \\
&=59^2+198^2 \\
&= 42~685 \end{align*}$

Ainsi $AC=\sqrt{42~685} \approx 206,6$ cm.
Par conséquent $AC>205$.

Allan ne pourra pas redresser le réfrigérateur en position verticale dans le camion.

$\quad$

Ex 6

Exercice 6

  1. On obtient le tableau suivant :
    $\begin{array}{|c|c|c|c|}
    \hline
    &\text{A}&\text{B}&\text{C}\\
    \hline
    1&\begin{array}{c}\text{États ou territoires de la}\\\text{Mélanésie}\end{array}&\text{Superficie terrestre (en km$^2$)}&\text{Fréquence (en $\%$)} \\
    \hline
    2&\text{iles Salomon}&25~530&5,2 \\
    \hline
    3&\text{îles Fidgi}&18~333&3,3\\
    \hline
    4&\text{Nouvelle Calédonie}&18~576&3,4\\
    \hline
    5&\text{Papouasie-Nouvelle-Guinée}&472~840&85,9\\
    \hline
    6&\text{Vanuatu}&12~281&2,2\\
    \hline
    7&\text{TOTAL}&550~560&100\\
    \hline
    \end{array}$
    En $C4$ : $100-(5,2+3,3+85,9+2,2)=3,4$.
    En $B7$ : on fait la somme des nombres de la colonne $B$.
    $\quad$
  2. En $B7$ on a pu écrire $=$SOMME$(B2:B6)$.
    $\quad$
  3. On obtient le tableau suivant :
    $\begin{array}{|c|c|c|}
    \hline
    \begin{array}{c}\text{États ou territoires de la}\\\text{Mélanésie}\end{array}&\text{Superficie terrestre (en km$^2$)}&\text{Angle(arrondi au degré près)} \\
    \hline
    \text{iles Salomon}&25~530&9 \\
    \hline
    \text{îles Fidgi}&18~333&6\\
    \hline
    \text{Nouvelle Calédonie}&18~576&6\\
    \hline
    \text{Papouasie-Nouvelle-Guinée}&472~840&155\\
    \hline
    \text{Vanuatu}&12~281&4\\
    \hline
    \text{TOTAL}&550~560&180\\
    \hline
    \end{array}$En $C4$ : $\dfrac{18~333\times 180}{550~560}$.
    $\quad$
    En $C6$ : $\dfrac{12~281\times 180}{550~560}$.
    $\quad$
  4. On obtient le diagramme suivant :
    $\quad$

 

Ex 7

Exercice 7

Affirmation 1 : VRAIE

L’aire du grand carré est $6^2=36$.
L’aire du petit carré est $x^2$.
Par différence, l’aire de la partie grisée est donc $36-x^2$.
$\quad$

Affirmation 2 : VRAIE

Le chiffe $8$ est présent dans les nombres $8$, $18$, $28$, $38$, $48$, $58$, $68$, $78$, $80$, $81$, $82$, $83$, $84$, $85$, $86$, $87$, $88$, $89$, $98$.
On a écrit $20$ fois le chiffre $8$.
$\quad$

 

 

Ex 8

Exercice 8

  1. On obtient le dessin suivant :
    $\quad$
  2. a. On obtient le dessin numéro 2 (à chaque tour de boucle on avance d’un carreau de moins).
    $\quad$
    b. Pour obtenir ce chemin, il faut répéter la série d’instruction 3 fois.
    $\quad$

 

Énoncé

Indication portant sur l’ensemble du sujet.
Toutes les réponses doivent être justifiées, sauf si une indication contraire est donnée.
Pour chaque question, si le travail n’est pas terminé, laisser tout de même une trace de la recherche, elle sera prise en compte dans la notation.

Exercice 1     12 points

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM). Pour chaque question, une seule des trois
réponses proposées est exacte.
Sur la copie, écrire le numéro de la question et la réponse choisie.
On ne demande pas de justifier. Aucun point ne sera enlevé en cas de mauvaise réponse.

