E3C – Exercices – séries technologiques – suites – janvier 2020

E3C – Suites

Séries technologiques

 

Exercice 

Un responsable commercial du service de Vélos à Assistance Électricité (VAE) dans une entreprise de fabrication de deux roues, doit proposer une estimation du nombre de vélos à produire pour les années à venir. En 2018 l’entreprise a réalisé $4~500$ ventes de VAE. Le marché étant porteur et dynamique, ce responsable estime que le nombre de ventes progressera chaque année de $22\%$.

On note $v_n$ le nombre de VAE vendus par l’entreprise en 2018$+n$. On a donc $v_0=4~500$.

  1. Recopier le tableau ci-dessous sur votre copie en complétant les valeurs manquantes.
    $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}
    \hline
    &\text{A}&\text{B}&\text{C}&\text{D}&\text{E}\\
    \hline
    1&\begin{array}{c}\text{Rang de}\\\text{l’année }n\end{array}&0&1&2&3\\
    \hline
    2&\begin{array}{c}\text{nombres de}\\\text{ventes }v_n\end{array}&\phantom{1000}&\phantom{1000}&\phantom{1000}&\phantom{1000}\\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$
  2. Exprimer $v_{n+1}$ en fonction de $v_n$ pour tout entier naturel $n$.
    $\quad$
  3. Quelle est la nature de la suite $\left(v_n\right)$? Préciser sa raison.
    $\quad$
  4. Le responsable souhaite connaître le nombre d’années nécessaire pour que les ventes de VAE dépassent $20~000$ unités. Pour cela il a préparé un script en langage python. Recopier sur votre copie et compléter ce script afin qu’il permette d’obtenir la réponse au problème.
    $$\begin{array}{|l|}
    \hline
    \text{def temps_attente}():\\
    \hspace{1cm} v=4500\\
    \hspace{1cm} n=0\\
    \hspace{1cm} \text{while }\ldots\ldots\ldots\\
    \hspace{2cm} v=v*1.22\\
    \hspace{2cm} n=n+1\\
    \hspace{1cm} \text{return }\ldots\\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$
  5. Déterminer la valeur renvoyée par ce programme par la méthode de votre choix.
    $\quad$


$\quad$
Correction Exercice

  1. On obtient le tableau suivant :
    $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}
    \hline
    &\text{A}&\text{B}&\text{C}&\text{D}&\text{E}\\
    \hline
    1&\begin{array}{c}\text{Rang de}\\\text{l’année }n\end{array}&0&1&2&3\\
    \hline
    2&\begin{array}{c}\text{nombres de}\\\text{ventes }v_n\end{array}&4~500&5~490&6~698&8~172\\
    \hline
    \end{array}$$
    $4~500\times 1,22=5~490$
    $5~490\times 1,22=6~697,8 \approx 6~698$
    $6~698\times 1,22=8~171,56 \approx 8~172$
    (À noter que si on n’utilise pas la valeur arrondie mais la valeur exacte, on trouve que $v_4 \approx 8~171$.)
    $\quad$
  2. Pour tout entier naturel $n$ on a :
    $v_{n+1}=v_n\times \left(1+\dfrac{22}{100}\right)=1,22v_n$
    $\quad$
  3. La suite $\left(v_n\right)$ est donc géométrique de raison $1,22$.
    $\quad$
  4. On obtient le programme suivant :
    $$\begin{array}{|l|}
    \hline
    \text{def temps_attente}():\\
    \hspace{1cm} v=4500\\
    \hspace{1cm} n=0\\
    \hspace{1cm} \text{while }v\pp 20~000\\
    \hspace{2cm} v=v*1.22\\
    \hspace{2cm} n=n+1\\
    \hspace{1cm} \text{return } n\\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$
  5. À l’aide de la calculatrice, on trouve $v_7 \approx 18~102$ et $v_8\approx 22~084$
    C’est au bout de $8$ ans les ventes de VAE dépasseront $20~000$ unités.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

Source : https://toutmonexam.fr/epreuve.php?id=4075

$\quad$