Exercice 1

1. $f$ est une fonction affine. Elle est donc représentée par une droite.
   On a $f(0)=3$ : la droite passe par le point de coordonnées $(0;3)$.
   Le coefficient directeur est égal à $-2<0$. La fonction est donc décroissante.
   Réponse B
   $\quad$
2. L’image de $1$ est $2$.
   Réponse A
   $\quad$
3. On a saisi $=-\text{B1}+1$.
   Réponse C
   $\quad$
4. Pour tout nombre $x$ on a, en utilisant l’identité remarquable $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$ :
   $\begin{align*} (3x-7)^2&=(3x)^2-2\times 7\times 3x+7^2\\
   &=9x^2-42x+49\end{align*}$
   Sans utiliser cette identité remarquable on pouvait procéder de la façon suivante :
   $\begin{align*}(3x-7)^2&=(3x-7)(3x-7)\\
   &=(3x)^2-7\times 3x-7\times 3x+(-7)^2\\
   &=9x^2-21x-21x+49\\
   &=9x^2-42x+49\end{align*}$
   Réponse B
   $\quad$

 

Exercice 2

1. a. Dans le triangle $PSH$ rectangle en $P$ on applique le théorème de Pythagore.
   $\begin{align*} HS^2&=PS^2+PH^2 \\
   &=140^2+90^2 \\
   &=19~600+8~100\\
   &=27~700\end{align*}$
   Par conséquent $HS=\sqrt{27~700} \approx 166,4$ cm.
   $\quad$
   b. $166,4$ cm$=1~664$ mm.
   $\dfrac{95}{100}\times 1~700=1~615<1~664$.
   Ce support sera conforme au conseil du fabriquant.
   $\quad$
2. Dans le triangle $PSH$ rectangle en $P$ on a :
   $\tan\widehat{PSH}=\dfrac{PH}{PS}$
   Soit $\tan\widehat{PSH}=\dfrac{90}{140}$
   Donc $\widehat{PSH}\approx 32,7$°.
   Par conséquent $30<\widehat{PSH}<35$
   L’angle d’inclinaison permettra un fonctionnement optimal des panneaux.
   $\quad$
3. Dans les triangles $PSH$ et $TSU$ on a :
   – $T$ appartient à $[PS]$ et $U$ appartient à $[HS]$
   – $(TU)$ et $(PH)$ sont parallèles car perpendiculaires à la droite $(PS)$.
   D’après le théorème de Thalès :
   $\dfrac{ST}{SP}=\dfrac{SU}{SH}=\dfrac{TU}{PH}$
   Ainsi $\dfrac{ST}{140}=\dfrac{50}{90}$
   Donc $ST=\dfrac{140\times 50}{90}$ soit $ST\approx 77,8$ cm
   $\quad$
4. Olivia a besoin de :
   – $3$ tubes pour les barres latérales et la barre de renfort (car $4+0,5=4,5$).
   – $1$ tube pour la base des $3$ équerres (car $3\times 1,4=4,2$).
   – $1$ tube pour la partie verticale des $3$ équerres et une hypoténuse (car $3\times 0,9+1,664=4,364$)
   – $1$ tube pour les $2$ hypoténuses restantes.
   Elle doit donc acheter $6$ tubes. Cela coutera donc $6\times 37=222$ euros.
   $\quad$

 

Exercice 3

Partie A

1. Deux boules sur $5$ portent la lettre G.
   La probabilité de gagner est donc égale à $\dfrac{2}{5}$.
   $\quad$
2. Les nombres premiers inférieurs ou égaux à $6$ sont $2$, $3$ et $5$.
   La probabilité de gagner est donc égale à $\dfrac{3}{6}=\dfrac{1}{2}$.
   $\quad$
3. a. $\dfrac{2}{5}=0,4<\dfrac{1}{2}$. Le jeu 1 présente la plus faible probabilité de gagner.
   $\quad$
   b. $\dfrac{1}{4}=\dfrac{2}{8}$.
   On doit donc rajouter $8-5=3$ boules portant une lettre différente de G. On peut, par conséquent, rajouter $3$ boules portant la lettre P.
   $\quad$

