DNB – Nouvelle Calédonie – Décembre 2018

Nouvelle Calédonie – décembre 2018

DNB – Mathématiques – Correction

L’énoncé de ce sujet de brevet est disponible ici :

Ex 1

Exercice 1

  1. $(2x+5)(x-2) $
    $=2x^2-4x+5x-10$
    $=2x^2+x-10$
    Réponse C
    $\quad$
  2. Dans le triangle $ABC$ rectangle en $A$ on a :
    $\cos \widehat{ABC}=\dfrac{AB}{BC}=\dfrac{4}{5}$.
    Réponse B
    $\quad$
  3. Si $a$ et $b$ sont deux multiples de $7$, il existe alors deux nombres entiers $k$ et $k’$ tels que $a=7k$ et $b=7k’$.
    Donc $a+b=7k+7k’=7(k+k’)$.
    $a+b$ est par conséquent un multiple de $7$.
    Réponse C
    $\quad$
  4. Dans les triangles $ABC$ et $AST$ :
    – les droites $(BC)$ et $(ST)$ sont parallèles;
    – le point $S$ appartient au segment $[AB]$;
    – le point $T$ appartient au segment $[AC]$.
    D’après le théorème de Thalès on a :
    $\dfrac{AS}{AB}=\dfrac{AT}{AC}=\dfrac{ST}{BC}$
    Donc $\dfrac{42}{125}=\dfrac{ST}{75}$
    Par conséquent $ST=\dfrac{75\times 42}{125}=25,2$ m.
    Réponse B
    $\quad$

Ex 2

Exercice 2

  1. a. La probabilité de l’événement « on gagne des bonbons » est $\dfrac{2}{8}=\dfrac{1}{4}$.
    $\quad$
    b. L’événement contraire de l’événement « on gagne des bonbons » est « on ne gagne pas des bonbons ».
    $\quad$.
    c. La probabilité de l’événement « on ne gagne pas des bonbons » est $1-\dfrac{1}{4}=\dfrac{3}{4}$.
    $\quad$
  2. $3$ secteurs  permettent de gagner une casquette ou des bonbons.
    La probabilité de l’événement « on gagne une casquette ou
    des bonbons » est donc $\dfrac{3}{8}$.
    $\quad$

Ex 3

Exercice 3

  1. $162=2\times 81=2\times 3^4$.
    $108=2\times 84=2\times 54=2^2\times 27=2^2 \times 3^3$
    $\quad$
  2. Ainsi les nombres $2\times 3^2$ et $3^3$ sont deux diviseurs communs à $162$ et $108$ plus grands que $10$.
    $\quad$
  3. a. $\dfrac{162}{36}=4,5$.
    $36$ ne divise pas $162$. Le cuisinier ne pourra pas réaliser $36$ barquettes.
    $\quad$
    b. Le nombre de barquettes $N$ doit diviser $162$ et $108$ et être le plus grand possible.
    C’est donc le PGCD de $162$ et $108$.
    En utilisant l’algorithme d’Euclide on obtient :
    $162=1\times 108 + 54$
    $108=2\times 54+0$.
    Le PGCD est le denier reste non nul. Ainsi $N=54$.
    Il pourra donc réaliser au plus $54$ barquettes.
    $\quad$
    Remarque : On pouvait également utiliser la calculatrice pour déterminer le PGCD.
    $\quad$
    c. $\dfrac{162}{54}=3$ et $\dfrac{108}{54}=2$.
    Il y aura alors $3$ nems et $2$ samossas par barquette.
    $\quad$

 

Ex 4

Exercice 4

  1. a. Le nageur a parcouru $2~000$ mètres lors de cette course.
    $\quad$
    b. Les $200$ premiers mètres ont été parcourus en $5$ minutes.
    $\quad$
  2. La courbe représentant la distance parcourue en fonction du temps n’est pas une droite passant par l’origine du repère. Il n’y a donc pas proportionnalité entre la distance parcourue et le temps sur l’ensemble de la course.
    $\quad$
  3. La vitesse moyenne du nageur 1 est $v=\dfrac{2~000}{45}\approx 44$ m/min.
    $\quad$
  4. a. L’image de $10$ par la fonction $f$ est $f(10)=50\times 10=500$.
    $\quad$
    b. $f(30)=50\times 30=1~500$.
    $\quad$
  5. a. Au bout de $10$ minutes le nageur a parcouru $400$ mètres et, d’après la question 4.a., le nageur 2 a parcouru $500$ mètres. Le nageur 2 est donc en tête.
    $\quad$
    b. Au bout de $30$ minutes le nageur a parcouru $1~600$ mètres et, d’après la question 4.b., le nageur 2 a parcouru $1~500$ mètres. Le nageur 1 est donc en tête.
    $\quad$

