E3C – Probabilités

Séries technologiques

Dans une maternité, on estime qu’à la naissance, la probabilité qu’un enfant soit une fille est égale à $0,51$.

On choisit de manière indépendante trois enfants nés dans cette maternité.

On note $X$ la variable aléatoire qui prend pour valeur le nombre de filles parmi ces trois enfants.

Représenter l’expérience aléatoire à l’aide d’un arbre de probabilité.
$\quad$
Calculer la probabilité qu’exactement deux enfants soient des filles.
$\quad$
Décrire l’événement $\left\{X=0\right\}$ puis calculer sa probabilité.
$\quad$
Recopier sur la copie et compléter le tableau suivant donnant la loi de probabilité de $X$.
$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
\hline
x&0&1&2&3\\
\hline
P\left(\left\{X=x\right\}\right)&\phantom{1234}&\phantom{1234}&\phantom{1234}&\phantom{1234}\\
\hline
\end{array}$$
$\quad$
Calculer l’espérance de cette variable aléatoire.
Interpréter ce résultat dans le contexte de l’exercice.
$\quad$

$\quad$

Correction Exercice

On appelle $F$ l’événement « le nouveau-né est une fille ».
On obtient l’arbre de probabilité suivant:

$\quad$
Deux enfants sont des filles si on a les événements $F\cap F\cap \conj{F}$, $F\cap\conj{F}\cap F$ ou $\conj{F}\cap F\cap F$.
Ces trois événements ont la même probabilité $0,51^2\times 0,49$.
La probabilité qu’exactement deux enfants soient des filles est égale à $3\times 0,51^2\times 0,49=0,382~347$.
$\quad$
L’événement $\left\{X=0\right\}$ est « les trois nouveaux-nés sont des garçons ».
$P\left(\left\{X=0\right\}\right)=0,49^3=0,117~649$.
$\quad$
On obtient le tableau suivant :
$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
\hline
x&0&1&2&3\\
\hline
P\left(\left\{X=x\right\}\right)&0,117~649&0,367~353&0,382~347&0,132~651\\
\hline
\end{array}$$
$P\left(\left\{X=3\right\}\right)=0,51^3$
$\begin{align*} P\left(\left\{X=1\right\}\right)&=1-\left(P\left(\left\{X=0\right\}\right)+P\left(\left\{X=2\right\}\right)+P\left(\left\{X=3\right\}\right)\right)\\
&=0,367~353\end{align*}$.
$\quad$
L’espérance de cette variable aléatoire est :
$\begin{align*}E(X)&=1\times 0,367~353+2\times 0,382~347+3\times 0,132~651 \\
&=1,53\end{align*}$
Cela signifie qu’en moyenne sur $3$ naissances, il y a $1,53$ filles.
Ou encore, en moyenne sur $300$ naissances, il y a $153$ filles.
$\quad$

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$\quad$

$\quad$