DNB – Polynésie – Septembre 2019

Polynésie – Septembre 2019

DNB – Mathématiques – Correction

L’énoncé de ce sujet de brevet est disponible ici .

Ex 1

Exercice 1

  1. $(-2)^4=(-2)\times (-2)\times (-2)\times (-2)=16$
    Réponse A
    Evidemment, si tu as vu en cours permettant de calculer plus rapidement tu peux les utiliser.
    $\quad$
  2. $90$ km/h $=90\times \dfrac{1~000}{3~600}$ m/s $=25$ m/s
    Réponse C
    $\quad$
  3. $24=2\times 12=2\times 2\times 6=2\times 2\times 2\times 3$
    Réponse B
    $\quad$
  4. L’image de $-1$ par la fonction $f$ est :
    $f(-1)=2\times (-1)+5=-2+5=3$
    Réponse A
    $\quad$
  5. Si on multiplie par $3$ toutes les dimensions d’un rectangle, son aire est multipliée par $3^2=9$.
    Réponse C
    $\quad$

Ex 2

Exercice 2

  1. $35+23+14+28=100$
    Il a donc téléchargé $100$ titres.
    $\quad$
  2. a. La probabilité de l’événement « Obtenir un titre Pop » est $\dfrac{35}{100}=0,35$.
    $\quad$
    b. La probabilité de l’événement « Le titre diffusé est du Rap » est $\dfrac{23}{100}$.
    Par conséquent la probabilité de l’événement « Le titre diffusé n’est pas du Rap » est $1-\dfrac{23}{100}=0,77$.
    $\quad$
    c. $\dfrac{1,5\times 1~000}{4}=375$
    Il peut télécharger au maximum $375$ nouveaux titres musicaux.
    $\quad$

 

Ex 3

Exercice 3

  1. a. La valeur $1~783,04$ représente la somme des salaires versés en 2015.
    $\quad$
    b. On a pu écrire $=\text{SOMME}(A4:L4)$ ou $=\text{SOMME}(C4:L4)$
    $\quad$
    c. On doit saisir cette formule dans la cellule $G16$.
    $\quad$
  2. La somme des salaires versés est $1~783,04+2~446,69+2~069,62=6~299,35$.
    Le montant de « l’indemnité de rupture » est donc $\dfrac{6~299,35}{120}\approx 52,49$ €
    $\quad$
  3. Le salaire moyen versé à l’assistante maternelle sur toute la durée du contrat est :
    $m=\dfrac{6~299,35}{10+12+8}\approx 209,98$ €.
    $\quad$
  4. L’étendue des salaires versés est $270,15-77,81=192,34$ €.
    $\quad$

 

Ex 4

Exercice 4

  1. On peut utiliser la symétrie centrale de centre $A$ pour passer du rectangle $FGHI$ eu rectangle $PQRS$.
    $\quad$
  2. L’image du rectangle $FGHI$ par la rotation de centre $A$ d’angle $90$° est le rectangle $JKLM$.
    $\quad$
  3. a. Le point $V$ appartient au côté $[EB]$ du rectangle $BCDE$.
    Les côtés opposés d’un rectangle sont parallèles.
    Par conséquent les côtés $[EB]$ et $[DC]$ sont parallèles et les droites $(DC)$ et $(VB)$ sont également parallèles.
    $\quad$
    b. Dans les triangles $AVB$ et $ACD$ :
    – le point $B$ appartient au segment $[AC]$;
    – le point $V$ appartient au segment $[AD]$;
    – les droites $(VB)$ et $(DC)$ sont parallèles.
    D’après le théorème de Thalès on a :
    $\dfrac{AV}{AD}=\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{VB}{DC}$
    soit $\dfrac{10}{30}=\dfrac{4}{DC}$
    Donc $DC=\dfrac{30\times 4}{10}=12$ cm
    $\quad$
    c. Dans le triangle $ADC$ rectangle en $C$ on a :
    $\tan \widehat{DAC}=\dfrac{DC}{AC}=\dfrac{12}{30}=0,4$
    Par conséquent $\widehat{DAC}\approx 22$°.
    $\quad$

 

