E3C – Fonctions

Séries technologiques

Exercice

Une entreprise produit mensuellement entre $200$ et $3~000$ panneaux solaires.

On modélise le résultat de l’entreprise réalisé sur la vente de $x$ centaines de panneaux solaires par la fonction $f$ définie sur l’intervalle $[2;30]$ par : $$f(x)=-2x^2+90x-400$$

On admet que, pour tout $x$ de l’intervalle $[2;30]$, on a $f(x)=-2(x-40)(x-5)$.
Donner le tableau de signes de la fonction $f$ sur l’intervalle $[2;30]$.
$\quad$
À partir de quel volume de production de panneaux solaires le résultat réalisé par l’entreprise est positif?
$\quad$
On note $f’$ la fonction dérivée de la fonction $f$ sur l’intervalle $[2;30]$.
Donner l’expression de $f'(x)$ en fonction de $x$.
$\quad$
Donner le tableau de variations de la fonction $f$ sur l’intervalle $[2;30]$.
$\quad$
Déterminer la valeur du bénéfice maximal et le volume de production correspondant.
$\quad$

$\quad$

Correction Exercice

On a :
$x-40=0 \ssi x=40$ et $x-40>0 \ssi x> 40$
$x-5=0\ssi x=5$ et $x-5>0\ssi x>5$
On obtient donc le tableau de signes suivant :
$\quad$
D’après le tableau de signes précédent, $f(x)$ est positif sur l’intervalle $[5;30]$.
L’entreprise doit donc produire au moins $500$ panneaux solaires pour que le résultat soit positif.
$\quad$
On a $f(x)=-2x^2+90x-400$
Donc $f'(x)=-2\times 2x+90 = -4x+90$
$\quad$
On a :
$-4x+90=0 \ssi -4x=-90 \ssi x=22,5$
$-4x+90>0 \ssi -4x>-90 \ssi x<22,5$
On obtient donc le tableau de variations suivant :
$\quad$
D’après le tableau de variations précédent, le bénéfice maximal est de $612,5$ €. Il est atteint quand l’entreprise produit $2~250$ panneaux.
$\quad$

[collapse]

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Source : https://ccbac.fr/voir.php?id=2393

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