DNB – Polynésie – Septembre 2019

Polynésie – Septembre 2019

DNB – Mathématiques – Correction

L’énoncé de ce sujet de brevet est disponible ici .

Ex 1

Exercice 1

  1. $(-2)^4=(-2)\times (-2)\times (-2)\times (-2)=16$
    Réponse A
    Evidemment, si tu as vu en cours permettant de calculer plus rapidement tu peux les utiliser.
    $\quad$
  2. $90$ km/h $=90\times \dfrac{1~000}{3~600}$ m/s $=25$ m/s
    Réponse C
    $\quad$
  3. $24=2\times 12=2\times 2\times 6=2\times 2\times 2\times 3$
    Réponse B
    $\quad$
  4. L’image de $-1$ par la fonction $f$ est :
    $f(-1)=2\times (-1)+5=-2+5=3$
    Réponse A
    $\quad$
  5. Si on multiplie par $3$ toutes les dimensions d’un rectangle, son aire est multipliée par $3^2=9$.
    Réponse C
    $\quad$

Ex 2

Exercice 2

  1. $35+23+14+28=100$
    Il a donc téléchargé $100$ titres.
    $\quad$
  2. a. La probabilité de l’événement « Obtenir un titre Pop » est $\dfrac{35}{100}=0,35$.
    $\quad$
    b. La probabilité de l’événement « Le titre diffusé est du Rap » est $\dfrac{23}{100}$.
    Par conséquent la probabilité de l’événement « Le titre diffusé n’est pas du Rap » est $1-\dfrac{23}{100}=0,77$.
    $\quad$
    c. $\dfrac{1,5\times 1~000}{4}=375$
    Il peut télécharger au maximum $375$ nouveaux titres musicaux.
    $\quad$

 

Ex 3

Exercice 3

  1. a. La valeur $1~783,04$ représente la somme des salaires versés en 2015.
    $\quad$
    b. On a pu écrire $=\text{SOMME}(A4:L4)$ ou $=\text{SOMME}(C4:L4)$
    $\quad$
    c. On doit saisir cette formule dans la cellule $G16$.
    $\quad$
  2. La somme des salaires versés est $1~783,04+2~446,69+2~069,62=6~299,35$.
    Le montant de « l’indemnité de rupture » est donc $\dfrac{6~299,35}{120}\approx 52,49$ €
    $\quad$
  3. Le salaire moyen versé à l’assistante maternelle sur toute la durée du contrat est :
    $m=\dfrac{6~299,35}{10+12+8}\approx 209,98$ €.
    $\quad$
  4. L’étendue des salaires versés est $270,15-77,81=192,34$ €.
    $\quad$

 

Ex 4

Exercice 4

  1. On peut utiliser la symétrie centrale de centre $A$ pour passer du rectangle $FGHI$ eu rectangle $PQRS$.
    $\quad$
  2. L’image du rectangle $FGHI$ par la rotation de centre $A$ d’angle $90$° est le rectangle $JKLM$.
    $\quad$
  3. a. Le point $V$ appartient au côté $[EB]$ du rectangle $BCDE$.
    Les côtés opposés d’un rectangle sont parallèles.
    Par conséquent les côtés $[EB]$ et $[DC]$ sont parallèles et les droites $(DC)$ et $(VB)$ sont également parallèles.
    $\quad$
    b. Dans les triangles $AVB$ et $ACD$ :
    – le point $B$ appartient au segment $[AC]$;
    – le point $V$ appartient au segment $[AD]$;
    – les droites $(VB)$ et $(DC)$ sont parallèles.
    D’après le théorème de Thalès on a :
    $\dfrac{AV}{AD}=\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{VB}{DC}$
    soit $\dfrac{10}{30}=\dfrac{4}{DC}$
    Donc $DC=\dfrac{30\times 4}{10}=12$ cm
    $\quad$
    c. Dans le triangle $ADC$ rectangle en $C$ on a :
    $\tan \widehat{DAC}=\dfrac{DC}{AC}=\dfrac{12}{30}=0,4$
    Par conséquent $\widehat{DAC}\approx 22$°.
    $\quad$

 

