DNB – Polynésie – Juillet 2018

Polynésie – Juillet 2018

DNB – Mathématiques – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici 

Ex 1

Exercice 1

  1. La probabilité d’arriver en A est $p(A)=\dfrac{1}{4}$ et celle d’arriver en B est $p(B)=\dfrac{2}{4}=\dfrac{1}{2}$.
    Ainsi $p(A)\neq p(B)$.
    Affirmation 1 fausse
    $\quad$
  2. Les besoins en électricité de $1~000$ personnes pour un an sont de $7~000\times 1~000 = 7~000~000$ kWh soit $7$ GWh $>5$ GWh.
    Affirmation 2 vraie
    $\quad$
  3. $45\%=0,45$.
    $\dfrac{305}{612} \approx 0,498$
    $730\times 10^{-3}=0,730$.
    Par conséquent $45\%<\dfrac{305}{612}<0,5<730\times 10^{-3}$.
    Affirmation 3 vraie
    $\quad$
  4. Il y a $18$ blocs représentant chacun $20$ employés.
    Il y a donc $18\times 20=360$ employés dans cette entreprise.
    Parmi eux $7\times 20=140$ employés ont un salaire au moins égale à $1~700$ €.
    $\dfrac{140}{360} \approx 0,39<0,4$.
    Affirmation 4 fausse
    Remarque : on pouvait raisonner uniquement sur le nombre de blocs : $\dfrac{7}{18}<0,4$.
    $\quad$

Ex 2

Exercice 2

  1. $1~500$ m $=1,5$ km et $1$ s $=\dfrac{1}{3~600}$ h.
    Donc $1~500$ m/s $=\dfrac{1,5}{~~\dfrac{1}{3~600}~~} =5~400$ km/h.
    $\quad$
  2. a. Environ $1,5$ cm séparent les deux groupes sur la carte.
    L’échelle nous indique que $2,5$ cm sur la carte représentent $1~000$ km dans la réalité.
    $\dfrac{1~000\times 1,5}{2,5}=600$.
    Les deux groupes sont donc séparés d’environ $600$ km.
    $\quad$
    b. Le temps, en heure, est donné par $T=\dfrac{\text{distance}}{\text{vitesse}}=\dfrac{600}{5~400}=\dfrac{1}{9}$.
    Or $\dfrac{1}{9}\times 60\approx 6,67$.
    L’onde sonore émise par le groupe 1 met donc environ $7$ minutes pour parvenir au groupe 2.
    $\quad$
  3. Sur le dessin, le plongeur mesure environ $1$ cm et la baleine bleue mesure environ $12$ cm.
    On utilise le tableau de proportionnalité suivant :
    $\begin{array}{|l|c|c|}
    \hline
    \text{sur le dessin en cm}&1&12 \\
    \hline
    \text{dans la réalité en m}&1,75&T\\
    \hline
    \end{array}$
    Ainsi $T=12\times 1,75=21$.
    La baleine bleue mesure environ $21$ m de long.
    $\quad$

Ex 3

Exercice 3

  1. Le nombre moyen de SMS envoyés pendant le week-end par les élèves de la classe A est :
    $M_A=\dfrac{0+0+\ldots+34+67}{15}=\dfrac{210}{15}=14$.
    Il y a $15$ élèves dans ce groupe A.
    $\dfrac{15}{2}=7,5$. La médiane est donc la $8\ieme$ valeur de cette série rangée dans l’ordre croissant c’est-à-dire $12$.
    $\quad$
  2. En $Q3$ on a pu saisir “$=SOMME(B3:K3)/10$.
    En $R3$ on a pu saisir “$=(F3+G3)/2$.
    $\quad$
  3. Le nombre moyen de SMS envoyés par ces $25$ élèves est :
    $M=\dfrac{14\times 15+12\times 10}{25}=\dfrac{330}{25}=13,2$.
    $\quad$
  4. La série statistique ordonnée du nombre de SMS envoyés par l’ensemble des élèves est :
    $0-0-0-0-0-0-1-1-2-5-7-11-12-15-15-16-17-18-18-18-20-21-32-34-67$.
    $\dfrac{25}{2}=12,5$ la médiane est donc la $13\ieme$ valeur soit $12$.
    $\quad$