Ex 5

Exercice 5

  1. Dans le triangle $CDP$ rectangle en $P$ on applique le théorème de Pythagore.
    $\begin{align*} CD^2&=DP^2+CP^2 \\
    &=1,3^2+1,3^2 \\
    &=3,38\end{align*}$
    Par conséquent $CD=\sqrt{3,38}\approx 1,84$ m.
    $\quad$
  2. $EP=ED+DP=BC+CP=BP$
    Le rectangle $ABPE$ possède donc deux côtés consécutifs de même longueur. C’est un carré.
    $\quad$
  3. On a donc $AB=EP=0,4+1,3=1,7$ m
    Le périmètre du polygone $ABCDE$ est donc
    $\begin{align*} \mathscr{P}&=AB+CB+CD+DE+AE\\
    &\approx 1,7+0,4+1,84+0,4+1,7\\
    &\approx 6,04 \text{ m}\end{align*}$
    $\quad$
  4. $\dfrac{6,04}{2,4}\approx 2,52$
    On a donc eu besoin de $3$ planches pour construire le tour du bac à sable.
    $\quad$
  5. L’aire du carré $ABPE$ est $\mathscr{A}_1=1,7^2=2,89$ m$^2$.
    L’aire du triangle $DPC$ est $\mathscr{A}_2=\dfrac{1,3\times 1,3}{2}=0,845$ m$^2$.
    L’aire du polygone $ABCDE$ est donc :
    $\mathscr{A}=\mathscr{A}_1-\mathscr{A}_2=2,045$ m$^2$.
    $\quad$
  6. Volume du prisme droit :
    $V=2,045\times 0,15=0,306~75$ m$^3$ $=306,75$ L
    On a donc eu besoin de plus de $300$ L de sable pour emplir complètement le bac.
    $\quad$

 

Ex 6

Exercice 6

  1. a. $\dfrac{2,4-1,9}{0,1}=5$.
    La pression sera descendue à $1,9$ bars en $5$ mois s’il n’y a aucun gonflage.
    $\quad$
    b. Pour des pneus gonflés à $1,9$ bars le véhicule consomme entre $2\%$ et environ $4,5\%$ de carburant en plus.
    $\quad$
  2. a. $6\times \left(1-\dfrac{15}{100}\right)=5,1$
    La consommation de la voiture de Paul sera de $5,1$ L aux $100$ km.
    $\quad$
    b. Consommation de carburant de Paul avant le stage : $\dfrac{6\times 20~000}{100}=1~200$ L.
    $\dfrac{1~200\times 15}{100}=100$ L
    Il peut donc espérer économiser $100$ L par an.
    $\quad$
    c. $100\times 1,35=135$
    Il pourra réaliser $135$ € d’économie par an.
    $\quad$
    d. $2\times 135=270>200$.
    Son stage sera amorti au bout de deux ans.
    $\quad$

 

Ex 7

Exercice 7

  1. Voici, pour le lutin n°1, les différentes étapes de calcul:
    $7\underset{+5}{\longrightarrow}12\underset{\times 2}{\longrightarrow}24\underset{\times -7}{\longrightarrow}17$
    On obtient bien $17$ avec le lutin n°1.
    $\quad$
  2. $7\underset{\times 7}{\longrightarrow}49\underset{-8}{\longrightarrow}41$
    On obtient bien $41$ avec le lutin n°2.
    $\quad$
  3. a. Instruction 3 : $x+5$
    Instruction 4 : $2(x+5)$
    Instruction 5 : $2(x+5)-x$
    $\quad$
    b. $2(x+5)-x=2x+10-x=x+10$
    L’expression peut bien s’écrire $x+10$.
    $\quad$
  4. On peut remplacer l’instruction 3 par celle proposée par Célia et supprimer les instructions 4 et 5.
    $\quad$
  5. L’expression du lutin n°2 est, si on appelle $x$ le nombre saisi, $7x-8$.
    On veut donc résoudre l’équation $7x-8=x+10$
    donc $6x-8=10$
    soit $6x=18$
    d’où $x=3$
    Paul a donc saisi le nombre $3$.
    $\quad$

 

Énoncé

Exercice 1     15 points

Dans ce questionnaire à choix multiples, pour chaque question des réponses sont proposées, une seule est exacte. Sur la copie, écrire le numéro de la question et recopier la bonne réponse.
Aucune justification n’est attendue.

$$\begin{array}{|l|c|c|c|}
\hline
\text{Questions} &\text{A} &\text{B} &\text{C}\\
\hline
\textbf{1. } \text{Le nombre $(- 2)^4$ est égal à :}& 16 &- 8 &20~000\\
\hline
\textbf{2. } \text{Une vitesse de $90$ km/h est égale à :} &0,025 \text{ m/s} &25~000 \text{ m/s} &25 \text{m/s}\\
\hline
\begin{array}{l}\textbf{3. } \text{La décomposition en produit de facteurs}\\\text{ premiers de $24$ est:}\end{array} &2\times3\times4 & 2\times2\times2\times3 & 2\times2\times6\\
\hline
\begin{array}{l}\textbf{4. } \text{Soit $f$ la fonction affine définie par }\\
\hspace{1.5cm}f : x \longmapsto 2x + 5 \\
\text{L’image de $- 1$ par la fonction $f$ est:}\end{array}&3 &6 &- 7\\
\hline
\begin{array}{l}\textbf{5. } \text{Si on multiplie par $3$ toutes les dimensions}\\ \text{ d’un rectangle, son aire est multipliée par:}\end{array} &3 &6 &9\\
\hline
\end{array}$$

