E3C – Exercices – séries technologiques – suites – janvier 2020

E3C – Suites

Séries technologiques

 

Exercice 

On s’intéresse à la population d’une ville et on étudie plusieurs modèles d’évolution de cette population. En 2018, la population de la ville était de $15~000$ habitants.

  1. Modèle 1
    On fait l’hypothèse que le nombre d’habitants augmente de $1~000$ habitants par an.
    Pour tout entier naturel $n$, on note $_n$ le nombre d’habitants pour l’année (2018$+n$).
    On a ainsi $u_0=15~000$.
    a. Calculer $u_1$ et indiquer ce que représente $u_1$.
    $\quad$
    b. Donner la nature de la suite $\left(u_n\right)$ sans justifier la réponse.
    $\quad$
    c. On considère l’algorithme ci-dessous :
    $$\begin{array}{|l|}
    \hline
    N=0\\
    U=15~000\\
    \text{while }U<30~000: \\
    \hspace{1cm} U=U+1~000 \\
    \hspace{1cm} N=N+1 \\
    \hline
    \end{array}$$
    À la fin de l’exécution de cet algorithme, la variable $N $est égale à $15$.
    Interpréter cette valeur dans le contexte de l’exercice.
    $\quad$
  2. Modèle 2
    On fait l’hypothèse que le nombre d’habitants augmente de $4,7\%$ par an. On note $v_n$ le nombre d’habitants pour l’année (2018$+n$).
    Ainsi on a $v_0=15~000$.
    a. On admet que la suite $\left(v_n\right)$ est géométrique. Déterminer sa raison.
    $\quad$
    b. Calculer, selon ce modèle, le nombre d’habitants de la ville en 2023, arrondi à l’unité.
    $\quad$

$\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. a. On a $u_1=u_0+1~000 = 16~000$.
    Il y a donc, selon ce modèle, $16~000$ habitants dans cette ville en 2019.
    $\quad$
    b. Pour tout entier naturel $n$ on a donc $u_{n+1}=u_n+1~000$.
    La suite $\left(u_n\right)$ est par conséquent arithmétique de raison $1~000$ et de premier terme $u_0=15~000$.
    $\quad$
    c. Cela signifie donc qu’il faut $15$ ans avant que la population de la ville soit d’au moins de $30~000$ habitants.
    $\quad$
  2. a. Pour tout entier naturel $n$ on a :
    $v_{n+1}=v_n\times \left(1+\dfrac{4,7}{100}\right)=1,047v_n$.
    La suite $\left(v_n\right)$ est donc géométrique de raison $1,047$.
    $\quad$
    b. En 2023, on a $n=5$ :
    Ainsi $v_5=15~000\times 1,047^5 \approx 18~872$.
    La comptera donc environ $18~872$ habitants en 2023.
    $\quad$

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Source : https://toutmonexam.fr/epreuve.php?id=4075

$\quad$