  1. La forme développée et réduite de $(2x+5)(x-2)$ est :
    Réponse A : $2x^2-10$
    Réponse B : $2x^2+9x+10$
    Réponse C : $2x^2+x-10$
    $\quad$
  2. $\quad$
    Le cosinus de l’angle $\widehat{ABC}$ est égal à :
    Réponse A : $\dfrac{3}{5}$
    Réponse B : $\dfrac{4}{5}$
    Réponse C : $\dfrac{3}{4}$
    $\quad$
  3. Lorsque j’ajoute deux multiples de $7$, j’obtiens toujours
    Réponse A : un multiple de $49$
    Réponse B : un multiple de $14$
    Réponse C : un multiple de $7$
    $\quad$
  4. $\quad$

    $AB=125$ m ;$AS=42$ m ; $BC=75$ m et $(BC)//(ST)$
    $ST$ est égal à :
    Réponse A : $37,5$ m
    Réponse B : $25,2$ m
    Réponse C : $33,6$ m
    $\quad$

Exercice 2     12 points

À un stand d’une kermesse, on fait tourner une roue pour gagner un lot (un jouet, une casquette ou des bonbons). Une flèche permet de résigner le secteur gagnant sur la roue.
On admet que chaque secteur a autant de chance d’être désigné.

  1. a. Quelle est la probabilité de l’événement « on gagne des bonbons » ?
    $\quad$
    b. Définir par une phrase l’événement contraire de l’événement « gagne des bonbons ».
    $\quad$
    c. Quelle est la probabilité de l’événement défini au 1. b. ?
    $\quad$
  2. Soit l’événement « on gagne une casquette ou des bonbons ».
    Quelle est la probabilité de cet événement ?
    $\quad$

Exercice 3     18 points

  1. Décomposer les nombres $162$ et $108$ en produits de facteurs premiers.
    $\quad$
  2. Déterminer deux diviseurs communs aux nombres $162$ et $108$ plus grands que $10$.
    $\quad$
  3. Un snack vend des barquettes composées de nems et de samossas.
    Le cuisinier a préparé $162$ nems et $108$ samossas.
    Dans chaque barquette :
    — le nombre de nems doit être le même.
    — le nombre de samossas doit être le même,
    Tous les nems et tous les samossas doivent être utilisés.
    $\quad$
    a. Le cuisiner peut-il réaliser $36$ barquettes ?
    $\quad$
    b. Quel nombre maximal de barquettes pourra-t-il réaliser ?
    $\quad$
    c. Dans ce cas, combien y aura-t-il de nems et de samossas dans chaque barquette ?
    $\quad$

Exercice 4     16 points

On étudie les performances de deux nageurs (nageur 1 et nageur 2).
La distance parcourue par le nageur 1 en fonction du temps est donnée par le graphique ci-dessous.

  1. Répondre aux questions suivantes par lecture graphique. Aucune justification n’est demandée.
    a. Quelle est la distance totale parcourue lors de cette course par le nageur 1 ?
    $\quad$
    b. En combien de temps le nageur 1 a-t-il parcouru les $200$ premiers mètres ?
    $\quad$
  2. Y a-t-il proportionnalité entre la distance parcourue et le temps sur l’ensemble de la course ?
    Justifier.
    $\quad$
  3. Montrer que la vitesse moyenne du nageur 1 sur l’ensemble de la course est d’environ $44$ m/min.
    $\quad$
  4. On suppose maintenant que le nageur 2 progresse à vitesse constante. La fonction $f$ définie par $f(x) = 50x$ représente la distance qu’il parcourt en fonction du temps $x$.
    a. Calculer l’image de $10$ par $f$ .
    $\quad$
    b. Calculer $f(30)$.
    $\quad$
  5. Les nageurs 1 et 2 sont partis en même temps,
    a. Lequel est en tête au bout de $10$ min ? Justifier.
    $\quad$
    b. Lequel est en tête au bout de $30$ min ? Justifier.
    $\quad$

Exercice 5     8 points

Lors de son déménagement, Allan doit transporter son réfrigérateur dans un camion, Pour l’introduire dans le camion, Allan le pose sur le bord comme indiqué sur la figure. Le schéma n’est pas à l’échelle.