Partie B

On peut représenter le jeu à l’aide d’un tableau à double entrées :
$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
&1&2&3&4&5&6\\
\hline
N&&&&&&\\
\hline
P&&&&&&\\
\hline
P&&&&&&\\
\hline
G&&X&X&&X&\\
\hline
G&&X&X&&X&\\
\hline\end{array}$$
Sur les $30$ combinaisons possibles, $6$ permettent de gagner.
La probabilité de gagner est donc égale à $\dfrac{6}{30}=\dfrac{1}{5}$.
$\quad$

 

Exercice 4

1. a. On obtient successivement les nombres suivants :
   $4\underset{\text{carré}}{\to}16\underset{\times 2}{\to}32\underset{+4}{\to}36\underset{-66}{\to}-30$
   En choisissant $4$ au départ on obtient $-30$.
   $\quad$
   b. $-3\underset{\text{carré}}{\to}9\underset{\times 2}{\to}18\underset{+(-3)}{\to}15\underset{-66}{\to}-51$
   En choisissant $-3$ au départ on obtient $-51$.
   $\quad$
2. a. On obtient :
   $\quad$
   
   $\quad$
   b. $5,5$ correspond à la valeur que le nombre de départ doit prendre pour obtenir $0$ comme résultat final.
   $\quad$
3. a. On obtient successivement les nombres suivants :
   $x\underset{\text{carré}}{\to}x^2\underset{\times 2}{\to}2x^2\underset{+x}{\to}2x^2+x\underset{-66}{\to}2x^2+x-66$
   Le résultat final est donc $2x^2+x-66$.
   $\quad$
   b. On cherche à résoudre l’équation $(2x-11)(x+6)=0$.
   IL s’agit d’une équation produit nul.
   Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, un de ses facteurs au moins est nul.
   Donc ici $2x-11=0$ ou $x+6=0$
   Soit $2x=11$ ou $x=-6$
   Il faut donc donner les valeurs $-6$ ou $5,5$ à $x$ pour obtenir $0$ avec le programme.
   $\quad$

 

Exercice 5

1. Circonférence d’un grand cercle : $2\pi\times 60=120\pi$ m.
   Circonférence d’un petit cercle : $2\pi\times 30=60\pi$ m.
   Longueur de la piste :
   $\begin{align*} L&=120+120\pi+90+60\pi+60+90+60+60 \\
   &=180\pi+480\\
   &\approx 1~045\end{align*}$
   La piste bien environ $1~045$ m.
   $\quad$
2. La vitesse moyenne du professionnel est
   $\begin{align*} v_p&=\dfrac{1~045}{60} \\
   &\approx 17,42 \text{ m/s}\end{align*}$
   $\quad$
3. La vitesse moyenne de l’amateur est :
   $\begin{align*} v_a&=\dfrac{1~045}{72} \\
   &\approx 14,51 \text{ m.s} \\
   &\approx 52,25 \text{ km/h } \qquad \text{on multiplie par $3,6$} \\
   &<60 \text{ km/h}\end{align*}$
   Cet amateur respecte les règles de sécurité.
   $\quad$
4. a. On a
   $\begin{align*} 60&=2\times 30 \\
   &=2\times 2\times 15 \\
   &=2^2\times 3\times 5\end{align*}$
   et
   $\begin{align*} 72&=2\times 36 \\
   &=2\times 2\times 18 \\
   &=2\times 2\times 2\times 9\\
   &=2^3\times 3^2\end{align*}$
   $\quad$
   b. On cherche le plus petit multiple de $60$ et $72$.
   Il s’agit donc de $2^3\times 3^2\times 5=360$.
   C’est donc au bout de $360$ s soit $6$ minutes qu’ils se retrouveront pour la première fois sur la ligne de départ ensemble.
   $\quad$
   c. $\dfrac{360}{60}=6$ et $\dfrac{360}{72}=5$.
   Le professionnel aura effectué $6$ tours et l’amateur $5$.
   $\quad$

 

L’évaluation prend en compte la clarté et la précision des raisonnements ainsi que, plus largement la qualité de la rédaction. Elle prend en compte les essais et les démarches engagées, même non abouties.
Toutes les réponses doivent être justifiées, sauf mention contraire.

Exercice 1     16 points

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples QCM. Aucune justification n’est demandée.
Pour chaque question, trois réponses sont proposées, une seule est exacte.
Écrire sur votre copie, le numéro de la question et la réponse correspondante.

