E3C – Exercices – séries technologiques – fonctions – janvier 2020

E3C – Fonctions

Séries technologiques

Exercice 

Une entreprise fabrique des lampes solaires. Elle ne peut pas produite plus de $5~000$ lampes par mois.

Le résultat qu’elle peut réaliser en un mois, exprimé en centaines d’euros, est modélisé par une fonction $b$ dont la représentation graphique est donnée ci-dessous. Si ce résultat est positif, on l’appelle bénéfice. L’axe des abscisses indique le nombre de lampes produites et vendues exprimé en centaines.

En utilisant le graphique :

  1. Lire $b(10)$ et interpréter ce résultat dans le contexte de l’exercice.
    $\quad$
  2. Déterminer avec la précision que la lecture graphique permet, le bénéfice maximal que peut réaliser l’entreprise et les quantités de lampes à fabriquer correspondantes.
    $\quad$
  3. La fonction $b$ définie sur l’intervalle $[0;+\infty[$ est définie par l’expresion suivante : $$b(x)=-3x^2+160x-1~600$$
    a. Montrer que $b(x)=(x-40)(-3x+40)$.
    $\quad$
    b. Résoudre l’équation $b(x)=0$
    $\quad$
    c. Donner la valeur exacte du maximum de la fonction $b$ et en quel nombre il est atteint.
    $\quad$

$\quad$


$\quad$

Correction Exercice

  1. Graphiquement $b(10)=-300$.
    Pour $1~000$ lampes produites et vendues, le résultat vaut $30~000$ €.
    $\quad$
  2. Le bénéfice maximal vaut $54~000$ €. Il est atteint quand l’entreprise produit et vend $2~700$ lampes.
    $\quad$
  3. a. On a :
    $\begin{align*} (x-40)(-3x+40)&=-3x^2+40x+120x-1~600 \\
    &=-3x^2+160x-1~600 \\
    &=b(x)\end{align*}$
    $\quad$
    b. $b(x)=0 \ssi (x-40)(-3x+40)=0$
    Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, un de ses facteurs au moins est nul.
    Donc $x-40=0 \ssi x=40$
    ou $-3x+40=0 \ssi -3x=-40 \ssi x=\dfrac{40}{3}$
    $\quad$
    c. Le maximum est atteint pour $x=\dfrac{-160}{-2\times 3}=\dfrac{80}{3}$.
    Le maximum vaut alors :
    $b\left(\dfrac{80}{3}\right)=\dfrac{1~600}{3}$
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

Source : https://ccbac.fr/voir.php?id=2349

$\quad$