Exercice 1

1. $24=2\times 12=8\times 3=2\times 2\times 2\times 3$
   Réponse B
   $\quad$
2. $2~255$ se termine par $5$ : il est donc divisible par $5$.
   La somme des chiffres du nombre $7~113$ vaut $12$ qui est divisible par $3$. Donc $7~113$ est divisible par $3$.
   Ainsi, par déduction, $8~191$ est premier.
   Réponse B
   $\quad$
3. Quand la roue B fait $2$ tours, cela correspond à $2\times 18=36$ mouvements de dents.
   Or $\dfrac{36}{12}=3$.
   La roue A fait donc $3$ tours.
   Réponse A
   $\quad$
4. Dans les triangles $TRS$ et $PRV$ :
   – les droites $(TS)$ et $(PV)$ sont parallèles;
   – le point $R$ appartient au segment $[TV]$;
   – le point $R$ appartient au segment $[SP]$.
   D’après le théorème de Thalès, on a :
   $\dfrac{RT}{RV}=\dfrac{RS}{RP}=\dfrac{ST}{PV}$
   Donc $\dfrac{7,2}{3}=\dfrac{8,4}{PV}$ soit $PV=\dfrac{3\times 8,4}{7,2}=3,5$ cm.
   Réponse C
   $\quad$

 

Exercice 2

1. a. D’après la feuille de calcul $f(-1)=-7$.
   $\quad$
   b. D’après la feuille de calcul, l’antécédent de $5$ est $3$.
   $\quad$
   c. La fonction $f$ est une fonction affine. On doit donc déterminer deux nombres $a$ et $b$ tels que, pour tout nombre $x$, on ait $f(x)=ax+b$.
   On sait, d’après la feuille de calcul, que $f(0)=-4$. Par conséquent $b=-4$.
   Ainsi $f(x)=ax-4$.
   On sait également que $f(-1)=-7$.
   Par conséquent $-7=a\times (-1)-4$
   Soit $-7=-a-4$
   Ainsi $-3=-a$ et $a=3$.
   Donc, pour tout nombre $x$, on a $f(x)=3x-4$.
   $\quad$
   Remarque : D’après la formule $=3*B1-4$ saisie dans la cellule $B2$ on pouvait également dire que $f(x)=3x-4$.
   $\quad$
   d. $f(10)=3\times 10-4=26$.
   $\quad$
2. a. Voici les différentes étapes du programme de calcul :
   $\bullet$ Choisir un nombre
   $\bullet$ Ajouter $3$ à ce nombre
   $\bullet$ Multiplier le résultat obtenu par $2$
   $\bullet$ Soustraire $5$ du résultat précédent.
   $\quad$
   b. Voici les différents résultats obtenus :
   $8\underset{+3}{\longrightarrow}11\underset{\times 2}{\longrightarrow}22 \underset{-5}{\longrightarrow}17$
   Si on choisit le nombre $8$ au départ, on obtient le nombre $17$.
   $\quad$
   c. On considère un nombre $x$. Voici les différents résultats obtenus :
   $x\underset{+3}{\longrightarrow}x+3\underset{\times 2}{\longrightarrow}2(x+3) \underset{-5}{\longrightarrow}2(x+3)-5$
   Or $2(x+3)-5=2x+6-5=2x+1$.
   On obtient bien le nombre $2x+1$ avec ce programme.
   $\quad$
   d. On veut résoudre l’équation $2x+1=6$ soit $2x=5$ et donc $x=\dfrac{5}{2}$.
   Il faut donc choisir le nombre $\dfrac{5}{2}$ au départ pour obtenir $6$.
   $\quad$
3. On veut déterminer le nombre $x$ pour que :
   $2x+1=3x-4$
   Donc $1=x-4$ soit $5=x$.
   En choisissant le nombre $5$, la fonction $f$ et le programme calcul donnent le même résultat.
   $\quad$

 