Ex 4

Exercice 4

  1. a. $1~000\times \left(1+\dfrac{10}{100}\right)=1~000\times 1,1=1~100$.
    Au 31 décembre 2012, après une augmentation de $10\%$, il y avait donc $1~100$ adhérents.
    $\quad$
    b. Il y a eu une nouvelle augmentation de $5\%$.
    $1~100\times \left(1+\dfrac{5}{100}\right)=1~100\times 1,05=1~155$.
    Au 31 décembre 2015 il y avait donc $1~155$ adhérents.
    $\quad$
    c. D’après la question précédente, il y a $1~155$ adhérents et non $1~150$.
    L’affirmation de Martine est donc fausse.
    $\quad$
  2. a. On obtient le tableau suivant :
    $\begin{array}{|c|c|c|c|}
    \hline
    &\text{Effectif en }2017&\begin{array}{c}\text{Angle en degrés}\\\text{correspondant (pour}\\\text{construire le diagramme}\\\text{circulaire}\end{array}&\text{Fréquence en }\%\\
    \hline
    \text{Planche à voile}&392&112&31,11\%\\
    \hline
    \text{Beach volley}&224&64&17,78\%\\
    \hline
    \text{Surf}&644&184&51,11\%\\
    \hline
    \text{Total}&1~260&360\text{°}&100 \% \\
    \hline
    \end{array}$
    Pour déterminer les angles correspondants on fait les calculs suivants :
    $\dfrac{392\times 360}{1~260}=112$
    $\dfrac{224 \times 360}{1~260}=64$
    $\dfrac{644 \times 360}{1~260}=184$
    $\quad$
    b. On obtient le diagramme circulaire suivant :

    $\quad$
    c. Cf tableau de la question 2.a.
    Pour déterminer les fréquence on fait les calculs suivants :
    $\dfrac{392\times 100}{1~260}\approx 31,11$
    $\dfrac{224 \times 100}{1~260}\approx 17,78$
    $\dfrac{644 \times 100}{1~260}\approx 51,11$
    $\quad$

Ex 5

Exercice 5

  1. a. $E$ est le milieu du segment $[DF]$ donc $ED=\dfrac{5,06}{2}=2,53$ m.
    Dans le triangle $AED$ rectangle en $E$ on a :
    $\sin \widehat{EAD}=\dfrac{ED}{AD}$
    Soit $\sin 38=\dfrac{2,53}{AD}$
    Donc $AD=\dfrac{2,53}{\sin 38} \approx 4,11$ m.
    $\quad$
    b. Dans le triangle $AED$ rectangle en $E$ on a :
    $\tan \widehat{EAD}=\dfrac{ED}{AE}$
    Soit $\tan 38=\dfrac{2,53}{AE}$
    Donc $AE=\dfrac{2,53}{\tan 38} \approx 3,24$ m.
    $\quad$
    c. Aire d’un versant : $\mathscr{A}_1=AD\times KL \approx 4,11\times 13$ soit $\mathscr{A}_1\approx 53,43$ m$^2$.
    Aire du toit : $\mathscr{A}=2\times \mathscr{A}_1\approx 106,86$ m$^2$.
    Nombre de tuiles à prévoir : $106,86\times 26=2~778,36$ soit $2~779$ tuiles.
    Prix des tuiles : $2~779\times 0,65=1~806,35$ euros.
    $\quad$
  2. Volume du rez-de-chaussée : $V=5,06\times 13\times 2,7=177,606$ m$^3$.
    Il faut donc choisir, d’après le tableau une puissance frigorifique comprise entre $18~000$ et $25~000$ BTU.
    Le climatiseur le plus économique est donc le Air $10$ pingouin à $990$ euros.
    $\quad$

