E3C – Exercices – séries technologiques – fonctions – janvier 2020

E3C – Fonctions

Séries technologiques

Exercice 

On considère la fonction $f$ définie sur l’intervalle $[-2;4]$.

Sa courbe représentative est une parabole que l’on note $\mathcal{C}$.

Une tâche d’encre masque une partie de la courbe $\mathcal{C}$.

  1. Lire sur le graphique l’image de $-1$ et celle de $3$ par $f$.
    $\quad$
  2. Résoudre par lecture graphique sur l’intervalle $[-2;4]$, l’inéquation : $f(x) \pp 0$.
    $\quad$
  3. On admet que l’expression de la fonction $f$ est de la forme : $$f(x)=\left(x-x_1\right)\left(x-x_2\right) \text{  avec } x_1<x_2$$
    Préciser les valeurs respectives de $x_1$ et $x_2$.
    $\quad$
  4. Le sommet de la parabole n’apparaît pas sur le dessin.
    Retrouver ses coordonnées en détaillant le raisonnement.
    $\quad$
  5. Dresser le tableau des variations de la fonction $f$ sur l’intervalle $[-2;4]$.
    On admettra que $f(-2)=f(4)=5$.
    $\quad$

$\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. Graphiquement, on lit que $f(-1)=0$ et $f(3)=0$.
    La courbe $\mathcal{C}$ semble en effet couper l’axe des abscisses aux points d’abscisse $-1$ et $3$.
    $\quad$
  2. Graphiquement $f(x)\pp 0$ sur l’intervalle $[-1;3]$.
    $\quad$
  3. Si $f(x)=\left(x-x_1\right)\left(x-x_2\right) $ cela signifie que les solutions de l’équation $f(x)=0$ sont les nombres $x_1$ et $x_2$.
    D’après la question 1. on sait que $f(-1)=f(3)=0$.
    Donc $x_1=-1$ et $x_2=3$.
    $\quad$
    On a ainsi $f(x)=\left(x-(-1)\right)(x-3)=(x+1)(x-3)$.
    $\quad$
  4. Le sommet $S$ appartient à l’axe de symétrie de la parabole.
    Puisque $-1$ et $3$ ont la même image par la fonction $f$ cela signifie que l’abscisse de $S$ est :
    $x_S=\dfrac{-1+3}{2}=1$.
    Son ordonnée est $y_S=f(1)=(1+1)(1-3)=-4$.
    Le sommet $S$ a donc pour coordonnées $(1;-4)$.
    $\quad$
  5. On a :
    $\begin{align*} f(x)&=(x+1)(x-3) \\
    &=x^2-3x+x-3\\
    &=x^2-2x-3\end{align*}$
    Le coefficient principal est $a=1>0$.
    On obtient donc le tableau des variations suivant :

    $\quad$

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$\quad$

Source : https://toutmonexam.fr/epreuve.php?id=4075

$\quad$