Exercice 3

1. $\dfrac{150}{500}=0,3$.
   La probabilité qu’il pioche au hasard un bonbon bleu dans son paquet est donc égale à $0,3$.
   $\quad$
2. $\dfrac{20}{100}\times 500=100$.
   Il y a donc $100$ bonbons rouges dans son paquet.
   $\quad$
3. $500-150-100-130=120$.
   Il y a donc $120$ bonbons jaunes dans son paquet.
   Or $120<130$.
   Sam a donc plus de chance de piocher au hasard un bonbon vert.
   $\quad$
4. $140+100+60+100=400$ : il reste donc $400$ bonbons dans le paquet d’Aïcha.
   La probabilité de choisir un bonbon bleu dans ce paquet est $\dfrac{140}{400}=0,35>0,3$.
   Aïcha a donc raison.
   $\quad$

Exercice 4

1. Le coefficient de réduction est $k=\dfrac{35,4}{2~305}=\dfrac{354}{2~305}$.
   Ainsi la hauteur de la pyramide de Khéops est environ égale à $\dfrac{21,6}{k}\approx 140,6$ m.
   $\quad$
2. Le volume de la pyramide du Louvre est :
   $V=\dfrac{35,4^2\times 21,6}{3} =9~022,752$ m$^3$ \approx $9~023$ m$^3$.
   $\quad$
3. Le coefficient d’agrandissement est $k’=\dfrac{2~30,5}{35,4}$.
   Pour déterminer le volume de la pyramide de Khéops, il faut multiplier le volume de la pyramide du Louvre par $k’^3 \approx 276$.
   $\quad$

 

Exercice 5

Dans le triangle ADC rectangle en $D$ on a :
$\sin \widehat{DCA}=\dfrac{AD}{AC}$ donc $\sin 24 = \dfrac{AD}{5,6}$ et $AD=5,6\sin 24\approx 2,278$

$\cos \widehat{DCA}=\dfrac{CD}{AC}$ donc $\cos 24=\dfrac{CD}{5,6}$ et $CD=5,6\cos 24\approx 5,116$
Le voilier 2 a donc parcouru $CD+DA\approx 7,394$ km soit $7,4$ km arrondi au dixième.

$\quad$

Dans le triangle $ABC$ rectangle en $B$ on applique le théorème de Pythagore.
$AC^2=AB^2+BC^2$ donc $5,6^2=4,8^2+BC^2$
Par conséquent $BC^2=5,6^2-4,8^2=8,32$.
Le voilier 1 a donc parcouru $BC+AB=\sqrt{8,32}+4,8\approx 7,7$ km arrondi au dixième.

Le voilier 1 a par conséquent parcouru une plus grande distance que le voilier 2.
$\quad$

 

Exercice 6

1. $\dfrac{200}{19,78}\approx 10,11$.
   La vitesse de l’athlète le plus rapide est environ égale à $10,11$ m/s.
   $\quad$
2. $\dfrac{19,78+20,02+20,12+20,12+20,13+20,19+20,23+20,43}{8}=20,127~5$.
   La moyenne des performances de ces athlètes est environ égale à $20,13$ s.
   $\quad$
3. L’étendue des performances en 2016 est $e=20,43-19,78=0,65$.
   On constate donc que les performances ont en moyenne baissé mais que l’ écart entre le plus rapide et le plus lent est sensiblement resté le même entre 1964 et 2016.
   $\quad$

 

Exercice 7

1. Le plus haut niveau d’eau dans le port est d’environ $6$ m à $20$ h.
   $\quad$
2. La hauteur d’eau a été de $5$ m a environ $6$ h, $10$h $30$m, $18$ h et $23$ h.
   $\quad$
3. a. $14$ h $30-8$ h $16 = 6$h $14$
   Il s’est écoulé $6$h $14$ min entre la marée haute et la marée basse.
   $\quad$
   b. $5,89-0,90=4,99$
   Entre les deux marées il y a une différence de $4,99$ m.
   $\quad$
4. Le coefficient de marée est $C=\dfrac{5,89-0,90}{5,34}\times 100\approx 93$.
   Il s’agissait donc d’une marée de vives-eaux.
   $\quad$

 

Exercice 1     12 points

Dans ce questionnaire à choix multiples, pour chaque question des réponses sont proposées, une seule est exacte. Sur la copie, écrire le numéro de la question et recopier la bonne réponse.
Pour la question 4, une justification est attendue.

