E3C – Fonctions

Séries technologiques

On considère la fonction $g$ définie sur $\R$ par $f(x)=x^3-6x^2+5$.

On a tracé ci-dessous une partie de la représentation graphique de la fonction $g$ ainsi que la tangente à cette courbe au point d’abscisse $0$.

Déterminer graphiquement le nombre dérivé de la fonction $g$ en $0$.
$\quad$
Déterminer, pour tout réel $x$, $g'(x)$ où $g’$ désigne la fonction dérivée de la fonction $g$.
$\quad$
On admet que pour tout réel $x$ on a $g'(x)=3x(x-4)$.
Dresser le tableau de signes sur $\R$ de la fonction $g’$.
$\quad$
On considère l’algorithme suivant
$$\begin{array}{|l|}
\hline
x=-1\\
\text{while }x^3-6x^2+5>-10:\\
\hspace{1cm} x=x+0,01\\
\hline
\end{array}$$
Après exécution de cet algorithme, $x$ vaut $1,92$.
Interpréter ce résultat dans le contexte de l’exercice.
$\quad$

$\quad$

Correction Exercice

La tangente à la courbe au point d’abscisse $0$ est parallèle à l’axe des abscisses. Par conséquent $g'(0)=0$.
$\quad$
Pour tout réel $x$ on a :
$g'(x)=3x^2-6\times 2x+0=3x^2-12x$.
$\quad$
On a $3x=0 \ssi x=0$ et $3x>0 \ssi x>0$
$x-4=0\ssi x=4$ et $x-4>0 \ssi x>4$
On obtient le tableau de signes suivant :

$\quad$
Voir tableau précédent
$\quad$
Cela signifie donc qu’une valeur approchée à $0,01$ par excès de la solution de l’équation $g(x)=-10$ est $1,92$.
$\quad$

[collapse]

$\quad$

$\quad$