$\quad$

Exercice 2     12 points

Hugo a téléchargé des titres musicaux sur son téléphone. Il les a classés par genre musical comme indiqué dans le tableau ci-dessous :

$$\begin{array}{|l|c|c|c|c|}
\hline
\text{Genre musical} &\text{Pop} &\text{Rap} &\text{Techno} &\text{Variété}\\
\hline
\text{Nombre de titres} &35 &23 &14 &28\\
\hline
\end{array}$$

  1. Combien de titres a-t-il téléchargés?
    $\quad$
  2. Il souhaite utiliser la fonction « lecture aléatoire » de son téléphone qui consiste à choisir au hasard parmi tous les titres musicaux téléchargés, un titre à diffuser. Tous les titres sont différents et chaque titre a autant de chances d’être choisi. On s’intéresse au genre musical du premier titre diffusé.
    a. Quelle est la probabilité de l’évènement: « Obtenir un titre Pop » ?
    $\quad$
    b. Quelle est la probabilité de l’évènement « Le titre diffusé n’est pas du Rap » ?
    $\quad$
    c. Un fichier musical audio a une taille d’environ $4$ Mo (Mégaoctets). Sur le téléphone d’Hugo, il reste $1,5$ Go (Gigaoctet) disponible.
    Il souhaite télécharger de nouveaux titres musicaux. Combien peut-il en télécharger au maximum ?
    Rappel: $1$ Go $= 1~000$ Mo
    $\quad$

$\quad$

Exercice 3     14 points

Une assistante maternelle gardait plusieurs enfants dont Farida qui est entrée à l’école en septembre 2017. Ses parents ont alors rompu leur contrat avec cette assistante maternelle. La loi les oblige à verser une « indemnité de rupture ».
Le montant de cette indemnité est égal au $1/120 \ieme$ du total des salaires nets perçus par l’assistante maternelle pendant toute la durée du contrat.
Ils ont reporté le montant des salaires nets versés, de mars 2015 à août 2017, dans un tableur comme ci-dessous :

  1. a. Que représente la valeur $1~783,04$ dans la cellule $M4$ ?
    $\quad$
    b. Quelle formule a-t-on écrit dans la cellule $M4$ pour obtenir cette valeur ?
    $\quad$
    c. Dans quelle cellule doit-on écrire la formule $= M4 + M9 + M14$ ?
    $\quad$
  2. Déterminer le montant de « l’indemnité de rupture ». Arrondir au centime d’euro près.
    $\quad$
  3. Déterminer le salaire moyen net mensuel versé à cette assistante maternelle sur toute la durée du contrat de la famille de Farida. Arrondir au centime d’euro près.
    $\quad$
  4. Calculer l’étendue des salaires versés.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 4     14 points

On s’intéresse aux ailes d’un moulin à vent décoratif de jardin. Elles sont représentées par la figure ci-dessous:

On donne :

  • $BCDE$, $FGHI$, $JKLM$ et $PQRS$ sont des rectangles superposables.
  • $C$, $B$, $A$, $J$, $K$ d’une part et $G$, $F$, $A$, $P$, $Q$ d’autre part sont alignés.
  • $AB = AF = AJ = AP$
  1. Quelle transformation permet de passer du rectangle $FGHI$ au rectangle $PQRS$ ?
    $\quad$
  2. Quelle est l’image du rectangle $FGHI$ par la rotation de centre $A$ d’angle $90$° dans le sens inverse des aiguilles d’une montre?
    $\quad$
  3. Soit $V$ un point de $[EB]$ tel que $BV = 4$ cm.


    On donne:
    $AB = 10$ cm et $AC = 30$ cm.
    Attention la figure n’est pas construite à la taille réelle.
    a. Justifier que $(DC)$ et $(VB)$ sont parallèles.
    $\quad$
    b. Calculer $DC$.
    $\quad$
    c. Déterminer la mesure de l’angle $\widehat{DAC}$. Arrondir au degré près.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 5     16 points

On a construit un bac à sable pour enfants.

