E3C – Géométrie

Séries technologiques

Exercice

On souhaite réaliser une frise sur un tissu à partir d’un motif élémentaire A assemblant un demi-cercle de rayon $R$ et la moitié d’un hexagone régulier inscrit dans un cercle de même rayon.

Le motif élémentaire A est représenté ci-dessous :

Le contour du motif A dans la frise sera brodé. Déterminer le périmètre de ce motif A sachant que le rayon du cercle est égal à $4$ cm.
$\quad$
L’intérieur du motif A de la frise sera peint.
a. Calculer la hauteur $OM$ du triangle $OHG$ constituant le demi-hexagone.
$\quad$
b. Déterminer l’aire de ce motif.
$\quad$
À partir de ce motif élémentaire A, construire sur le feuille annexe à rendre avec la copie un second motif par symétrie central de centre $M$.
$\quad$
La frise est obtenue par translation de vecteur $\vect{EH}$ à partir de ces deux motifs (A et son symétrique). Construire sur la frise en annexe le prochain motif élémentaire A.
$\quad$

$\quad$

Correction Exercice

Le périmètre du demi-cercle est $P_1=4\pi$ cm.
Il y a $7$ segments de $4$ cm.
Le périmètre du motif est $P=4\pi+4\times 7=28+\pi$ cm.
$\quad$
a. $HM=2$ cm
Dans le triangle $OMH$ rectangle en $M$ on utilise le théorème de Pythagore.
$OH^2=OM^2+HM^2$
$\ssi 4^2=OM^2+2^2$
$\ssi 16=OM^2+4$
$\ssi OM^2=12$
$\ssi OM=\sqrt{12}$ cm (ou $OM=2\sqrt{3}$).
$\quad$
b. L’aire d’un triangle est :
$A_1=\dfrac{GH\times OM}{2}=\dfrac{4\times 2\sqrt{3}}{2}=4\sqrt{3}$
L’aire du motif est :
$\begin{align*} A&=3\times 4\sqrt{3}+\dfrac{1}{2}\times 4^2\times \pi \\
&=12\sqrt{3}+8\pi \text{ cm}^2\end{align*}$
$\quad$
On obtient la figure suivante :
$\quad$
On obtient la figure suivante :

$\quad$

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Source : https://ccbac.fr/voir.php?id=2349

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