E3C2 – Spécialité maths – Fonctions – 2020

Fonctions

E3C2 – 1ère

Dans le plan muni d’un repère, on a tracé la courbe représentative $\mathcal{C}_f$ d’une fonction $f$ définie et dérivable sur $\R$. On note $f’$ la dérivée de $f$. On sait que la courbe $\mathcal{C}_f$ admet exactement deux tangentes horizontales :

  • l’axe des abscisses comme tangente à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point $A(-1 ; 0)$ ;
  • la droite $T_B$ comme tangente à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point $B\left(\dfrac{1}{3};-\dfrac{32}{27}\right)$.

  1. Par lecture graphique, donner les solutions de l’équation $f(x) = 0$.
    La fonction $f$ est définie sur $\R$ par $f(x)=x^3+x^2-x-1$. On note $f’$ la dérivée de $f$.
    $\quad$
  2. Déterminer $f'(x)$ pour tout réel $x$.
    $\quad$
  3. En déduire le tableau de variations de $f$.
    $\quad$
  4. En utilisant ce qui précède, déterminer la position relative de la courbe $\mathcal{C}_g$ de la fonction $g$ définie sur $\R$ par $g(x)=x^3+x^2$ et de la droite $D$ d’équation $y=x+1$.
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. Graphiquement, il semblerait que les solutions de $f(x)=0$ soient $-1$ et $1$.
    $\quad$
  2. Pour tout réel $x$ on a $f'(x)=3x^2+2x-1$.
    $\quad$
  3. Le discriminant de $f'(x)$ est :
    $\begin{align*} \Delta&=2^2-4\times 3\times (-1) \\
    &=16\\
    &>0\end{align*}$
    $f'(x)$ possède donc deux racines réelles :
    $\begin{align*} x_1&=\dfrac{-2-\sqrt{16}}{6} \\
    &=-1\end{align*}$ $\quad$ et $\quad$ $\begin{align*} x_2&=\dfrac{-2+\sqrt{16}}{6} \\
    &=\dfrac{1}{3}\end{align*}$
    Le coefficient principal du polynôme du second degré est $a=3>0$.
    On obtient donc le tableau de variations suivant :

    $\quad$
  4. On veut résoudre l’inéquation :
    $\begin{align*} g(x)>x+1 &\ssi x^3+x^2-x-1>0 \\
    &\ssi f(x)>0\end{align*}$
    Sur l’intervalle $]-\infty;1]$ $\mathcal{C}_g$ est en-dessous de la droite $D$ et sur l’intervalle $[1;+\infty[$ la courbe $\mathcal{C}_g$ est au-dessus  de la droite $D$. Ces deux courbes ont deux points d’intersection d’abscisse $-1$ et $1$.
    $\quad$

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$\quad$

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