E3C – Exercices – séries technologiques – fonctions – janvier 2020

E3C – Fonctions

Séries technologiques

Exercice 

Durant une balade en forêt, un enfant se fabrique un arc et des flèches. Il s’intéresse à la trajectoire d’une de ses flèches.
L’enfant décide de tirer sa flèche par-dessus un hangar désaffecté.
La trajectoire est une portion de la courbe représentative de la fonction $f$ située dans le quart de plan rapporté au repère $(O, I, J)$ ci-dessous et définie pour tout réel $x$, par f(x) = -0,2(x- 5)^2 + 6,5$.

Une unité graphique correspond à $1$ mètre dans la réalité.

  1. a. De quelle hauteur, en mètre, la flèche est-elle tirée ? Justifier la réponse.
    $\quad$
    b. Quelle hauteur maximale, en mètre, atteint-elle ? Justifier la réponse.
    $\quad$
  2. On s’intéresse au pan du toit représenté par le segment $[AB]$, où $A(10 ; 2)$ et $B(6 ; 5,6)$ dans le repère $(O, I, J)$.
    Démontrer qu’une équation de la droite $(AB)$ est $y = -0,9x + 11$.
    $\quad$

On appelle $g$ la fonction affine définie sur $\R$ par $g(x) = -0,9x + 11$.

  1. Démontrer que pour tout réel $x$ , $f(x)-g(x) = -0,2(x-5)(x-9,5)$.
    $\quad$
  2. Quelles sont les coordonnées exactes du point d’impact sur le toit ?
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. a. On a $f(0)=-0,2\times (-5)^2+6,5=1,5$.
    La flèche est tirée de $1,5$ mètre de haut.
    $\quad$
    b. On a $f(x)=-0,2(x-5)^2+6,5$.
    Cela signifie donc que le maximum (puisque $-0,2<0$) de la fonction $f$ est atteint pour $x=5$ et vaut $6,5$.
    La hauteur maximale sera donc de $6,5$ mètres.
    $\quad$
  2. On va montrer que les points $A(10;2)$ et $B(6;5,6)$ appartiennent à la droite d’équation $y=-0,9x+11$
    Si $x=10$ alors $y=-0,9\times 10+11=-9+11=2=y_A$
    Si $x=6$ alors $y=-0,9\times 6+11=-5,4+11=5,6=y_B$
    Une équation de la droite $(AB)$ est donc $y=-0,9x+11$.
    $\quad$
  3. Pour tout réel $x$ on a :
    $\begin{align*} f(x)-g(x)&=-0,2(x-5)^2+6,5-(-0,9x+11) \\
    &=-0,2\left(x^2-10x+25\right)+6,5+0,9x-11 \\
    &=-0,2x^2+2x-5+6,5+0,9x-11\\
    &=-0,2x^2+2,9x-9,5\end{align*}$
    On a également :
    $\begin{align*} -0,2(x-5)(x-9,5)&=-0,2\left(x^2-9,5x-5x+47,5\right) \\
    &=-0,2\left(x^2-14,5x+47,5\right) \\
    &=-0,2x^2+2,9x-9,5\\
    &=f(x)-g(x)\end{align*}$
    $\quad$
  4. Il y un impact sur le toit si $f(x)-g(x)=0$ et que $x\in[6;10]$.
    Or $f(x)-g(x)=0\ssi (x-5)(x-9,5)=0$
    Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, un de ses facteurs au moins est nul.
    Par conséquent :
    $x-5=0 \ssi x=5$ ou $x-9,5=0 \ssi x=9,5$.
    Seul $9,5$ appartient à l’intervalle $[6;10]$.
    $g(9,5)=-0,9\times 9,5+11=2,45$.
    Le point d’impact a donc pour coordonnées $(9,5;2,45)$.
    $\quad$

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$\quad$

Source : https://ccbac.fr/voir.php?id=2426

$\quad$