E3C2 – Spécialité maths – Fonctions – 2020

Fonctions

E3C2 – 1ère

On donne ci-dessous les représentations graphiques respectives $C_f$ et $C_g$ de deux fonctions $f$ et $g$ définies sur $\R$ l’ensemble des nombres réels.

  1. La fonction $f$ est définie sur $\R$ par $f(x)=x^3+3x^2-9x-1$.
    On admet qu’elle est dérivable sur $\R$ et on note $f’$ sa fonction dérivée.
    a. Calculer $f'(x)$.
    $\quad$
    b. Déterminer le signe de $f'(x)$ en fonction du réel $x$ . En déduire le tableau de variation de la fonction $f$.
    $\quad$
    c. Déterminer une équation de la droite $T$ tangente à $C_f$ au point d’abscisse $-1$.
    $\quad$
  2. La fonction $g$ est une fonction polynôme du second degré, il existe donc trois réels $a$, $b$ et $c$ tels que : $g(x)=ax^2+bx+c$ pour tout réel $x$ . On note $\Delta$ son discriminant.
    a. Déterminer, à l’aide du graphique, le signe de $a$ et le signe de $\Delta$.
    $\quad$
    b. La fonction $g$ est définie, pour tout réel $x$, par $g(x)=10x^2+8x+8$.
    Démontrer que les courbes $C_f$ et $C_g$ ont un point commun d’abscisse $-1$ et qu’en ce point elles ont la même tangente.
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. a. Pour tout réel $x$ on a
    $\begin{align*} f'(x)&=3x^2+3\times 2x-9 \\
    &=3x^2+6x-9\end{align*}$
    $\quad$
    b. Le discriminant de $3x^2+6x-9$ est :
    $\begin{align*} \Delta&=6^2-4\times 3\times (-9) \\
    &=144\\
    &>0\end{align*}$
    Le polynôme du second degré possède donc deux racines réelles :
    $\begin{align*} x_1&=\dfrac{-6-\sqrt{144}}{6} \\
    &=-3\end{align*}$ $\quad$ et $\quad$ $\begin{align*} x_2&=\dfrac{-6+\sqrt{144}}{6} \\
    &=1\end{align*}$
    Le coefficient principal est $a=3>0$.
    On obtient donc le tableau de variations suivant :

    $\quad$
    c. Une équation de $T$ est de la forme $y=f'(-1)\left(x-(-1)\right)+f(1)$
    Or $f'(-1)=-12$ et $f(-1)=10$
    Une équation de $T$ est donc $y=-12(x+1)+10$ soit $y=-12x-2$
    $\quad$
  2. a. La parabole est strictement au-dessus de l’axe des abscisses donc $a>0$ et $\Delta<0$.
    $\quad$
    b. On a $g(-1)=10$ donc $g(-1)=f(-1)$.
    Les courbes $C_f$ et $C_g$ ont un point en commun.
    La fonction $g$ est dérivable sur $\R$ en tant que fonction polynôme.
    Pour tout réel $x$ on a $g'(x)=20x+8$.
    $g'(-1)=-12$.
    La tangente à $C_g$ au point d’abscisse $-1$ a donc le même coefficient directeur que la droite $T$.
    Par conséquent les courbes $C_f$ et $C_g$ ont un point commun d’abscisse $-1$ et qu’en ce point elles ont la même tangente.
    $\quad$

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$\quad$

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