E3C – Fonctions

Séries technologiques

Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par : $f(x)=-2x^2+6x+8$

Montrer que : $f(x)=-2(x+1)(x-4)$
$\quad$
Résoudre l’équation $f(x)=0$
$\quad$
Faire un schéma à main levée de l’allure de la courbe représentative de $f$ dans un repère orthonormé.
$\quad$
Expliquer pourquoi le maximum de la fonction $f$ est atteint lorsque $x=1,5$.
$\quad$
Dresser le tableau de variation de la fonction $f$ sur l’intervalle $[-1;4]$.
$\quad$

$\quad$

Correction Exercice

Pour tout nombre réel $x$, on a :
$\begin{align*} -2(x+1)(x-4)&=-2\left(x^2-4x+x-4\right) \\
&=-2\left(x^2-3x-4\right)\\
&=-2x^2+6x+8\\
&=f(x)\end{align*}$
$\quad$
$f(x)=0\ssi -2(x+1)(x-4)=0$
Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, un de ses facteurs au moins est nul.
$x+1=0 \ssi x=-1$ ou $x-4=0 \ssi x=4$
Les solutions de l’équation sont $-1$ et $4$.
$\quad$
On obtient la courbe suivante :

Pour pouvoir construire cette courbe, il est conseillé d’utiliser un tableau de valeurs (obtenu à l’aide la calculatrice par exemple).
$\quad$
Le coefficient principal est $a=-2<0$. La fonction du second degré $f$ possède donc un maximum.
On sait que $f(-1)=f(4)=0$.
L’abscisse de ce maximum est donc $=\dfrac{-1+4}{2}=1,5$.
$\quad$
On a $f(1,5)=12,5$
Le coefficient principal est $a=-2<0$.
On obtient donc le tableau de variation suivant :

$\quad$

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$\quad$

$\quad$