 

Ex 5

Exercice 5

Dans le triangle $ABC$ rectangle en $B$ on applique le théorème de Pythagore.

$\begin{align*} AC^2&=AB^2+BC^2 \\
&=59^2+198^2 \\
&= 42~685 \end{align*}$

Ainsi $AC=\sqrt{42~685} \approx 206,6$ cm.
Par conséquent $AC>205$.

Allan ne pourra pas redresser le réfrigérateur en position verticale dans le camion.

$\quad$

Ex 6

Exercice 6

  1. On obtient le tableau suivant :
    $\begin{array}{|c|c|c|c|}
    \hline
    &\text{A}&\text{B}&\text{C}\\
    1&\begin{array}{c}\text{États ou territoires de la}\\\text{Mélanésie}\end{array}&\text{Superficie terrestre (en km$^2$)}&\text{Fréquence (en $\%$)} \\
    \hline
    2&\text{iles Salomon}&25~530&5,2 \\
    \hline
    3&\text{îles Fidgi}&18~333&3,3\\
    \hline
    4&\text{Nouvelle Calédonie}&18~576&3,4\\
    \hline
    5&\text{Papouasie-Nouvelle-Guinée}&472~840&85,9\\
    \hline
    6&\text{Vanuatu}&12~281&2,2\\
    \hline
    7&\text{TOTAL}&550~560&100\\
    \hline
    \end{array}$
    En $C4$ : $100-(5,2+3,3+85,9+2,2)=3,4$.
    En $B7$ : on fait la somme des nombres de la colonne $B$.
    $\quad$
  2. En $B7$ on a pu écrire $=$SOMME$(B2:B6)$.
    $\quad$
  3. On obtient le tableau suivant :
    $\begin{array}{|c|c|c|c|}
    \hline
    &\text{A}&\text{B}&\text{C}\\
    1&\begin{array}{c}\text{États ou territoires de la}\\\text{Mélanésie}\end{array}&\text{Superficie terrestre (en km$^2$)}&\text{Angle(arrondi au degré près)} \\
    \hline
    2&\text{iles Salomon}&25~530&9 \\
    \hline
    3&\text{îles Fidgi}&18~333&6\\
    \hline
    4&\text{Nouvelle Calédonie}&18~576&6\\
    \hline
    5&\text{Papouasie-Nouvelle-Guinée}&472~840&155\\
    \hline
    6&\text{Vanuatu}&12~281&4\\
    \hline
    7&\text{TOTAL}&550~560&180\\
    \hline
    \end{array}$
    En $C4$ : $\dfrac{18~333\times 180}{550~560}$.
    En $C6$ : $\dfrac{12~281\times 180}{550~560}$.
    $\quad$
  4. On obtient le diagramme suivant :
    $\quad$

 

Ex 7

Exercice 7

Affirmation 1 : VRAIE

L’aire du grand carré est $6^2=36$.
L’aire du petit carré est $x^2$.
Par différence, l’aire de la partie grisée est donc $36-x^2$.
$\quad$

Affirmation 2 : VRAIE

Le chiffe $8$ est présent dans les nombres $8$, $18$, $28$, $38$, $48$, $58$, $68$, $78$, $80$, $81$, $82$, $83$, $84$, $85$, $86$, $87$, $88$, $89$, $98$.
On a écrit $20$ fois le chiffre $8$.
$\quad$

 

 

Ex 8

Exercice 8

  1. On obtient le dessin suivant :
    $\quad$
  2. a. On obtient le dessin numéro 2 (à chaque tour de boucle on avance d’un carreau de moins).
    $\quad$
    b. Pour obtenir ce chemin, il faut répéter la série d’instruction 3 fois.
    $\quad$

 

Énoncé

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