E3C – Probabilités

Séries technologiques

Exercice

Un sac contient trois boules rouges et deux boules jaunes. Une partie consiste à prélever deux boules successivement en replaçant la première boule tirée dans l’urne avant le deuxième tirage.

On définit les événements suivants :

$R$ : « La boule tirée est rouge » ;
$J$ : « La boule tirée est jaune » .

Recopier sur votre copie et compléter l’arbre des probabilités suivant :

Chaque boule rouge tirée rapporte $2$ €. Chaque boule jaune fait perdre $1$ €.
Soit $X$ la variable aléatoire égale au gain algébrique du joueur à l’issue d’une partie.

Compléter le tableau suivant donnant la loi de probabilité de la variable aléatoire $X$.
$$\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
k&-1&1&\ldots\\
\hline
P(X=k)&0,16&~\ldots~&0,36\\
\hline
\end{array}$$
$\quad$
Déterminer $P(X>0)$. Interpréter le résultat précédent.
$\quad$
Calculer l’espérance $E(X)$ et interpréter le résultat.
$\quad$

$\quad$

Correction Exercice

On obtient l’arbre suivant :
$\quad$
Si on tire $2$ boules rouges, le joueur gagne alors $4$ €.
$P(X=1)=1-\left(0,16+0,36\right)=0,48$
$$\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
k&-1&1&4\\
\hline
P(X=k)&0,16&0,48&0,36\\
\hline
\end{array}$$
$\quad$
$P(X>0)=1-P(X=-2)=1-0,16=0,84$
(On pouvait aussi calculer $P(X=1)+P(X=4)$)
La probabilité de gagner de l’argent à l’issue d’une partie est égale à $0,84$.
$\quad$
On a :
$\begin{align*} E(X)&=-2\times P(X=-2)+1\times P(X=1)+4\times P(X=4) \\
&=-2\times 0,16+0,48+4\times 0,36 \\
&=1,6\end{align*}$
En moyenne, un joueur gagne $1,6$ € par partie.
$\quad$

[collapse]

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Source du sujet : https://toutmonexam.fr/epreuve.php?id=4075
$\quad$