Exercice 1

1. $1-\dfrac{1}{8}-\dfrac{1}{4}=1-\dfrac{3}{8}=\dfrac{5}{8}$
   La proportion d’adhérents ayant un âge de 25 à 42 ans est $\dfrac{5}{8}$.
   Réponse C
   $\quad$
2. $46~000\times \left(1+\dfrac{20}{100}\right)=46~000\times 1,2=55~200$.
   Je paierai donc $55~200$ F.
   Réponse B
   $\quad$
3. Si on multiplie toutes la longueur de l’arête d’un cubre par $k$ alors :
   – le périmètre d’un carré est multiplié est $k$;
   – l’aire d’un carré est multipliée par $k^2$;
   – le volume du cube est multiplié par $k^3$.
   Le volume du cube est donc multiplié par $3^3=27$.
   Réponse D
   $\quad$
4. $23$ et $37$ ne sont pas divisibles par $3$ car la somme de leur chiffres n’est pas divisible par $3$.
   $23$ et $37$ sont divisibles par $1$. Ils ont donc au moins un diviseur commun.
   $23$ et $37$ sont impairs.
   Par conséquent $23$ et $37$ sont premiers.
   Réponse A
   $\quad$
5. $f(3)=3^2-2\times 3+7=9-6+7=10$
   Réponse A
   $\quad$

Exercice 2

1. moyenne $=\dfrac{0\times 1 +10\times 4 + 15\times 6+\ldots +22 \times 2}{29}$ $=\dfrac{483}{29}$ $\approx 16,66$.
   $\quad$
2. a. $\dfrac{29}{2}=14,5$ la médiane est donc la $15$ème valeur c’est-à-dire $18$.
   $\quad$
   b. Cela signifie donc que la moitié des plants ont une taille inférieure ou égale à $18$ cm et la moitié des plants ont une taille supérieure ou égale à $18$ cm.
   $\quad$

Exercice 3

1. Deux secteurs angulaires ($3$ et $6$) sur les $6$ portent un numéro multiple de $3$. La probabilité d’obtenir un multiple de $3$ est $\dfrac{2}{6}=\dfrac{1}{3}$.
   $\quad$
2. La probabilité de tirer une boule rouge est $\dfrac{3}{8}$.
   Donc la probabilité de gagner le gros lot est $\dfrac{3}{8}\times \dfrac{1}{3}=\dfrac{1}{8}$.
   $\quad$
3. On appelle $x$ le nombre de boules rouges.
   On veut donc que $\dfrac{x}{5+x}=\dfrac{1}{2}$
   soit $x=\dfrac{1}{2}(x+5)$
   par conséquent $x=\dfrac{x}{2}+2,5$
   d’où $\dfrac{x}{2}=2,5$
   finalement $x=5$.
   Il faut donc mettre $5$ boules rouges dans l’urne pour la probabilité de tirer une boule rouge soit de $0,5$.
   $\quad$

Exercice 4

1. $\quad$
   On doit saisir le script suivant :
   $\quad$
2. Pour obtenir la figure souhaitée il faut saisir le script suivant :
   

Exercice 5

1. a. $f(5)=220-5=215$.
   La fréquence cardiaque maximale recommandée, avec la première formule, pour un enfant de $5$ ans est de $215$ pulsations/minutes.
   $\quad$
   b. $g(5) = 208-0,7\times 5= 204,5$.
   La fréquence cardiaque maximale recommandée, avec la seconde formule, pour un enfant de $5$ ans est de $204$ pulsations/minutes.
   $\quad$
2. a.
   $\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
   \hline
   x&5&10&20&30&40&50&60&70&80&90&100\\
   \hline
   f(x)&215&210&200&190&180&170&160&150&140&130&120\\
   \hline
   g(x)&204,5&201&194&187&180&173&166&159&152&143&138\\
   \hline
   \end{array}$
   $\quad$
   b. et c.
   
3. On cherche la valeur de $x$ à partir de laquelle $g(x)\pg f(x)$ :
   – graphiquement : on cherche l’abscisse du point d’intersection des droites $d$ et $d’$. On trouve $x=40$
   – avec le tableau : on cherche la valeur de $x$ pour laquelle les deux formules fournissent la même valeur. On trouve $x=40$
   – résolution d’inéquation :
   $220-x \pp 208-0,7x$ soit $12 \pp 0,3x$
   donc, en divisant les deux membres par $0,3$ on obtient : $40 \pp x$.
   Avec la nouvelle formule, c’est à partir de $40$ ans que la fréquence cardiaque maximale recommandée est supérieure ou égale à celle calculée avec l’ancienne formule.
   $\quad$
4. $g(30)=187$
   fréquence cardiaque optimale : $0,8 \times 187=149,6$.
   Il faut donc que la fréquence cardiaque soit de $149$ pulsations/minutes pour que l’exercice physique soit le plus efficace pour une personne de 30 ans.
   $\quad$

Exercice 6

1. a. Sur les $5\times 29=145$ souris, $2\times 23=46$ souris ont développé la maladie.
   La proportion de souris malades lors de ce test est $\dfrac{46}{145}$.
   $\quad$
   b. $46=2\times 23$ et $145=5\times 29$.
   $46$ et $145$ sont donc premiers entre-eux.
   Par conséquent, on ne peut pas simplifier la fraction.
   $\quad$
2. a. $140=2^2\times 5\times 7$
   $870=2\times 3\times 5 \times 29$
   $\quad$
   b. Par conséquent $\dfrac{140}{870}=\dfrac{2^2\times 5 \times 7}{2\times 3\times 5\times 29}=\dfrac{2\times 7}{3\times 29}=\dfrac{14}{87}$
   $\quad$

Exercice 7

1. Dans le triangle $ABC$ rectangle en $A$ on applique le théorème de Pythagore.
   $BC^2=AB^2+AC^2=300^2+400^2=250~000$
   Donc $BC=\sqrt{250~000}=500$ m.
   $\quad$
2. Dans les triangles $ABC$ et $CDE$ :
   – les droites $(AB)$ et $(DE)$ sont parallèles (car perpendiculaires à $(AE)$).
   – $C$ appartient à $[AE]$ et $C$ appartient à $[BD]$
   D’après le théorème de Thalès, on a :
   $\dfrac{CA}{CE}=\dfrac{CB}{CD}=\dfrac{AB}{DE}$
   Soit $\dfrac{400}{1~000}=\dfrac{300}{DE}$
   Donc $DE=\dfrac{300\times 1~000}{400}=750$ m.
   $\quad$
3. Le triangle $CDE$ est un agrandissement du triangle $ABC$ de rapport $k=\dfrac{1~000}{400}=2,5$.
   Par conséquent $CD=2,5\times 500=1~250$.
   La longueur du parcours $ABCDE$ est donc $L=300+500+1~250+750=2~800$ m.
   $\quad$

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