Question 1 : Soit $f$ la fonction définie par $f(x)=-2x+3$.
Quelle est la représentation de la fonction $f$ ?

$\quad$

Question 2 : On considère la fonction dont la représentation graphique est donnée ci-dessous.

D’après le graphique, quelle est l’image de $1$ par cette fonction ?

$\begin{array}{c|c|c}
\textbf{Réponse A}&\textbf{Réponse B}&\textbf{Réponse C}\\
\text{L’image de $1$ est $2$}&\text{L’image de $1$ est $-2$}&\text{L’image de $1$ est $0$}\end{array}$
$\quad$

Question 3 : On donne ci-dessous un tableau de valeurs de la fonction $h$ définie par $h(x)=-x+1$ réalisé à l’aide d’un tableur :

Quelle formule a-t-on saisie dans la case $\text{B2}$ avant de l’étirer vers la droite .

$\begin{array}{c|c|c}
\textbf{Réponse A}&\textbf{Réponse B}&\textbf{Réponse C}\\
=-(-3)+1&=-x+1&=-\text{B1}+1\end{array}$
$\quad$

Question 4 : Quelle est la forme développée de l’expression $(3x-7)^2$ ?

$\begin{array}{c|c|c}
\textbf{Réponse A}&\textbf{Réponse B}&\textbf{Réponse C}\\
3x^2-49&9x^2-42x+49&9x^2-49\end{array}$
$\quad$

$\quad$

Exercice 2     22 points

Olivia a décidé d’installer sur le sol, plat de son jardin, quatre panneaux photovoltaïque pour produire une partie de l’électricité qu’elle consomme.

Description : Un panneau photovoltaïque est un dispositif permettant de générer de l’électricité à partir de l’énergie lumineuse.

Caractéristiques d’un panneau

• Longueur $1~700$ mm
• Largeur $1~000$ mm
• Épaisseur $40$ mm
• Fonctionnement optimal : inclinaison par rapport à l’horizontale comprise entre $30$° et $35$°
• Orientation : Sud

Pour incliner ses panneaux et obtenir un fonctionnement optimal, Olivia choisit de fabriquer elle-même un support. Pour cela, elle réalise les schémas suivants de support qui sera constitué de trois équerres identiques, reliées entre elles par trois barres latérales de $4$ m de long.
Chaque support est prévu pour accueillir quatre panneaux.

1. a. Vérifier que la distance $HS$ arrondie au millimètre est égale à $166,4$ cm.
   $\quad$
   b. Pour que le panneau soit bien tenu, le fabricant conseille que la distance $HS$ du support mesure au moins $95 \%$ de la longueur du panneau. On rappelle que cette longueur mesure $1~700$ mm. Ce support sera-t-il conforme aux conseils du fabricant ?
   $\quad$
2. L’angle d’inclinaison, $\widehat{HSP}$ permettra-t-il un fonctionnement optimal des panneaux  ?
   $\quad$
3. Pour consolider l’ensemble, Olivia fixe, à l’intérieur de ses équerres, une barre de renfort de $50$ cm de longueur .
   Sur le plan détaillé d’une équerre, cette barre est représentée par le segment $[AT]$ perpendiculaire au segment $[PS]$.
   Calculer la longueur $ST$. On arrondira au millimètre.
   $\quad$
4. Olivia, achète des tubes en acier inoxydable de longueur $4,5$ m à $37$ € l’unité pour fabriquer le support composé de trois équerres et des trois barres latérales. Montrer qu’elle doit prévoir un budget minimum de $222$ € pour l’achat des tubes en acier inoxydable.
   $\quad$

$\quad$

Exercice 3     18 points

Dans cette exercice, on étudie la probabilité de gain des deux jeux ci-dessous.

Partie A

Jeu 1

Un sac contient cinq boules indiscernables au toucher, dont une portant la lettre N, deux, portant la lettre G et deux portant la lettre P.

Jeu 2

Une roue à six secteurs angulaires identiques numérotées de un à six.

