E3C – Exercices – séries technologiques – suites – janvier 2020

E3C – Suites

Séries technologiques

 

Exercice 

« En 2017, les Français ont en moyenne produit 513 kg de déchets ménagers par habitant. » [Source : le site internet Planetescope].

En 2017, le maire d’une commune obtient $530$ kg de déchets ménagers en moyenne par habitant. L’objectif du maire est de réduire la production de déchets de $1,7 \%$ par an pendant $5$ ans, en espérant atteindre la moyenne nationale de 2017.

On modélise la situation par la suite $\left(d(n)\right)$ où $d(n)$ représente pour tout entier naturel $n$ la quantité en kg de déchets ménagers moyenne produite par habitant de cette ville durant l’année 2017 $+n$.

  1. Justifier que $d(0) = 530$ et que pour tout entier naturel $n$, on a : $$d(n + 1) = 0,983 d(n)$$
    $\quad$
  2. . Le tableur nous donne les premières valeurs de la suite et permet de les représenter graphiquement :

    a. Quelle formule destinée à être recopiée vers le bas, peut-on saisir dans la cellule $B3$ pour obtenir les valeurs de la suite $d$ ?
    $\quad$
    b. Quelle devrait être à ce rythme-là, la production en kilogramme de déchets ménagers par habitant dans cette ville en 2022 ? La campagne de sensibilisation du maire a-t-il permis au maire d’atteindre son objectif ?
    $\quad$
  3. Le maire souhaite maintenant atteindre la moyenne européenne de 2017 qui était de $487$ kg de déchets ménagers par habitant.
    a. Recopier et compléter l’algorithme ci-dessous permettant d’obtenir le rang de l’année à partir de laquelle l’objectif du maire sera atteint.
    $$\begin{array}{|l|}
    \hline
    \text{n}=0\\
    \text{d}=530\\
    \text{while d}>…:\\
    \hspace{1cm} \text{n}=\ldots\\
    \hspace{1cm} \text{d}=\ldots\\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$
    b. En quelle année l’objectif du maire est-il atteint ?
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. En 2017, le maire d’une commune obtient $530$ kg de déchets ménagers en moyenne par habitant.
    Donc $d(0)=530$
    L’objectif du maire est de réduire la production de déchets de $1,7 \%$ par an pendant 5 ans, en espérant atteindre la moyenne nationale de 2017.
    Ainsi :
    $\begin{align*} d(n+1)&=\left(1-\dfrac{1,7}{100}\right)d(n) \\
    &=0,983d(n)\end{align*}$
    $\quad$
  2. a. On a pu saisir $=0,983*B2$.
    $\quad$
    b. En 2022, on a $n=5$
    $d(1)=520,99$
    $d(2)\approx 512,13$
    $d(3)\approx 503,43$
    $d(4)\approx 494,87$
    $d(5)\approx 486,46$
    Ainsi $d(5)<513$
    L’objectif du maire est donc atteint.
    Remarque : on pouvait également lire sur le graphique que $d(5)<490<513$
    $\quad$
  3. a. On obtient l’algorithme suivant :
    $$\begin{array}{|l|}
    \hline
    \text{n}=0\\
    \text{d}=530\\
    \text{while d}>487\\
    \hspace{1cm} \text{n}=\text{n+1}\\
    \hspace{1cm} \text{d}=0,983*\text{d}\\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$
    b. On a $d(4) \approx 494,87>487$ et $d(5) \approx 486,46<487$.
    C’est donc en 2022 que l’objectif du maire sera atteint.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

Source : https://ccbac.fr/voir.php?id=2426

$\quad$