1. La décomposition en produit de facteurs premiers de $24$ est :
   A. $2\times 3\times 4$
   B. $2\times 2\times 2\times 3$
   C. $2\times 2\times 6$
   $\quad$
2. Lequel de ces nombres est premier?
   A. $2~255$
   B. $8~191$
   C. $7~113$
   $\quad$
3. La roue B fait $2$ tours, combien de tours fait la roue A?
   
   A. $3$ tours
   B. $4$ tours
   C. $5$ tours
   $\quad$
4. Pour cette question, une justification est attendue.

   
   A. $PV=3$ cm
   B. $PV=20,16$ cm
   C. $PV=3,5$ cm
   $\quad$

$\quad$

Exercice 2     20 points

1. On a utilisé une feuille de calcul pour obtenir les images de différentes valeurs de $x$ par une fonction affine $f$.
   Voici une copie de l’écran obtenu :
   
   a. Quelle est l’image de $-1$ par la fonction $f$?
   $\quad$
   b. Quel est l’antécédent de $5$ par la fonction $f$?
   $\quad$
   c. Donner l’expression de $f(x)$.
   $\quad$
   d. Calculer $f(10)$.
   $\quad$
2. On donne le programme suivant qui traduit un programme de calcul.
   
   a. Écrire sur votre copie les deux dernières étapes du programme de calcul :
   $$\begin{array}{|l|} \hline \bullet \text{ Choisir un nombre}\\
   \bullet \text{ Ajouter $3$ à ce nombre.}\\
   \bullet \ldots\\
   \bullet \ldots\\
   \hline
   \end{array}$$
   $\quad$
   b. Si on choisit le nombre $8$ au départ, quel sera le résultat?
   $\quad$
   c. Si on choisit $x$ comme nombre de départ, montrer que le résultat obtenu avec ce programme de calcul sera $2x+1$.
   $\quad$
   d. Quel nombre doit-on choisir au départ pour obtenir $6$?
   $\quad$
3. Quel nombre faudrait-il choisir pour que la fonction $f$ et le programme de calcul donnent le même résultat?
   $\quad$

$\quad$

Exercice 3     15 points

Sam préfère les bonbons bleus.
Dans son paquet de $500$ bonbons, $150$ sont bleus, les autres sont rouges, jaunes ou verts.

1. Quelle est la probabilité qu’il pioche au hasard un bonbon bleu dans son paquet?
   $\quad$
2. $20\%$ des bonbons de ce paquet sont rouges. Combien y a-t-il de bonbons rouges?
   $\quad$
3. Sachant qu’il y a $130$ bonbons verts dans ce paquet, Sam a-t-il plus de chance de piocher au hasard un bonbon vert ou un bonbon jaune?
   $\quad$
4. Aïcha avait acheté le même paquet il y a quinze jours, il ne lui reste que $140$ bonbons bleus, $100$ jaunes, $60$ rouges et $100$ verts. Elle dit à Sam « Tu devrais piocher dans mon paquet, plutôt que dans le tien, tu aurais plus de chance d’obtenir un bleu».
   A-t-elle raison?
   $\quad$

$\quad$

Exercice 4     12 points

Photo de Benh LIEU SONG

La pyramide du Louvre à Paris est une pyramide à base carrée de côté $35,4$ m et de hauteur $21,6$ m.
C’est une réduction de la pyramide de Khéops en Égypte, qui mesure environ $230,5$ m de côté.