Ex 5

Exercice 5

  1. Dans le triangle $CDP$ rectangle en $P$ on applique le théorème de Pythagore.
    $\begin{align*} CD^2&=DP^2+CP^2 \\
    &=1,3^2+1,3^2 \\
    &=3,38\end{align*}$
    Par conséquent $CD=\sqrt{3,38}\approx 1,84$ m.
    $\quad$
  2. $EP=ED+DP=BC+CP=BP$
    Le rectangle $ABPE$ possède donc deux côtés consécutifs de même longueur. C’est un carré.
    $\quad$
  3. On a donc $AB=EP=0,4+1,3=1,7$ m
    Le périmètre du polygone $ABCDE$ est donc
    $\begin{align*} \mathscr{P}&=AB+CB+CD+DE+AE\\
    &\approx 1,7+0,4+1,84+0,4+1,7\\
    &\approx 6,04 \text{ m}\end{align*}$
    $\quad$
  4. $\dfrac{6,04}{2,4}\approx 2,52$
    On a donc eu besoin de $3$ planches pour construire le tour du bac à sable.
    $\quad$
  5. L’aire du carré $ABPE$ est $\mathscr{A}_1=1,7^2=2,89$ m$^2$.
    L’aire du triangle $DPC$ est $\mathscr{A}_2=\dfrac{1,3\times 1,3}{2}=0,845$ m$^2$.
    L’aire du polygone $ABCDE$ est donc :
    $\mathscr{A}=\mathscr{A}_1-\mathscr{A}_2=2,045$ m$^2$.
    $\quad$
  6. Volume du prisme droit :
    $V=2,045\times 0,15=0,306~75$ m$^3$ $=306,75$ L
    On a donc eu besoin de plus de $300$ L de sable pour emplir complètement le bac.
    $\quad$

 

Ex 6

Exercice 6

  1. a. $\dfrac{2,4-1,9}{0,1}=5$.
    La pression sera descendue à $1,9$ bars en $5$ mois s’il n’y a aucun gonflage.
    $\quad$
    b. Pour des pneus gonflés à $1,9$ bars le véhicule consomme entre $2\%$ et environ $4,5\%$ de carburant en plus.
    $\quad$
  2. a. $6\times \left(1-\dfrac{15}{100}\right)=5,1$
    La consommation de la voiture de Paul sera de $5,1$ L aux $100$ km.
    $\quad$
    b. Consommation de carburant de Paul avant le stage : $\dfrac{6\times 20~000}{100}=1~200$ L.
    $\dfrac{1~200\times 15}{100}=100$ L
    Il peut donc espérer économiser $100$ L par an.
    $\quad$
    c. $100\times 1,35=135$
    Il pourra réaliser $135$ € d’économie par an.
    $\quad$
    d. $2\times 135=270>200$.
    Son stage sera amorti au bout de deux ans.
    $\quad$

 

Ex 7

Exercice 7

  1. Voici, pour le lutin n°1, les différentes étapes de calcul:
    $7\underset{+5}{\longrightarrow}12\underset{\times 2}{\longrightarrow}24\underset{\times -7}{\longrightarrow}17$
    On obtient bien $17$ avec le lutin n°1.
    $\quad$
  2. $7\underset{\times 7}{\longrightarrow}49\underset{-8}{\longrightarrow}41$
    On obtient bien $41$ avec le lutin n°2.
    $\quad$
  3. a. Instruction 3 : $x+5$
    Instruction 4 : $2(x+5)$
    Instruction 5 : $2(x+5)-x$
    $\quad$
    b. $2(x+5)-x=2x+10-x=x+10$
    L’expression peut bien s’écrire $x+10$.
    $\quad$
  4. On peut remplacer l’instruction 3 par celle proposée par Célia et supprimer les instructions 4 et 5.
    $\quad$
  5. L’expression du lutin n°2 est, si on appelle $x$ le nombre saisi, $7x-8$.
    On veut donc résoudre l’équation $7x-8=x+10$
    donc $6x-8=10$
    soit $6x=18$
    d’où $x=3$
    Paul a donc saisi le nombre $3$.
    $\quad$

 

Énoncé

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