Ex 6

Exercice 6

  1. Voici les différentes valeurs prises par :
    Résultat 1 : $\underset{2*\text{Nombre}+3}{\longrightarrow}9\underset{\text{au carré}}{\longrightarrow} 81$
    Résultat 2 : $\underset{\text{Nombre au carré}}{\longrightarrow} 9\underset{\times 4}{\longrightarrow}36\underset{+12*\text{Nombre}}{\longrightarrow}72\underset{+9}{\longrightarrow}81$.
    À la fin de l’algorithme, Résultat 1 et Résultat 2 contiennent le nombre $81$.
    $\quad$
  2. a. Résultat 1 contient le nombre $$(2x+3)^2=(2x)^2+2\times 2x\times 3+3^2=4x^2+12x+9$$
    $\quad$
    b. Résultat 2 contient le nombre $$4x^2+12x+9$$
    $\quad$
    c. On veut donc résoudre l’équation $4x^2+12x+9=9$
    soit $4x^2+12x=0$
    Or $4x^2+12x=4x\times x+4x \times 3=4x(x+3)$.
    On veut donc résoudre l’équation $4x(x+3)=0$
    Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, un de ses facteurs au moins est nul.
    Donc $4x=0$ soit $x=0$
    ou $x+3=0$ soit $x=-3$
    Alice a donc pu choisir les nombres $0$ ou $-3$.
    $\quad$

 

Énoncé

Exercice 1     20 points

Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse en justifiant soigneusement la réponse.

  1. Scratch souhaite rejoindre un ami, mais il a oublié la fin du trajet. Il décide de finir son trajet en prenant, aux intersections, à droite ou à gauche au hasard.

    Affirmation 1 : La probabilité qu’il arrive en A, en B ou en C est la même.
    $\quad$
  2. On suppose qu’une éolienne produit $5$ GWh d’électricité par an et qu’une personne a besoin de $7~000$ kWh d’électricité par an. (Wh : Watt-heure)
    Affirmation 2 : Une éolienne ne couvre pas les besoins en électricité de $1~000$ personnes pour un an.
    $\quad$
  3. Voici quatre nombres : $45 \%$ ; $\dfrac{305}{612}$ ; $0,5$ ; $730\times 10^{−3}$.
    Affirmation 3 : Ces quatre nombres sont rangés dans l’ordre croissant.
    $\quad$
  4. L’histogramme ci-dessous représente la répartition des salaires dans une entreprise :
    Affirmation 4 : Plus de $40 \%$ des employés ont un salaire au moins égal à $1~700$ €.
    $\quad$

Exercice 2     16 points

Les baleines émettent des sons, de fréquences comprises entre $10$ Hz et $10$ kHz, qui se propagent dans l’eau à une vitesse d’environ $1~500$ m/s.
L’étude des chants des baleines a pour but d’élucider leur possible signification; sélection du partenaire sexuel et communication sociale sont des hypothèses envisagées.

  1. Convertir la vitesse de propagation de ces sons en km/h.
    $\quad$
  2. Deux groupes de baleines situées au large de l’Alaska communiquent entre eux.
    a. Calculer la distance séparant les deux groupes de baleines.
    Vous donnerez le résultat arrondi à $50$ km près.

    $\quad$
    b. Combien de temps met une onde sonore émise par une baleine du groupe 1 pour parvenir aux baleines du groupe 2 ?
    Vous donnerez le résultat arrondi à la minute.
    $\quad$
  3. Le dessin ci-dessous donne une idée de la taille d’une baleine bleue par rapport à celle d’un homme.
    En considérant que le plongeur sur l’image a une taille égale à $1,75$ m, calculer la taille approximative de la baleine représentée ci-dessous.
    Vous donnerez le résultat arrondi au mètre près.
    La démarche et les traces de recherche seront valorisées et prises en compte dans la notation.
     

Exercice 3     16 points

On demande à quinze élèves d’une classe A et à dix élèves d’une classe B de compter le nombre de SMS qu’ils envoient pendant un week-end.
Le lundi on récupère les résultats dans un tableur.

