E3C – Exercices – séries technologiques – fonctions – janvier 2020

E3C – Fonctions

Séries technologiques

Exercice 

Une entreprise commercialise des chocolats. La production hebdomadaire maximale est de $30~000$ chocolats. On suppose que la totalité de la production hebdomadaire est vendue chaque semaine. Les charges de production, en euro, pour $x$ milliers de chocolats vendus sont modélisées par la fonction $C$ définie sur l’intervalle $[0;30]$ par $C(x)=4x^2+4x+520$. L’entreprise fixe le prix de vente d’un chocolat à $0,128$ euros. Pour la vente de $x$ milliers de chocolats le chiffre d’affaires, en euro, est donné par la fonction $R$ définie sur l’intervalle $[0;30]$ par $R(x)=128x$.

$\mathcal{C}_R$ et $\mathcal{C}_C$ désignent les courbes représentatives respectives de $R$ et $C$ dans le repère ci-dessous.

Le résultat réalisé pour $x$ milliers de chocolats vendus est donné par la fonction $B$, définie pour tout nombre $x$ appartenant à l’intervalle $[0;30]$ par : $B(x)=R(x)-C(x)$.

  1. Montrer que $B(x)=-4x^2+124x-520$.
    $\quad$
  2. Montrer que $B(x)=-4(x-5)(x-26)$.
    $\quad$
  3. En déduire le tableau de signes de $B(x)$ sur $[0;30]$.
    $\quad$
  4. À l’aide des questions précédentes déterminer les quantités de chocolats à produire permettant d’obtenir un résultat positif.
    $\quad$
  5. Quelle est la quantité de chocolats à produire pour maximiser le résultat hebdomadaire? On précisera la valeur de ce résultat maximal en euro.
    $\quad$


$\quad$

Correction Exercice

  1. On a :
    $\begin{align*} B(x)&=R(x)-C(x) \\
    &=128x-\left(4x^2+4x+520\right) \\
    &=128x-4x^2-4x-520\\
    &=-4x^2+124x-520\end{align*}$
    $\quad$
  2. On a :
    $\begin{align*}-4(x-5)(x-26)&=-4\left(x^2-26x-5x+130\right) \\
    &=-4\left(x^2-31x+130\right)\\
    &=-4x^2+124x-520\\
    &=B(x)\end{align*}$
    $\quad$
  3. On a :
    $x-5=0 \ssi x=5$ et $x-5>0 \ssi x>5$
    $x-26=0\ssi x=26$ et $x-26>0 \ssi x>26$
    On obtient ainsi le tableau de signes suivant :
    $\quad$
  4. D’après le tableau de signes, $B(x)$ est positif si $x$ appartient à l’intervalle $[5;26]$.
    $\quad$
  5. On a $B(x)=-4x^2+124x-520$
    Le coefficient principal est $a=-4<0$. $B$ possède donc un maximum.
    On sait que $B(5)=B(26)=0$.
    Le sommet de la parabole a donc pour abscisse $\dfrac{5+26}{2}=15,5$.
    De plus $B(15,5)=441$
    Il faut produire $15~500$ chocolats pour obtenir un bénéfice maximal de $441$ euros.
    $\quad$

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$\quad$

Source : https://toutmonexam.fr/epreuve.php?id=4075

$\quad$