E3C – automatismes – Séries technologiques – janvier 2020

E3C – Automatismes

Séries technologiques

  1. Un sac contient $11$ jetons rouges, $3$ jetons bleus et $6$ jetons verts.
    Déterminer, en pourcentage, la proportion de jetons verts dans le sac.
    $\quad$
    Correction question 1

    Il y a $11+3+6=20$ jetons au total.
    Le proportion de jetons verts est :
    $p=\dfrac{6}{20}=\dfrac{3}{10}=0,3=30\%$
    $\quad$

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    $\quad$
  2. Donner le résultat sous forme simplifiée de $\dfrac{3}{2}-2\times \dfrac{1}{3}$.
    $\quad$
    Correction question 2

    $\begin{align*}\dfrac{3}{2}-2\times \dfrac{1}{3}&=\dfrac{3}{2}-\dfrac{2}{3} \\
    &=\dfrac{9}{6}-\dfrac{4}{6} \\
    &=\dfrac{5}{6}\end{align*}$
    $\quad$

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    $\quad$
  3. Développer et réduire $3x(x-1)+(x+2)^2$.
    $\quad$
    Correction question 3

    $\begin{align*} A&=3x(x-1)+(x+2)^2 \\
    &=3x^2-3x+\left(x^2+2\times 2x+4\right) \\
    &=3x^2-3x+x^2+4x+4\\
    &=4x^2+x+4\end{align*}$
    $\quad$

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    $\quad$

    $\quad$
  4. $f$ est la fonction définie par $f(x)=2x^2+3x-5$.
    Calculer l’image de $-1$ par $f$.
    $\quad$
    Correction question 4

    $\begin{align*} f(-1)&=2\times (-1)^2+3\times (-1)-5 \\
    &=2\times 1-3-5\\
    &=2-8\\
    &=-6\end{align*}$
    $\quad$

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    $\quad$
  5. Donner la forme factorisée de $(2x-3)(x+2)-5(x+2)$.
    $\quad$
    Correction question 5

    $\begin{align*} A=&(2x-3)(x+2)-5(x+2) \\
    &=(x+2)\left[(2x-3)-5\right] \\
    &=(x+2)(2x-3-5)\\
    &=(x+2)(2x-8)\end{align*}$
    $\quad$

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    $\quad$
  6. La surface $S$ d’une sphère de rayon de rayon $R$ est donnée par la formule $S=4\pi\times R^2$. Exprimer $R$ en fonction de $S$.
    $\quad$
    Correction exercice 6

    $S=4\pi\times R^2 \ssi R^2=\dfrac{S}{4\pi}$
    On sait que $R$ est positif donc $R=\sqrt{\dfrac{S}{4\pi}}$.
    $\quad$

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    $\quad$
  7. Calculer, en cm$^3$, le volume $V$ d’un cylindre de rayon $R=0,4$ cm et de hauteur $h=5$ cm en prenant pour $\pi$ la valeur $3$. On rappelle que $V=\pi\times R^2\times h$.
    $\quad$
    Correction question 7

    $\begin{align*} V&=\pi\times R^2\times h \\
    &\approx 3 \times 0,4^2 \times 5 \\
    &\approx 3\times 0,16 \times 5 \\
    &\approx 3\times 0,8 \\
    &\approx 2,4\end{align*}$
    Ainsi $V \approx 2,4$ cm$^3$.
    $\quad$

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    $\quad$
  8. Déterminer l’équation réduite de la droite $(D)$ passant par les points $A(2;4)$ et $B(6;6)$.
    $\quad$
    Correction question 8

    $x_A\neq x_B$ le coefficient directeur de la droite $(D)$ est donc :
    $a=\dfrac{6-4}{6-2}=\dfrac{2}{4}=\dfrac{1}{2}$
    L’équation réduite de la droite $(D)$ est donc de la forme $y=\dfrac{1}{2}x+b$.
    Or
    $\begin{align*} A(2;4)\in (D)&\ssi 4=\dfrac{1}{2}\times 2+b \\
    &\ssi 4=1+b \\
    &\ssi b=3\end{align*}$
    L’équation réduite de $(D)$ est $y=\dfrac{1}{2}x+3$.
    $\quad$
    Vérification avec le point $B(6;6)$.
    $ \dfrac{1}{2}\times 6+3=3+3=6=y_B$.
    $\quad$

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    $\quad$

Résoudre graphiquement avec la précision permise par le graphique :

  1. $f(x)=0$
    Correction question 9

    La courbe $\mathscr{C}_f$ coupe l’axe des abscisses aux points d’abscisse $0$ et $9$.
    Les solutions de l’équation sont donc $0$ et $9$.
    $\quad$

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    $\quad$
  2. $f(x)=g(x)$
    $\quad$
    Correction question 10

    Les points d’intersection des deux courbes ont pour abscisse $2$ et $9$.
    Les solutions de l’équation sont $2$ et $9$.
    $\quad$

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    $\quad$

Source du sujet : https://toutmonexam.fr/epreuve.php?id=4075