1. Montrer que la hauteur de la pyramide de Khéops est d’environ $140,6$ m.
   $\quad$
2. Calculer le volume en m$^3$ de la pyramide du Louvre. (Arrondir à l’unité)
   $\quad$
3. Par quel nombre peut-on multiplier le volume de la pyramide du Louvre pour obtenir celui de la pyramide de Khéops? (Arrondir à l’unité)

Rappel :

Volume d’une pyramide $=\dfrac{\text{Aire de la base  $\times$ Hauteur}}{3}$
$\quad$

$\quad$

Exercice 5     14 points

Lorsqu’un voilier est face au vent, il peut pas avancer.

Si la destination choisie nécessite de prendre une direction face au vent, le voilier devra progresser en faisant des zigzags.

Comparer les trajectoires de ces deux voiliers en calculant la distance, en kilomètres et arrondie au dixième, que chacun a parcourue.

$\quad$

$\quad$

Exercice 6     12 points

Le tableau ci-dessous regroupe les résultats de la finale du 200 m hommes des Jeux olympiques de Rio de Janeiro en 2016, remporté par Usain BOLT en $19,78$ secondes. $$\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
\textbf{Rang}&\textbf{Athlète}&\textbf{Nation}&\textbf{Performance en seconde}\\
\hline
1&\text{U. Bolt}&\text{Jamaïque}&19,78\\
\hline
2&\text{A. De Grasse}&\text{Canada}&20,02\\
\hline
3&\text{C. Lemaitre}&\text{France}&20,12\\
\hline
4&\text{A. Gemili}&\text{Grande-Bretagne}&20,12\\
\hline
5&\text{C. Martina}&\text{Hollande}&20,13\\
\hline
6&\text{L. Meritt}&\text{USA}&20,19\\
\hline
7&\text{A. Edward}&\text{Panam}&20,23\\
\hline
8&\text{R. Guliyev}&\text{Turquie}&20,43\\
\hline
\end{array}$$

1. Calculer la vitesse moyenne en m/s de l’athlète le plus rapide. Arrondir au centième.
   $\quad$
2. Calculer la moyenne des performances des athlètes. Arrondir au centième.
   $\quad$
3. En 1964 à Tokyo, la moyenne des performances des athlètes sur le 200 m hommes était de $20,68$ s et l’étendue était de $0,6$ s. En comptant ces résultats à ceux de 2016, qu’observe-t-on?
   $\quad$

$\quad$

Exercice 7     15 points

Le graphique ci-dessous donne les hauteurs d’eau au port de La Rochelle le mercredi $15$ août 2018.

1. Quel a été le plus haut niveau d’eau dans le port?
   $\quad$
2. À quelles heures approximativement la hauteur d’eau a-t-elle été de $5$ m?
   $\quad$
3. En utilisant les données du tableau ci-dessous, calculer :
   $$\begin{array}{|c|c|c|}
   \hline
   &\text{Heure}&\begin{array}{c}\text{Hauteur}\\\text{(en m)}\end{array}\\
   \hline
   \text{Marée haute}&8\text{h}16&5,89\\
   \hline
   \text{Marée basse}&14\text{h}30&0,90\\
   \hline
   \end{array}$$
   a. Le temps qui s’est écoulé entre la marée haute et la marée basse.
   $\quad$
   b. La différence de hauteur d’eau entre la marée haute et la marée basse.
   $\quad$
4. À l’aide des deux documents suivants, comment qualifier la marée du 15 août 2018 entre $8$h$16$ et $14$h$30$ à La Rochelle?
   $\quad$

   Document 1 :
   Le coefficient de marée peut-être calculé de la façon suivante à La Rochelle :
   $\hspace{2cm} C=\dfrac{H_h-H_b}{5,34}\times 100$
   Avec :
   $\quad$ $\bullet$ $H_h$ : hauteur d’eau à marée haute.
   $\quad$ $\bullet$ $H_b$ : hauteur d’eau à marée basse.
   $\quad$
   Document 2 :
   Le coefficient de marée prend une valeur comprise entre $20$ et $120$.
   $\quad$ $\bullet$ Une marée de coefficient supérieur à $70$ est qualifiée de marée de vives-eaux.
   $\quad$ $\bullet$ Une marée de coefficient inférieur à $70$ est qualifiée de marée de mortes-eaux.
   $\quad$