E3C – Exercices – séries technologiques – fonctions – janvier 2020

E3C – Fonctions

Séries technologiques

Exercice 

On s’intéresse à la fonction polynôme $f$ définie sur $\R$ par : $$f(x)=x^2+2x-3$$

  1. Montrer que $1$ est une racine de la fonction $f$.
    $\quad$
  2. Montrer que pour tout réel $x$, $f(x)=(x-1)(x+3)$
    $\quad$
  3. Résoudre dans $\R$ l’équation $f(x)=0$.
    $\quad$
  4. Donner une équation de l’axe de symétrie de la courbe représentative de la fonction $f$.
    $\quad$
  5. Dresser le tableau de signes de la fonction $f$ sur $\R$.
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. $f(1)=1^2+2\times 1-3=1+2-3=0$
    Par conséquent $1$ est une racine de la fonction $f$.
    $\quad$
  2. Pour tout réel $x$ on a :
    $\begin{align*} (x-1)(x+3)&=x^2+3x-x-3 \\
    &=x^2+2x-3 \\
    &=f(x)\end{align*}$
  3. $f(x)=0 \ssi (x-1)(x+3)=0$
    Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, un de ses facteurs au moins est nul.
    Donc $x-1=0 \ssi x=0$ ou $x+3=0 \ssi x=-3$
    Le solutions de l’équation sont donc $1$ et $-3$.
    $\quad$
  4. On a $f(1)=f(-3)=0$
    Or $\dfrac{1+(-3)}{2}=-1$
    Une équation de l’axe de symétrie est donc $x=-1$.
    $\quad$
  5. $x-1>0 \ssi x>1$ et $x+3>0 \ssi x>-3$
    On obtient donc le tableau de signes suivant :

    $\quad$

[collapse]

$\quad$

Source : https://ccbac.fr/voir.php?id=2365

$\quad$