E3C – Fonctions

Séries technologiques

Exercice

Un mobile se déplace sur une droite graduée en mètre.
Son abscisse $p(t)$ sur cette droite graduée (exprimée en mètre) en fonction du temps écoulé $t$ (exprimé en minute) depuis le départ est donnée par : $$p(t)=0,25t^2-t-3$$

Quelle est la position du mobile à l’instant $t=0$ min (c’est-à-dire au début du mouvement), puis à l’instant $t=2$ min?
$\quad$
La courbe représentative de la fonction $p$ est tracée ci-dessous.

À l’aide de cette courbe, répondre aux questions suivantes :
a. Déterminer à quel(s) instant(s) le mobile est à la position $-3$.
$\quad$
b. Quelle est la vitesse moyenne du mobile (exprimée en m.min$^{-1}$) entre les instants $t=6$ min et $t=8$ min?
$\quad$
a. Montrer que, pour tout réel $t\pg 0$, $p(t)=0,25(t-6)(t+2)$.
$\quad$
b. À l’aide du tableau de signes de $p$ sur $[0;+\infty[$, déterminer à quels instants le mobile a une abscisse positive ou nulle.
$\quad$

$\quad$

Correction Exercice

$p(0)=-3$.
Le mobile se trouve à $-3$ m de l’origine de la droite graduée à $t=0$ min.
$p(2)=0,25\times 2^2-2-3=-4$
Le mobile se trouve à $-4$ m de l’origine de la droite graduée à $t=2$ min.
$\quad$
a. Graphiquement le mobile à la position $-3$ quand $t=0$ min et $t=6$ min.
$\quad$
b. La vitesse moyenne entre ces deux instants est :
$v=\dfrac{p(8)-p(6)}{8-6}=\dfrac{5-0}{2}=2,5$ m.min$^{-1}$.
$\quad$
a. Pour tout réel $t\pg 0$ on a :
$\begin{align*} 0,25(t-6)(t+2)&=0,25\left(t^2+2t-6t-12\right) \\
&=0,25\left(t^2-4t-12\right) \\
&=0,25t^2-t-3\\
&=p(t)\end{align*}$
$\quad$
b. On a :
$t-6=0 \ssi t=6$ et $t-6>0 \ssi t>6$
Sur $[0;+\infty[$, on a $t+2>0$
On obtient ainsi le tableau de signes suivant :
L’abscisse du mobile est positive ou nulle à partir de $t=6$ min.
$\quad$

[collapse]

$\quad$

Source : https://ccbac.fr/voir.php?id=2393

$\quad$