1. On considère le jeu 1.
   On pioche une boule au hasard dans ce sac et on note la lettre inscrite sur la boule choisie.
   On considère qu’on a gagné si on pioche la lettre G.
   Montrer que la probabilité de gagner avec ce jeu et de $\dfrac{2}{5}$.
   $\quad$
2. On considère le jeu 2.
   On fait tourner la roue et on note le nombre d’inscrits sur le secteur pointé par la flèche.
   On considère qu’on a gagné si on s’arrête sur un nombre premier.
   Quelle est la probabilité de gagner à ce jeu ?
   $\quad$
3. a. Quel est le jeu qui présente la plus faible probabilité de gagner ?
   $\quad$
   b. Proposer une liste de boules à rajouter pour que la probabilité de gagner avec le jeu 1 soit de $\dfrac{1}{4}$.
   $\quad$

Partie B

Dans cette partie, toute trace de recherche sera valorisée.

On choisit finalement de combiner ces deux jeux.
Dans un premier temps, le joueur doit tirer une boule dans le sac du jeu 1.
On doit ensuite faire tourner la roue du jeu 2.
Le joueur gagne un lot s’il a tiré une boule portant la lettre G et si la roue s’arrête sur un secteur angulaire dont le numéro est un nombre premier.
Quelle est la probabilité de gagner à cette combinaison des deux jeux ?

$\quad$

$\quad$

Exercice 4     22 points

On considère le programme de calcul suivant :

• Choisir un nombre
• Prendre le carré de ce nombre
• Multiplier le résultat par $2$
• Ajouter le nombre de départ
• Soustraire $66$

1. a. Montrer que si le nombre choisi au départ est $4$, le résultat obtenu est $-30$.
   $\quad$
   b. Quel résultat obtient-on si le nombre choisi au départ est $-3$ ?
   $\quad$
2. a. On s’intéresse au bloc d’instruction ci-dessous intitulé « Programme de calcul ».
   On souhaite le compléter pour calculer le résultat obtenu avec le programme de calcul en fonction du nombre choisi au départ.
   On précise que deux variables ont été créées : « nombre choisi » qui correspond au nombre choisi au départ, et « Résultat ».
   $\quad$
   
   $\quad$
   Écrire sur votre copie le contenu qui doit être inséré dans les emplacements A et B. Aucune justification n’est attendue pour cette question.
   $\quad$
   b. Lucie insère le bloc précédent dans le script ci-dessous et observe la réponse donnée par le lutin :
   $\quad$
   
   $\quad$
   À quoi correspond la valeur $5,5$ donnée comme réponse par le lutin avec le programme de Lucie ?
   $\quad$
3. On nomme $x$ le nombre choisi au départ.
   a. Déterminer l’expression obtenue par ce programme de calcul en fonction de $x$.
   $\quad$
   b. On admet que $(2x-11)(x +6)$ est la forme factorisée de l’expression trouvée à la question précédente.
   Pour quelle(s) valeur(s) de $x$, le résultat obtenu avec le programme est-il égal à $0$ ?
   $\quad$

$\quad$

Exercice 5     22 points

Un professionnel et un amateur vont faire une séance de karting sur la piste ci-dessous (représentée en traits pleins).
Cette piste est constituée de segments, de demi-cercles et de quarts de cercles.
Le professionnel fait un tour de piste en $60$ secondes.
L’amateur fait un tour de piste en $72$ secondes.

1. Montrer que la longueur de la piste est de $1~045$ m, arrondie à l’unité près.
   Toute trace de recherche sera valorisée.
   $\quad$
2. Calculer la vitesse moyenne du professionnel en m/s. On arrondira au centième près.
   $\quad$
3. Pour des raisons de sécurité sur ce circuit, les amateurs ne doivent pas dépasser les $60$ km/h de moyenne. Cet amateur respecte-t-il les règles de sécurité ?
   $\quad$
4. Le professionnel et l’amateur partent en même temps de la ligne de départ et font plusieurs tours de circuit.
   On rappelle que le professionnel effectue un tour en $60$ s et l’amateur en $72$ s.
   a. Décomposer $60$ et $72$ en produit de facteurs premiers.
   $\quad$
   b. Au bout de combien de temps se retrouveront-ils pour la première fois sur la ligne
   de départ ensemble ?
   $\quad$
   c. Combien auront-ils alors effectué de tours chacun ?
   $\quad$

$\quad$