Allan pourra-t-il redresser le réfrigérateur en position verticale pour le rentrer dans le camion sans bouger le point d’appui A ? Justifier.

$\quad$

Exercice 6     17 points

L’annexe 1 donne un tableau concernant les états et territoires de la Mélanésie.

  1. Compléter les colonnes B et C du tableau dans l’annexe 1.
    Arrondir les fréquences au dixième.
    $\quad$
  2. Le tableau a été construit avec un tableur.
    Quelle formule peut-on saisir pour compléter la cellule $B7$ du tableau ?
    L’annexe 2 donne la répartition des superficies des différents territoires et états de la Mélanésie.
    $\quad$
  3. Compléter la colonne des angles dans le tableau de l’annexe 2.
    $\quad$
  4. Compléter le diagramme semi-circulaire dans l’annexe 2 en utilisant les données du tableau.
    $\quad$

Annexe 1

$$\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
&\text{A}&\text{B}&\text{C}\\
\hline
1&\begin{array}{c}\text{États ou territoires de la}\\\text{Mélanésie}\end{array}&\text{Superficie terrestre (en km$^2$)}&\text{Fréquence (en $\%$)} \\
\hline
2&\text{iles Salomon}&25~530&5,2 \\
\hline
3&\text{îles Fidgi}&18~333&3,3\\
\hline
4&\text{Nouvelle Calédonie}&18~576&\ldots\\
\hline
5&\text{Papouasie-Nouvelle-Guinée}&472~840&85,9\\
\hline
6&\text{Vanuatu}&12~281&2,2\\
\hline
7&\text{TOTAL}&\ldots&100\\
\hline
\end{array}$$

Annexe 2

$$\begin{array}{|c|c|c|}
\hline
\begin{array}{c}\text{États ou territoires de la}\\\text{Mélanésie}\end{array}&\text{Superficie terrestre (en km$^2$)}&\text{Angle(arrondi au degré près)} \\
\hline
\text{iles Salomon}&25~530&9 \\
\hline
\text{îles Fidgi}&18~333&\ldots\\
\hline
\text{Nouvelle Calédonie}&18~576&6\\
\hline
\text{Papouasie-Nouvelle-Guinée}&472~840&155\\
\hline
\text{Vanuatu}&12~281&\ldots\\
\hline
\text{TOTAL}&\ldots&180\\
\hline
\end{array}$$

$\quad$

Exercice 7     8 points

Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est VRAIE ou FAUSSE et justifier la réponse.

Affirmation 1 : l’aire de la partie grise de la figure ci-dessous est $36-x^2$.

$\quad$

Affirmation 2 : Le chiffre $8$ est écrit $20$ fois lorsque j’écris tous les nombres entiers de $1$ à $100$.
$\quad$

Exercice 8     9 points

Rappel :

Orientation du lutin :
S’orienter à 90° : pour se déplacer vers la droite
S’orienter à 0° : pour se déplacer vers le haut
S’orienter à −90° : pour se déplacer vers la gauche
S’orienter à 180° : pour se déplacer vers le bas

Le chat indique la position de départ.

  1. On exécute le script 1 ci-dessous.
    Représenter dans l’annexe le chemin parcouru par le chat.

    $\quad$

  2. a. Indiquer sur la copie le numéro du dessin correspondant au script 2 ci-dessous.
    $\quad$
    Le côté d’un carreau mesure $20$ unités.
    $\quad$
    b. On souhaite modifier le script 2 pour parcourir le chemin suivant :

    Quelle(s) modification(s) peut-on apporter au script 2 pour parcourir ce chemin ?
    $\quad$

Annexe

Le côté d’un carreau mesure $20$ unités.

$\quad$