E3C – Exercices – séries technologiques – fonctions – janvier 2020

E3C – Fonctions

Séries technologiques

Exercice 

Dans le cadre d’un projet expérimental, des lycées ont fabriqué une fusée de feu d’artifice qui est lancée à partir d’une plateforme située à $8$ m de hauteur.
La hauteur de la fusée (en mètre) atteinte en fonction du temps $t$ (en dixième de seconde) est modélisée par la fonction $f$ définie par : $$f(t)=-0,5t^2+10t+8 \text{ pour } t\in [0;20]$$

  1. Calculer $f(10)$. Interpréter le résultat dans le contexte de l’exercice.
    $\quad$
  2. L’explosion de la fusée ne peut être déclenchée qu’à une hauteur minimum de $40$ mètres.
    Les lycées cherchent le temps de vol à programmer avant l’explosion.
    $\quad$
    On note $g$ la fonction définie sur $[0;20]$ par $g(t)=-0,5t^2+10t-32$.
    $\quad$
    a. Vérifier que $g(t)=-0,5(t-4)(t-16)$.
    $\quad$
    b. Montrer que le problème revient à résoudre l’inéquation $g(t)\pg 0$.
    $\quad$
    c. Résoudre l’inéquation et répondre au problème.
    $\quad$


$\quad$
Correction Exercice

  1. On a :
    $\begin{align*} f(10)&=-0,5\times 10^2+10\times 10+8 \\
    &=-0,5\times 100+100+8 \\
    &=-50+108\\
    &=58\end{align*}$
    $10$ dixième de seconde $=1$ seconde.
    Cela signifie donc qu’au bout de $1$ seconde la fusée est à $58$ mètres de haut.
    $\quad$
  2. a. On a :
    $\begin{align*} -0,5(t-4)(t-16)&=-0,5\left(t^2-16t-4t+64\right) \\
    &=-0,5\left(t^2-20t+64\right) \\
    &=-0,5t^2+10t-32\\
    &=g(t)\end{align*}$
    $\quad$
    b. On veut résoudre :
    $\begin{align*} f(t) \pg 40 &\ssi -0,5t^2+10t+8\pg 40 \\
    &\ssi -0,5t^2+10t-32 \pg 0 \\
    &\ssi g(t) \pg 0\end{align*}$
    $\quad$
    c. On a :
    $t-4=0 \ssi t=4$ et $t-4>0 \ssi t>4$
    $t-16=0 \ssi t=16$ et $t-16>0 \ssi t>16$
    On obtient ainsi le tableau de signes suivant :

    Ils peuvent programmer un temps de vol compris entre $4$ et $16$ dixième de seconde pour déclencher l’explosion de la fusée.
    $\quad$

 

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$\quad$

Source : https://toutmonexam.fr/epreuve.php?id=4075

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