E3C – Exercices – séries technologiques – suites – janvier 2020

E3C – Suites

Séries technologiques

Exercice 

Au cours de l’année 2019, Adam est embauché par une entreprise qui lui propose un salaire mensuel net de $1~500$ €.

Son employeur lui annonce que son salaire mensuel net augmentera de $50$ € au 1$\ier$ janvier de chaque année suivante.

On note $u$ la suite qui modélise le salaire mensuel net d’Adam au cours de l’année 2019$+n$.

Ainsi, $u(0)=1~500$ et $u(1)=1~550$.

  1. Calculer le salaire mensuel net d’Adam en 2021.
    $\quad$
  2. Établir une relation entre $u(n+1)$ et $u(n)$ et préciser la nature de la suite $u$.
    $\quad$
  3. Quel est le sens de variation de la suite $u$? Justifier la réponse.

Au cours de l’année 2019, Julie est embauchée par une entreprise qui lui prose un salaire mensuel net de $1~400$ €.

Son employeur lui annonce que son salaire mensuel net augmentera de $4\%$ au 1$\ier$ janvier de chaque année suivante.

On note $v$ la suite qui modélise le salaire mensuel net d’Alice au cours de l’année 2019$+n$.

  1. Quelle est la nature de la suite $v?
    $\quad$
  2. À partir de quelle année le salaire mensuel net d’Alice dépassera-t-il pour la première fois le salaire mensuel net d’Adam?
    $\quad$

$\quad$

$\quad$

Correction Exercice





  1. En 2019, le salaire est de $1~500$ €.
    En 2020, le salaire est de $1~550$ €.
    En 2021, le salaire est de $1~600$ €.
    $\quad$
  2. Pour tout entier naturel $n$ on a $u(n+1)=u(n)+50$.
    Cela signifie donc que la suite $u$ est arithmétique de raison $50$ et de premier terme $u(0)=1~500$.
    $\quad$
  3. Pour tout entier naturel $n$ on a donc $u(n+1)-u(n)=50>0$.
    La suite $u$ est donc strictement croissante.
    $\quad$
  4. Pour tout entier naturel $n$ on a :
    $\begin{align*} v(n+1)&=v(n)\times \left(1+\dfrac{4}{100}\right) \\
    &=1,04v(n)\end{align*}$
    La suite $v$ est donc géométrique de raison $1,04$ et de premier terme $v(0)=1~400$.
    $\quad$
  5. Pour répondre à cette question nous allons calculer les premiers termes des deux suites. Pour la suite $v$ les valeurs sont arrondies à $0,01$ € près.
    $$\begin{array}{|c|c|c|c|}
    \hline
    n &\text{Année}& u(n)& v(n) \\
    \hline
    0& 2019& 1500& 1400\\
    \hline
    1& 2020& 1550& 1456\\
    \hline
    2& 2021& 1600& 1514,24\\
    \hline
    3& 2022& 1650& 1574,81\\
    \hline
    4& 2023& 1700& 1637,80\\
    \hline
    5 &2024 &1750 &1703,31\\
    \hline
    6& 2025& 1800& 1771,45\\
    \hline
    7& 2026& 1850& 1842,30\\
    \hline
    8& 2027& 1900& 1916,00\\
    \hline
    \end{array}$$
    C’est donc en 2027 que le salaire d’Alice dépassera celui d’Adam.

    $\quad$

[collapse]

$\quad$