  1. Calculer le nombre moyen et le nombre médian de SMS envoyés pendant le week-end par ces élèves de la classe A.
    $\quad$
  2. Quelles formules ont pu être écrites dans les cellules $Q3$ et $R3$ du tableur ?
    $\quad$
  3. Calculer le nombre moyen de SMS envoyés pendant le week-end par ces $25$ élèves des classes A et B.
    $\quad$
  4. Calculer le nombre médian de SMS envoyés pendant le week-end par ces $25$ élèves des classes A et B.
    $\quad$

Exercice 4     18 points

  1. Le responsable du plus grand club omnisport de la région a constaté qu’entre le 1$\ier$ janvier 2010 et le 31 décembre 2012 le nombre total de ses adhérents a augmenté de $10 \%$ puis celui-ci a de nouveau augmenté de $5 \%$ entre le 1$\ier$ janvier 2013 et le 31 décembre 2015.
    Le nombre total d’adhérents en 2010 était de $1~000$.
    a. Calculer, en justifiant, le nombre total d’adhérents au 31 décembre 2012.
    $quad$
    b. Calculer, en justifiant, le nombre total d’adhérents au 31 décembre 2015.
    $\quad$
    c. Martine pense qu’au 31 décembre 2015, il devrait y avoir $1~150$ adhérents car elle affirme :
    « une augmentation de $10 \%$ puis une autre de $5 \%$, cela fait une augmentation de $15 \%$ ».
    Qu’en pensez-vous ? Expliquez votre réponse.
    $\quad$
  2. Au 1$\ier$ janvier 2017, les effectifs étaient de $1~260$ adhérents.
    Voici le tableau de répartition des adhérents en 2017 en fonction de leur sport de prédilection.
    $$\begin{array}{|c|c|c|c|}
    \hline
    &\text{Effectif en 2017}&\text{Angle en degrés}&\text{Fréquence en }\%\\
    &&\text{correspondant (pour}& \\
    &&\text{construire le diagramme}&\\
    &&\text{circulaire)}&\\
    \hline
    \text{Planche à voile}&392&&\\
    \hline
    \text{Beach volley}&224&&\\
    \hline
    \text{Surf}&644&&\\
    \hline
    \text{Total}&1~260&360\text{°}&100 \%\\
    \hline
    \end{array}$$
    a. Compléter sur l’annexe, à la fin, la colonne intitulée « Angle en degrés correspondant ».
    (Pour expliquer votre démarche, vous ferez figurer sur votre copie les calculs correspondants.)
    $\quad$
    b. Pour représenter la situation, construire un diagramme circulaire de rayon $4$ cm.
    $\quad$
    c. Compléter sur l’annexe la colonne « Fréquence en % ». (Pour expliquer votre démarche, vous ferez figurer sur votre copie les calculs correspondants. Vous donnerez le résultat arrondi
    au centième près.)
    $\quad$

Annexe

$$\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
&\textbf{Effectif en 2017}&\textbf{Angle en degrés}&\textbf{Fréquence en %}\\
&&\textbf{correspondant}& \\
\hline
\text{Planche à voile}&392&&\\
\hline
\text{Beach volley}&224&&\\
\hline
\text{Surf}&644&&\\
\hline
\textbf{Total}&1~260&360\text{°}&100 \%\\
\hline
\end{array}$$

$\quad$

Exercice 5     16 points

Les deux parties de cet exercice sont indépendantes.

Mario, qui dirige un centre de plongée sous-marine en pleine expansion, décide de construire un bâtiment pour accueillir ses clients lors de la pause déjeuner. Celui-ci sera constitué d’un rez-de-chaussée climatisé servant de réfectoire et d’un étage non climatisé qui pourra être utilisé pour le stockage du matériel de plongée.
Pour finir d’établir son budget, il ne lui reste plus qu’à choisir un modèle de climatisation adapté et à calculer la quantité nécessaire de tuiles pour couvrir le toit de sa construction qu’il a schématisé
ci-dessous.

Document 1 : Croquis réalisé par Mario.

Le croquis n’est pas réalisé à l’échelle.
Les deux pentes (ou versants) de la toiture forment un angle $\widehat{FAD}$ de mesure $76$° qui est partagé en deux parties égales de $38$°.

$\quad$

Document 2 : Tuiles plates choisies par Mario pour recouvrir son toit.

