E3C – Exercices – séries technologiques – suites – janvier 2020

E3C – Suites

Séries technologiques

 

Exercice 

Deux amis A et B débutent dans deux entreprises différentes. Au 1$\ier$ janvier de l’année 2019, A et B ont tous les deux un salaire mensuel d $1~500$ €.

Le montant du salaire mensuel de A augmente chaque année au 1$\ier$ janvier de $2,5\%$.
Son montant en euro, l’année 2019$+n$, est modélisé par le terme de rang $n$ d’une suite $\left(a_n\right)$ de premier terme $a_0=1~500$.
Le montant du salaire mensuel de B augmente chaque année au 1$\ier$ janvier de $35$ €.
Son montant en euro, l’année 2019$+n$, est modélisé par le terme de rang $n$ d’une suite arithmétique $\left(b_n\right)$ de raison $35$ et de premier terme $a_0=1~500$.

  1. Calculer le salaire mensuel de A en 2020 puis en 2021.
    $\quad$
  2. Justifier que pour t out $n$, $a_{n+1}=1,025a_n$, et en déduire la nature de la suite $\left(a_n\right)$.
    $\quad$
  3. On considère l’algorithme, écrit en Python, ci-dessous. Donner le contenu de la variable $n$ après exécution de l’algorithme et interpréter le résultat dans le contexte de l’exercice.
    $$\begin{array}{|l|}
    \hline
    n= 0\\
    a=1500\\
    \text{while }a<1650:\\
    \hspace{1cm} n=n+1\\
    \hspace{1cm} a=1.025*a\\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$
  4. Calculer $b_1$ et $b_2$.
    $\quad$
  5. Qui des deux amis A et B aura en premier un salaire qui dépassera $1~650$ euros?
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. Le salaire de A en 2020 est de :
    $1~500 \times \left(1+\dfrac{2,5}{100}\right)=1~500\times 1,025=1~537,5$ €
    Le salaire de A en 2021 est de :
    $1~537,5 \times 1,025\approx 1~575,94$ €
    $\quad$
  2. Pour tout entier naturel $n$ on a :
    $a_{n+1}=a_n\times \left(1+\dfrac{2,5}{100}\right)=1,025a_n$.
    La suite $\left(a_n\right)$ est donc géométrique de raison $1,025$ et de premier terme $a_0=1~500$.
    $\quad$
  3. Voici le tableau d’évolution du contenu des variables $n$ et $a$.
    $\begin{array}{|c|c|}
    \hline
    n&a \\
    \hline
    0& 1500 \\
    \hline
    1& 1537,5\\
    \hline
    2& 1575,94\\
    \hline
    3& 1615,34\\
    \hline
    4& 1655,72\\
    \hline
    \end{array}$
    Après exécution de l’algorithme, la variable $n$ contient la valeur $4$.
    Cela signifie que c’est en 2023 que le salaire de A sera supérieur ou égal à $1~650$ €.
    $\quad$
  4. On a $b_1=b_0+35=1~535$ et $b_2=b_1+35=1~570$
    $\quad$
  5. On a $b_3=1~605$ et $b_4=1~640$
    Or $a_4>1~650$
    C’est donc l’ami A qui aura en premier un salaire qui dépassera $1~650$ euros.
    $\quad$

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Source : https://toutmonexam.fr/epreuve.php?id=4075

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