E3C2 – Spécialité maths – Fonctions – 2020

Fonctions

E3C2 – 1ère

Soit $f$ la fonction définie sur $[0;+\infty[$ par $f(x)=-x^2+2x+4$. Dans le plan muni d’un repère orthonormé, on note $C$ sa courbe représentative.

  1. Déterminer les variations de la fonction $f$ sur $[0; +\infty[$ .
    $\quad$
  2. Déterminer la valeur exacte de l’abscisse du point $A$, intersection de la courbe $C$ et de l’axe des abscisses, puis en donner une valeur approchée à $10^{-2}$ près.
    $\quad$
  3. On note $T$ la tangente à la courbe $C$ au point $B$ d’abscisse $2$.
    Déterminer l’équation réduite de la droite $T$.
    $\quad$
  4. Tracer la droite $T$ sur le graphique fourni en annexe, qui est à rendre avec la copie.
    $\quad$
  5. On admet que la courbe $C$ est toujours en-dessous de la droite $T$.
    La société Logo reçoit une commande de l’entreprise RapidResto, qui lui demande de confectionner des logos dans des plaques rectangulaires de largeur $4$ dm et de hauteur $8$ dm selon le modèle ci-dessous. Le bord supérieur du logo est modélisé par la courbe $C$ tracée
    dans le repère orthonormé figurant sur l’annexe dont l’unité graphique est le décimètre (dm). Les figures ci-dessous ne sont pas à l’échelle.

    Dans un souci d’économie, l’entreprise Logo espère pouvoir réaliser deux logos identiques dans une seule plaque, en la coupant dans sa diagonale. Est-ce possible ? Justifier à l’aide des questions précédentes.
    $\quad$

Annexe 

$\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. $f$ est une fonction du second degré.
    L’abscisse du sommet est :
    $\begin{align*} x_S&=-\dfrac{b}{2a} \\
    &=-\dfrac{2}{-2}\\
    &=1\end{align*}$
    Le coefficient principal est $a=-1<0$.
    Par conséquent, la fonction $f$ est croissante sur l’intervalle $[0;1]$ et décroissante sur l’intervalle $[1;+\infty[$.
    $\quad$
  2. On veut donc résoudre l’équation $f(x)=0\ssi -x^2+2x+4=0$ sur l’intervalle $[0;+\infty[$.
    Le discriminant est :
    $\begin{align*} \Delta&=2^2-4\times (-1)\times 4\\
    &=20\\
    &>0\end{align*}$
    Le polynôme possède donc deux racines réelles.
    $\begin{align*} x_1&=\dfrac{-2-\sqrt{20}}{-2} \\
    &=1+\sqrt{5}\end{align*}$ $\quad$ et $\quad$ $\begin{align*} x_2&=\dfrac{-2+\sqrt{20}}{-2} \\
    &=1-\sqrt{5}\end{align*}$
    On a $x_1>0$ et $x_2<0$
    Le point $A$ a donc pour abscisse $1+\sqrt{5} \approx 3,24$.
    $\quad$
  3. La fonction $f$ est dérivable sur $[0;+\infty[$ en tant que fonction polynôme.
    Une équation de la droite $T$ est de la forme $y=f'(2)(x-2)+f(2)$.
    Pour tout réel $x\pg 0$ on a $f'(x)=-2x+2$
    Donc $f'(2)=-2$ et $f(2)=4$
    Une équation de $T$ est donc $y=-2(x-2)+4$ ou encore $y=-2x+8$.
    $\quad$
  4. L’ordonnée à l’origine de la droite $T$ est $8$. Elle passe donc par le point de coordonnées $(0;8)$. Elle passe également par le point $B(2;4)$.
    On obtient donc le graphique suivant:

    $\quad$
  5. La tangente $T$ passe par les points de coordonnées $(0;8)$ et $(4;0)$ (en effet $-2\times 4+8=0$).
    Pour tout réel $x\pg 0$ on a
    $\begin{align*} f(x)-(-2x+8)&=-x^2+2x+4+2x-8\\
    &=-x^2+4x-4\\
    &=-\left(x^2-4x+4\right)\\
    &=-(x-2)^2\\
    &\pp 0\end{align*}$
    Tous les points, à l’exception du point $B$ sont sous la droite $T$. Le point $B$ appartient à la droite $T$.
    L’entreprise pourra donc réaliser deux logos sur la même plaque. Les deux logos auront cependant le point $B$ en commun.
    $\quad$

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$\quad$

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