E3C – Exercices – séries technologiques – fonctions – janvier 2020

E3C – Fonctions

Séries technologiques

Exercice 

Pour se nourrir, un oiseau plonge dans la mer depuis le haut d’une falaise d’une hauteur de $5$ mètres. La trajectoire de l’oiseau est modélisée par la courbe représentative d’une fonction $h$ tracée sur l’intervalle $[0;6]$ dans le repère orthonormé ci-dessous.
Dans ce repère, l’axe des abscisses représente le niveau de la mer et l’axe des ordonnées représente la falaise.
$h(x)$ désigne alors l’altitude en mètres de l’oiseau par rapport au niveau de la mer et $x$ désigne la distance en mètres qui le sépare de la falaise.

Avec la précision permise par le graphique, répondre aux deux questions suivantes.

  1. Quelle est l’image de $0$ par la fonction $h$? Interpréter dans le contexte de l’exercice.
    $\quad$
  2. À quelles distances de la falaise se trouve l’oiseau lorsqu’il est à une profondeur de $3$ mètres sous la mer?

La fonction $h$ est définie sur l’intervalle $[0;6]$ par $h(x)=x^2-6x+5$.

  1. Montrer que $h(x)=(x-1)(x-5)$.
    $\quad$
  2. En déduire le tableau de signes de la fonction $h$ sur $[0;6]$.
    $\quad$
  3. Résoudre l’inéquation $h(x)<0$ et interpréter dans le contexte de l’exercice.
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. On lit $h(0)=5$.
    L’oiseau se trouve donc à $5$ mètres de haut quand il plonge.
    $\quad$
  2. Deux points de la courbe ont pour ordonnée $-3$. Il s’agit des points d’abscisse $2$ et $4$.
    L’oiseau se trouve donc à $2$ et $4$ mètres de la falaise lorsqu’il est à une profondeur de $3$ mètres sous la mer.
    $\quad$
  3. On a :
    $\begin{align*} (x-1)(x-5)&=x^2-5x-x+5 \\
    &=x^2-6x+5 \\
    &=h(x)\end{align*}$
    $\quad$
  4. On a :
    $x-1=0 \ssi x=1$ et $x-1>0 \ssi x>1$
    $x-5=0 \ssi x=5$ et $x-5>0 \ssi x>5$
    On obtient donc le tableau de signes suivant :

    $\quad$
  5. D’après le tableau de signes précédents, $h(x)<0$ quand $x$ appartient à l’intervalle $]1;5[$.
    L’oiseau est donc sous le niveau de la mer quand il se trouve entre $1$ et $5$ mètres de la falaise.
    $\quad$

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$\quad$

Source : https://ccbac.fr/voir.php?id=2357

$\quad$