Ce bac a la forme d’un prisme droit de hauteur $15$ cm. La base de ce prisme droit est représentée par le polygone $ABCDE$ ci-dessous:

Attention la figure n’est pas construite à la taille réelle.

On donne :

  • $PC = PD = 1,30$ m
  • $ED = BC = 40$ cm
  • $E, D, P$ sont alignés
  • $B, C, P$ sont alignés
  1. Calculer $CD$. Arrondir au centimètre près.
    $\quad$
  2. Justifier que le quadrilatère $ABPE$ est un carré.
    $\quad$
  3. En déduire le périmètre du polygone $ABCDE$. Arrondir au centimètre près.
    $\quad$
  4. On a construit le tour du bac à sable avec des planches en bois de longueur $2,40$ m et de hauteur $15$ cm chacune. De combien de planches a-t-on eu besoin?
    $\quad$
  5. Calculer, en m$^2$, l’aire du polygone $ABCDE$.
    $\quad$
  6. A-t-on eu besoin de plus de $300$~L de sable pour remplir complètement le bac ?
    Rappel : Volume d’un prisme droit $=$ aire de la base $\times$ hauteur.
    $\quad$

$\quad$

 

Exercice 6     15 points

L’éco-conduite est un comportement de conduite plus responsable permettant de :

  • réduire ses dépenses : moins de consommation de carburant et un coût d’entretien du véhicule réduit ;
  • limiter les émissions de gaz à effet de serre;
  • réduire le risque d’accident de $10$ à $15\%$ en moyenne.
  1. Un des grands principes est de vérifier la pression des pneus de son véhicule. On considère des pneus dont la pression recommandée par le constructeur est de $2,4$ bars.
    a. Sachant qu’un pneu perd environ $0,1$ bar par mois, en combien de mois la pression des pneus sera descendue à $1,9$ bar, s’il n’y a eu aucun gonflage ?
    $\quad$
    b. Le graphique ci-dessous donne un pourcentage approximatif de consommation supplémentaire de carburant en fonction de la pression des pneus (zone grisée) :

    source : www.eco-drive.ch
    D’après le graphique, pour des pneus gonflés à $1,9$ bars alors que la pression recommandée est de $2,4$ bars, donner un encadrement approximatif du pourcentage de la consommation supplémentaire de carburant.
    $\quad$
  2. Paul a remarqué que lorsque les pneus étaient correctement gonflés, sa voiture consommait en moyenne $6$ L aux $100$ km. Il décide de s’inscrire à un stage d’éco-conduite afin de diminuer sa consommation de carburant et donc l’émission de CO$_2$. En adoptant les principes de l’écoconduite, un conducteur peut diminuer sa consommation de carburant d’environ $15\%$. Il souhaite, à l’issue du stage, atteindre cet objectif.
    a. Quelle sera alors la consommation moyenne de la voiture de Paul ?
    $\quad$
    b. Sachant qu’il effectue environ $20~000$ km en une année, combien de litres de carburant peut-il espérer économiser ?
    $\quad$
    c. Sa voiture roule à l’essence sans plomb. Le prix moyen est $1,35$ €/L. Quel serait alors le montant de l’économie réalisée sur une année ?
    $\quad$
    d. Ce stage lui a coûté $200$ €. Au bout d’un an peut-il espérer amortir cette dépense?
    $\quad$

$\quad$

Exercice 7     14 points

On donne le programme ci-dessous où on considère $2$ lutins. Pour chaque lutin, on a écrit un script correspondant à un programme de calcul différent.

  1. Vérifier que si on saisit $7$ comme nombre, le lutin n°1 affiche comme résultat $17$ et le lutin n°2 affiche $41$.
    $\quad$
  2. Quel résultat affiche le lutin n°2 si on saisit le nombre $- 4$ ?
    $\quad$
  3. a. Si on appelle $x$ le nombre saisi, écrire en fonction de $x$ les expressions qui traduisent le programme de calcul du lutin n°1, à chaque étape (instructions 3 à 5).
    $\quad$
    b. Montrer que cette expression peut s’écrire $x + 10$.
    $\quad$
  4. Célia affirme que plusieurs instructions dans le script du lutin n°1 peuvent être supprimées et remplacées par celle ci-dessous.

    Indiquer, sur la copie, les numéros des instructions qui sont alors inutiles.
    $\quad$
  5. Paul a saisi un nombre pour lequel les lutins n°1 et n°2 affichent le même résultat. Quel est ce nombre ?
    $\quad$

$\quad$