E3C – Probabilités

Séries technologiques

Exercice

Dans un club multisport de $400$ adhérents, les sports pratiqués ont le tennis, le squash et le badminton. Les adhérents sont classés suivant leurs catégories : enfants, seniors, vétérans.

On sait que :

$15\%$ pratiquent le badminton et parmi ceux-là, le tiers sont des enfants.
$75\%$ pratiquent le tennis et, parmi eux, $32\%$ sont seniors.
Parmi les adhérents pratiquant le squash, aucun n’est enfant et $20$ sont des vétérans.

Compléter, après l’avoir reproduit, le tableau suivant :
$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
\hline
&\text{Badminton}&\text{Tennis}&\text{Squash}&\text{Total} \\
\hline
\text{Enfant}&&130&&\\
\hline
\text{Senior}&30&&&\\
\hline
\text{Vétéran}&&&&\\
\hline
\text{Total}&&&&400\\
\hline
\end{array}$$
$\quad$

Dans les questions qui suivent, les résultats seront donnés sous forme de fraction irréductible.

On choisit au hasard un adhérent parmi les $400$ adhérents du club.
On considère les événements suivants :
$\bullet$ $E$ : « L’adhérent est un enfant »
$\bullet$ $S$ : « L’adhérent est un senior »
$\bullet$ $V$ : « L’adhérent est un vétéran »
$\bullet$ $T$ : « L’adhérent joue au tennis »
$\bullet$ $D$ : « L’adhérent joue au squash »
$\bullet$ $B$ : « L’adhérent joue au badminton »
$\quad$
a. Déterminer la probabilité des événements $S$ et $T$.
$\quad$
b. Décrire, à l’aide d’une phrase, l’événement $S\cap T$ puis calculer sa probabilité.
$\quad$
On choisit au hasard un adhérent parmi les joueurs de badminton.
Calculer la probabilité que ce soit un vétéran.
$\quad$
Calculer la probabilité conditionnelle de $E$ sachant $T$, notée $P_T(E)$.
$\quad$

$\quad$

Correction Exercice

On a :
$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
\hline
&\text{Badminton}&\text{Tennis}&\text{Squash}&\text{Total} \\
\hline
\text{Enfant}&20&130&0&150\\
\hline
\text{Senior}&30&96&20&146\\
\hline
\text{Vétéran}&10&74&20&104\\
\hline
\text{Total}&60&300&40&400\\
\hline
\end{array}$$
$\dfrac{15}{100}\times 400=60$ et $\dfrac{1}{3}\times 60=20$ donc $60-30-20=10$
$\dfrac{75}{100}\times 400=300$ et $\dfrac{32}{100}\times 300=96$ donc $300-130-96=74$
$400-60-300=40$ et $40-20=20$
$20+130=150$
$30+96+20=146$
$10+74+20=104$
$\quad$
a. D’après le tableau, on a :
$P(S)=\dfrac{124}{400}=\dfrac{31}{100}$
$P(T)=\dfrac{300}{400}=\dfrac{3}{4}$
$\quad$
b. $S\cap T$ : « L’adhérent est un senior et joue au tennis »
$P(S\cap T)=\dfrac{96}{400}=\dfrac{6}{25}$.
$\quad$
On choisit au hasard un adhérent parmi les joueurs de badminton.
La probabilité que ce soit un vétéran est :
$P_B(V)=\dfrac{10}{60}=\dfrac{1}{6}$
$\quad$
$P_T(E)=\dfrac{P(T\cap E)}{P(T)}=\dfrac{130}{300}=\dfrac{13}{30}$
$\quad$

[collapse]

$\quad$

Source du sujet : https://toutmonexam.fr/epreuve.php?id=4075
$\quad$