E3C – Fonctions

Séries technologiques

On considère la fonction $f$ définie sur l’intervalle $[-4;4]$ par $f(x)=x^2-2x-3$.

Calculer l’image de $-1$ par $f$.
$\quad$
Montrer que $3$ est solution de l’équation $f(x)=0$.
$\quad$
En utilisant les questions 1. et 2. donner une forme factorisée de $f(x)$.
$\quad$
Dresser le tableau de signes de $f$ sur l’intervalle $[-4;4]$.
$\quad$
Parmi les trois courbes suivantes, déterminer, en justifiant, celle qui représente graphiquement la fonction $f$.$\quad$

$\quad$

Correction Exercice

On a :
$\begin{align*} f(-1)&=(-1)^2-2\times (-1)-3\\
&=1+2-3\\
&=0\end{align*}$
L’image de $-1$ par la fonction $f$ est donc $0$.
$\quad$
On a :
$\begin{align*} f(3)&=3^2-2\times 3-3\\
&=9-6-3\\
&=0\end{align*}$
Par conséquent $3$ est solution de l’équation $f(x)=0$.
$\quad$
Le coefficient principal de $f(x)$, polynôme du second degré, est $a=1$.
On sait que $f(-1)=f(3)=0$
Par conséquent $f(x)=1\times \left(x-(-1)\right)(x-3)=(x+1)(x-3)$.
$\quad$
On a :
$x+1=0 \ssi x=-1$ et $x+1>0\ssi x>-1$
$x-3=0 \ssi x=3$ et $x-3>0 \ssi x>3$
On obtient donc le tableau de signes suivant :

$\quad$
La courbe $C_3$ ne convient pas puisqu’elle coupe l’axe des abscisses aux points d’abscisse $0$ et $4$.
La courbe $C_1$ ne convient pas puisqu’elle est au-dessus de l’axe des abscisses sur l’intervalle $[-1;3]$.
La courbe $C_2$ coupe l’axe des abscisses au point d’abscisse $-1$ et $3$. De plus, elle est au-dessous de l’axe des abscisses uniquement sur l’intervalle $[-1;3]$.
La fonction $f$ est donc représentée par la courbe $C_2$.
$\quad$

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$\quad$

$\quad$