E3C – Suites

Séries technologiques

Exercice

En 2019, le chiffre d’affaires d’un restaurant gastronomique était de $300~000$ €.
On modéliser le chiffre d’affaires de ce restaurant (exprimé en milliers d’euros) pendant l’année 2019$+n$ par le $n$-ième terme, $u_n$ de la suite $\left(u_n\right)$ définie par : $$u_0=300 \text{ et } u_{n+1}=1,2\times u_n-50$$

Montrer que, selon ce modèle, le chiffre d’affaires du restaurant sera de $310~000$ € en 2020.
$\quad$
Calculer $u_2$ et interpréter le résultat obtenu.
$\quad$
Faire une conjecture sur le sens de variations de la suite $\left(u_n\right)$. Expliquer la démarche.
$\quad$
Montrer que la suite $\left(u_n\right)$ n’est ni arithmétique, ni géométrique.
$\quad$
Si on exécute l’algorithme ci-dessous, à la fin de l’algorithme, $k$ a pour valeur $9$.
$$\begin{array}{|l|}
\hline
u=300\\
k=0\\
\text{while }u<500: \\
\hspace{1cm} u=1.2*u-50\\
\hspace{1cm} k=k+1\\
\hline
\end{array}$$
Comment peut-on interpréter ce résultat?
$\quad$

$\quad$

Correction Exercice

En 2020 on a $n=1$
Donc
$\begin{align*} u_1&=1,2\times u_0-50 \\
&=1,2\times 300-50\\
&=360-50\\
&=310\end{align*}$
Selon ce modèle, le chiffre d’affaires du restaurant sera bien de $310~000$ € en 2020.
$\quad$
On a :
$\begin{align*} u_2&=1,2\times u_1-50 \\
&=1,2\times 310-50\\
&=372-50\\
&=322\end{align*}$
Selon ce modèle, le chiffre d’affaires du restaurant sera de $322~000$ € en 2020.
$\quad$
On a donc $u_0<u_1<u_2$.
Il semblerait que la suite $\left(u_n\right)$ soit croissante.
$\quad$
D’une part :
$u_1-u_0=310-300=10$ et $u_2-u_1=322-310=12$
Les résultats sont différents. La suite $\left(u_n\right)$ n’est pas arithmétique.
D’autre part :
$\dfrac{u_1}{u_0}=\dfrac{310}{300}\approx 1,033$ et $\dfrac{u_2}{u_1}=\dfrac{322}{310}\approx 1,038$.
Les résultats sont différents. La suite $\left(u_n\right)$ n’est pas géométrique.
$\quad$
Cela signifie que le chiffre d’affaire dépassera $500~000$ € qu’à partir de 2019$+9$, soit 2028.
$\quad$

[collapse]

$\quad$

Source : https://toutmonexam.fr/epreuve.php?id=4075

$\quad$