Prévoir $26$ tuiles par m$^2$.
Prix : $0,65$ euro l’unité.
$\quad$

  1. PARTIE 1 : Calcul du budget correspondant aux tuiles.
    a.
    Calculer $AD$. Vous donnerez le résultat arrondi au centimètre près.
    $\quad$
    b.
    Calculer $AE$. Vous donnerez le résultat arrondi au centimètre près.
    $\quad$
    c. En déduire le prix des tuiles nécessaires à la couverture des deux pentes du toit.
    $\quad$
  2. PARTIE 2 : Choix d’un climatiseur adapté.
    À l’aide des documents, faire un choix de climatiseur raisonné, adapté et le moins cher possible pour climatiser le rez-de-chaussée du bâtiment, c’est dire à dire le réfectoire.
    $\quad$
    Document 3 : Comment choisir un climatiseur ?
    Étape 1 : Connaître la puissance frigorifique nécessaire.
    Celle-ci dépend du volume des pièces à refroidir.
    La puissance de froid s’exprime en BTU qui est une unité de mesure frigorifique.
    Le tableau ci-dessous fait la correspondance entre le volume du bâtiment à refroidir et la puissance en BTU nécessaire.
    $$\begin{array}{|l|c|}
    \hline
    \text{Volume}&\text{Puissance frigorifique} \\
    \hline
    100\text{ m}^3&12~000 \text{ BTU}\\
    \hline
    150\text{ m}^3&18~000 \text{ BTU}\\
    \hline
    250\text{ m}^3&25~000 \text{ BTU}\\
    \hline
    300\text{ m}^3&33~000 \text{ BTU}\\
    \hline
    350\text{ m}^3&41~000 \text{ BTU}\\
    \hline
    400\text{ m}^3&49~000 \text{ BTU}\\
    \hline
    450\text{ m}^3&56~000 \text{ BTU}\\
    \hline
    500\text{ m}^3&62~000 \text{ BTU}\\
    \hline
    \end{array}\\
    \begin{array}{lc}
    \phantom{\text{Volume}}&\scriptsize{BTU : British~Thermal~Unit}
    \end{array}$$
    Étape 2 : Choisir le climatiseur le plus adapté.
    $$\begin{array}{|l|c|c|c|}
    \hline
    \begin{array}{l}\text{Modèle de diffé-}\\\text{rentes marques}\end{array}&\text{Type}&\text{Puissance frigorifique}&\text{Prix T.T.C en Euros}\\
    \hline
    \text{Freez 4000}&\text{monobloc}&15~000 \text{ BTU}&880\\
    \hline
    \text{Freez 8000}&\text{monobloc}&22~000 \text{ BTU}&1~050\\
    \hline
    \text{Air 10 pingouin}&\text{Bi-split}&27~000 \text{ BTU}&990\\
    \hline
    \text{Air 100 phoque}&\text{Bi-split}&39~000 \text{ BTU}&1~390\\
    \hline
    \text{Pôle Nord 500}&\text{Quadri-split}&48~000 \text{ BTU}&1~180\\
    \hline
    \text{Laponglace}&\text{Quadri-split}&50~000 \text{ BTU}&2~300\\
    \hline
    \text{Maxi Everest +}&\text{Quadri-split}&53~000 \text{ BTU}&1~990\\
    \hline
    \text{Froid Extrême 2000}&\text{Inverter}&55~000 \text{ BTU}&2~650\\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$

Exercice 6     14 points

Voici un script saisi par Alice dans un logiciel d’algorithmique.

  1. Alice a choisi $3$ comme nombre, calculer les valeurs de Résultat 1 et de Résultat 2 ?
    Justifier en faisant apparaître les calculs réalisés.
    $\quad$
  2. Généralisation
    a. En appelant $x$ le nombre choisi dans l’algorithme, donner une expression littérale traduisant la première partie de l’algorithme correspondant à Résultat 1.
    $\quad$
    b. En appelant $x$ le nombre choisi dans l’algorithme, donner une expression littérale traduisant la deuxième partie de l’algorithme correspondant à Résultat 2.
    $\quad$
    c. Trouver le ou les nombres choisis par Alice qui correspondent au résultat affiché ci-dessous.

$\quad$